基于逆最优传输从聚合数据估计马尔可夫链的共轭凸方法

《European Journal of Control》：A convex approach for Markov chain estimation from aggregate data via inverse optimal transport

　　

研究人员针对一类问题展开研究：大量不可区分粒子依未知动力学规律演化，仅能观测其在离散状态空间上相继时刻的聚合分布（aggregate distributions），需由分布数据反演底层马尔可夫链转移概率矩阵（transition probability matrix）。研究人员将该反问题置于熵正则化最优传输（entropic optimal transport, EOT）框架下，将问题表述为对转移矩阵与连接相继分布的传输计划（transport plans）的联合优化，由此得到一个共轭凸（jointly convex）优化问题，并提出一种基于熵近端方法（entropic proximal method）的高效迭代算法。研究人员在两类数值设定下验证方法精度与收敛性：一是从独立快照（independent snapshots）估计，二是从聚合观测时间序列（time series of aggregate observations）估计。

研究背景与问题提出

在流体力学粒子追踪测速（Particle Tracking Velocimetry, PTV）、轨道碎片跟踪、集群机器人、匿名手机数据推断行人运动及生态聚合数据反演个体行为等场景中，研究者常面对不可区分粒子的聚合分布观测，而无法获知个体轨迹。传统由Lee等（1970）提出的聚合离散时间观测转移概率最小二乘（least-squares）与极大似然估计、Kalbfleisch等（1983）的连续时间推广，以及Bernstein与Sheldon（2016）的矩方法，多基于最小二乘或矩估计且常为非凸规划。现有逆最优传输（inverse optimal transport）工作（Stuart与Wolfram, 2020; Lamoline等, 2025; Elvander与Haasler, 2025）常将代价矩阵与传输矩阵联合估计，形成非凸问题。本文研究动机在于：以KL散度近似多项分布似然，利用D(M?|?diag(μ₀)A)对M与A联合凸的性质，将转移矩阵A与多时刻传输矩阵M_t联合估计转化为共轭凸问题，从而可证存在唯一性条件并设计高效算法。

主要关键技术方法

研究人员采用以下方法：（1）以Schr?dinger桥问题为桥梁，将粒子数大多项分布似然用KL散度D(M?|?diag(μ_t)A)近似；（2）构造联合凸目标∑_t=1^T D(M_t?|?A)，约束A1=1、M_t1=μ_t、M_t^T1=ν_t，并等价化为关于M?=∑M_t与M_t的凸问题（式8）；（3）推导Lagrange对偶（式10），利用Lemma 2给出对偶变量指数和约束∑_texp(λ_t(i)+ρ_t(j))≤1；（4）基于熵近端方法（entropic proximal method）设计迭代算法交替更新传输矩阵与由M?行归一化恢复A（式7）；（5）在独立快照与聚合时间序列两类数值实验下对比最小二乘估计器。无生物试剂与质粒操作，数值实验样本为合成离散状态分布队列。

研究结果

1. 2.
   Background
   研究人员回顾Schr?dinger桥与EOT联系：单步问题min_M≥0 D(M?|?diag(μ₀)A) s.t. M1=μ₀, M^T1=μ₁等价于熵正则OT min ?C,M?+D(M?|?1_n×n)，其中C=?log(diag(μ₀)A)。关键指出D(M?|?diag(μ)A)对(M,A)联合凸，而?C,M?对(M,C)非联合凸，故采用前者便于A与M联合估计。
2. 3.
   Problem formulation, duality, existence and uniqueness
   研究人员给出联合问题（式5）及其等价形式（式6、式8）。3.1节在Assumption 1（每(i,j)至少一时刻μ_t(i)>0且ν_t(j)>0）下由Lemma 1证可行解存在且M?>0，Proposition 1用Weierstrass定理证最优解存在。3.2节推Lagrange对偶（式10），借Lemma 2证强对偶在μ_t,ν_t>0时成立。3.3节Proposition 2给出唯一性充要条件：最优扰动X满足(X⊙(u_tv_t^T))1=0、(·)^T1=0、I中X_ij=0、M?^*=0处X_ij≥0时仅零解；Corollary 1指出若{u_t}或{v_t}张成Rⁿ则唯一，M?^*>0时亦为必要。
3. 4.
   Algorithm
   研究人员提出熵近端迭代：固定A更新各M_t为缩放形式M_t(i,j)=M?(i,j)exp(λ_t(i)+ρ_t(j))，固定M_t由式7更新A(i,j)=M?(i,j)/∑_?M?(i,?)，对偶变量经软更新逼近约束∑exp(·)≤1。
4. 5.
   Identifiability and numerical results
   研究人员讨论可辨识性：独立快照下T需使{u_t,v_t}张成Rⁿ方可辨A；时间序列下因μ_t+1=ν_t增强约束。数值实验在n状态、独立快照与含噪时间序列下比较本文EOT估计与最小二乘估计，显示EOT在少样本与噪声下MSE更低且收敛。

讨论与结论翻译

研究人员得出结论：将聚合分布反演马尔可夫转移矩阵置于EOT框架可得联合凸问题，理论保证存在性与基于对偶变量的唯一性条件；所提熵近端算法在独立快照与聚合时间序列两类设定均准确收敛，优于最小二乘基线，为仅观聚合数据下的动力学定律识别提供可证明凸、易扩展的方法论基础。该文发表于《European Journal of Control》。