基于周期动力学演化相场的混合方法：准脆性断裂中的循环加载

《Journal of the Mechanics and Physics of Solids》：A blended approach for evolving phase fields using peridynamics: Cyclic loading in quasi-brittle fracture

　　•一种用于预测具有不可逆应变和弹性软化特性的准脆性材料损伤与断裂的场论。其能量耗散率呈正值，符合热力学定律。•通过一对与历史相关的两点相场来描述与拉伸和压缩过程中的塑性耗散相一致的材料退化模型。•提出了新的能量释放率、弹性刚度及强度的标定方法，这些参数不依赖于非局部性的长度尺度，即周动态视界。恰当的标定使得周动态相场法能够根据实验结果揭示不同尺寸裂纹的塑性屈服强度与格里菲斯强度之间的竞争关系。•将模拟结果与实验数据进行比较后，发现其在混凝土三点弯曲试验、L形裂纹形成以及样本尺寸效应等方面均存在定量和定性上的吻合。引言在连续介质力学中，寻找合适的场论以建立断裂初始边界值问题始终是一个重要课题。理想的初始边界值问题应能依据牛顿第二定律推导出样品Ω内材料的位移演化规律，进而确定位移-损伤-断裂之间的关系。该演化过程由初始位移和速度值决定，并受随时间变化的边界条件驱动。为求解该问题，需对初始边界值问题进行离散化处理，进而发展出相应的数值方法。过去五十年来，物理学家、工程师以及越来越多的应用数学家从多个角度对这一难题进行了概念性和理论性的探索，相关成果可见Freund（1972）、Willis（1975）、Xu和Needleman（1994）、Marder和Gross（1995）、Ortiz和Pandolfi（1999）、Silling（2000）、Buehler等人（2003）、Nicaise和Sandig（2007）、Du等人（2015）以及Dal Maso等人（2016）的研究。尽管这些引用并非详尽无遗，但已涵盖了基于牛顿第二定律的裂纹演化方程在理论与计算方面的重要进展。本文所采用的场论运用了Silling（2000）、Silling等人（2007）提出的牛顿第二定律的周动态诠释方式来描述材料的位移演化，且不存在独立的相场演化方程。相场被作为损伤参数引入，属于由位移场决定的、与历史相关的本构律的一部分。该系统的动力学可理解为在Ω内任意两点y和x之间的应变所构成的乘积空间Ω×Ω上的演化过程，详见Lipton和Bhattacharya（2025）的研究。关于两点间力与应变关系的本构律也可通过相场来表达，相关内容见Lipton和Bhattacharya（2025）、Coskun等人（2025）。位移的动态演化会自动筛选出不再存在相互作用的点对；当这些点对横向排列于某个表面时，该表面便被视为新的边界成分，即裂纹。形成裂纹所需的能量可直接通过几何测度论从演化方程中得出，这一能量正是由临界能量释放率与裂纹表面积相乘所得的断裂能。混凝土及地质材料在非单调加载条件下，其本构建模需要同时考虑材料的弹性卸载与再加载现象，以及应变局部化与裂纹产生的过程。这些现象既包含弹性退化的物理特征，也涉及实验中所观察到的不可逆应变的积累，相关研究可见Chen和Liu（2023）、Jenq和Shah（1988）的工作。开放微裂纹的影响十分重要，它会导致材料弹性性能的下降，相关研究可见Budiansky和O’connell（1976）、Hashin（1988）的成果。当材料受到压缩时，由于微裂纹面之间的滑动作用会产生摩擦力，这种行为会表现为塑性特征。近期有研究将微裂纹运动与损伤及塑性现象联系起来，相关成果可见Zhu等人（2011）以及Ulloa等人（2022）的工作。Ba?ant和Kim（1979）较早地指出了这些因素的关联性，后续Ba?ant等人（1992）、Lubliner等人（1989）、Lee和Fenves（1998）、Grassl（2009）、Grassl和Jira?ek（2006）、Grassl等人（2013）以及Voyiadjis等人（2008）的研究也进一步证明了这一点。受Frémond和Nedjar（1996）提出的损伤力学理论的启发，我们着眼于介观尺度来描述损伤与塑性的影响。我们采用了两个相场（损伤场），一个对应拉伸状态，另一个对应压缩状态。这两个相场通过与Grassl（2009）、Grassl等人（2013）提出的卸载比相结合，来描述塑性拉伸与压缩应变的演化过程，相关内容可见定义2以及第3章和7.4节。描述两点间力的本构律具有非局部性，且如前所述，取决于两点y和x之间应变的时空历史。非局部力是在以x为中心、半径为?的小球区域内对力值进行平均后得到的，而定义在x点的合力即为宏观性质。对于对称区域和单调加载条件，当?趋近于零时，非局部初始边界值问题的解会收敛为与直线裂纹相关的弹性波方程的解，详见Lipton和Jha（2021）的研究。由于我们关注的是材料失效问题，因此所采用的混合本构模型仅保留极端事件的信息，即仅记录迄今为止 bond的最大伸长量和压缩量，即可满足介观尺度下的需求。通过这种方式，我们利用极端事件的历史记录，避免了传统塑性及损伤模型中所需的时间积分带来的计算负担。正是通过介观动力学，我们才能数值上重现实验中观察到的宏观动力学特征。这一现象在数学上可表述为视界趋于零的情况，详见Lipton（2016a）的研究，另可参考Lipton（2016b）的相关内容。这些研究成果可被视为用于描述断裂模型的动态均匀化工具。本文提出的方法扩展了Lipton和Bhattacharya（2025）、Coskun等人（2025）所提出的断裂混合建模方法。它采用了新的时变本构建模技术，能够描述不可逆应变与损伤在循环拉压载荷作用下的共同影响。该方法完全基于牛顿第二定律，与传统的相场法及周动态方法有所不同。传统相场法是将随时间演化的相场与位移的演化方程相结合：第一种方法是将相场视为按照金兹堡-朗道方程演化的场，而位移则依据牛顿第二定律演化，该系统中的相场方程由位移场驱动，位移方程则与相场相互耦合，相关研究可见Aranson等人（2000）、Karma等人（2001）的工作。第二种相场方法最初是为准静态断裂设计的，其中位移是通过Ambrosio和Tortorelli（1990）提出的能量函数与相场相耦合的，相关研究可见Bourdin等人（2000）的成果。这些相场方法后来也被扩展到动态场景中，此时位移场由通过牛顿第二定律与相场耦合的力驱动，而相场的演化则通过最小化Ambrisio-Torterelli能量来实现，相关研究可见Bourdin等人（2011）、Larsen等人（2010）的工作。此后，又有人利用牛顿第二定律发展出了符合热力学原理的相场方法，该方法为相场引入了第二个演化方程，这一方程同样基于Ambrosio-Tortorelli能量，相关研究可见Borden等人（2012）的成果。我们需要指出，本文提出的方法能够得到与Borden等人（2012）研究中针对脆性断裂演化所得到的相同动态断裂结果，相关内容可见Coskun等人（2025）的研究。此外还需强调，在传统相场方法中，“相场”通常仅被理解为一种正则化参数，而在本文中，它则被看作是损伤的表征。在周动态理论中，两点之间的键合力被定义为x点对y点施加的力。本构律将键合力与y点和x点之间的弹性应变联系起来。本文提出的新建模方法引入了两个与历史相关的相场：一个用于描述拉伸状态下的弹性键合力衰减（即损伤），另一个用于描述压缩状态下的键合损伤。损伤局部化区域与裂纹的位置可通过相场来确定，而这些相场的演化则由与历史相关的本构律及牛顿第二定律共同决定。相场所描述的材料退化过程与材料积累的塑性应变是一致的。在这种方法中，两点相场与塑性应变的演化都是不断变化的本构律的组成部分，从而实现了从准静态加载到动态加载条件下的塑性及断裂演化过程的描述。该方法的核心特点在于，本构律会随着位移的变化而演化，从而实现了位移与材料行为之间的双向耦合。通过这种方式，我们可以用一个 properly formulated的初始边界值问题来描述塑性、损伤、滞后效应及其在表面上的局部化现象。不断演变的本构律将时间t时刻y点和x点之间的键合力与弹性应变联系起来。我们证明，Coskun等人（2025）提出的本构律只是本文所发展的更复杂的时变本构律的一种特例，后者能够同时考虑拉伸和压缩状态下不可逆应变与弹性软化（即损伤）的共同影响，相关内容可见本文的第2章和第3章。新的本构律为建立强形式的场论基础提供了可能，而该场论基础可通过对连续介质方程进行离散化处理来实现数值模拟。所有的功率平衡与能量平衡定律都可以通过对演化方程两边同时乘以速度并对整个区域进行积分来得到。经过仔细推导，我们得到了符合热力学定律的功率平衡与能量平衡关系，其中能量耗散率为正值，相关内容可见第5章“包含损伤与塑性的断裂演化的功率平衡”以及第6章“断裂演化所满足的能量平衡”。由此可知，平面裂纹的失效能量是可以被明确计算出来的。对于这种情况，失效能量可由两个因素的乘积表示：其中一个因素给出了能量释放率的显式公式，另一个因素则给出了裂纹长度，相关内容可见第7.3节。需要特别强调的是，在这种方法中，这些物理量并非预先假设的，而是本构律与演化方程的必然结果，它们可以直接通过分部积分得到，相关内容可见第5章。之后，我们又开发了一种无网格数值方法，该方法利用对所提出的连续介质模型进行离散近似的方式，来数值预测裂纹形态。本文所提出的非局部方法的理论基础来源于Lipton（2014）、Lipton（2016a）以及Lipton等人（2019）所提出的可微分周动态本构律。对于这些情况，我们可以证明：任何与非局部性消失相关的解序列都存在子序列，这些子序列会收敛到远离裂纹区域的动态纳维方程的解，即簇点，相关内容可见Lipton（2014）、Lipton（2016a）的研究。此外，我们还可以利用原本用于解决De Georgi关于Mumford Shaw泛函的非局部逼近猜想的方法，即Gobbino（1998）的方法，来证明相关的周动态能量Γ会收敛为弹性能量与格里菲斯断裂能量之和，相关内容可见Lipton（2014）、Lipton（2016a）的研究。裂纹与周围周动态场之间的弹性相互作用会收敛为裂纹唇部处的经典零牵引力条件，这一结论已在Lipton和Jha（2021）的关于直线裂纹的研究中得到验证。在非局部性消失的极限情况下，裂纹尖端的驱动力可以被证明等于能量释放率与裂纹尖端速度的乘积。这种方法无需依赖Mott假设，其结果直接来自演化方程，相关研究可见Jha和Lipton（2020）的工作。进而，这种方法还给出了裂纹速度与通过裂纹尖端的能量之间的显式关系，相关内容可见Freund（1972）的研究。总而言之，这种非局部方法用差商替换了导数，用非局部积分算子替换了Naiver算子。数值实验表明，本文所提出的模型经离散化处理后得到的结果与实验观测结果相符，相关内容可见第8章。在本文以及之前的混合建模方法中，弹性的、强度的以及断裂韧度等参数都可以独立设定。而本文所提出的模型则仅使用最基本的材料属性，不会使用更多额外的参数。此处，键合强度的退化仅通过试样强度、临界能量释放率、材料刚度以及Grassl（2009）中定义的卸载比来校准，详见第2节。该混合模型能够处理从准静态到动态断裂演变的各种加载条件下的脆性断裂与准脆性断裂现象，同时适用于单调加载和循环加载情况。一个由材料参数决定的、反映演化特征的显式长度尺度L被用来校准非局部本构律。L的取值范围受到下一节中描述的强度包络形状的限制。断裂韧性与材料强度的比值与L存在内在联系，详见第7.3节。与基于周期动力学方法的模型不同，该混合模型对弹性模量、断裂韧性和强度的校准方式有所不同。在混合方法中，断裂韧性和弹性系数的校准直接源自量纲分析和几何测度理论，而材料强度则如Carpinteri和Sih（1984）、Hillerborg等人（1976）、Xu和Needleman（1994）、Ortiz和Pandolfi（1999）所述，作为独立参数进行校准。此外，我们还引入了卸载比β，该参数由Grassl（2009）、Grassl等人（2013）提出，用于表示与弹性软化相关的塑性应变与不可恢复应变之间的比值。卸载比的取值及所选用的本构律使得能够在混合框架内模拟脆性断裂和准脆性断裂。最重要的是，在我们的框架中，非局部性的长度尺度“?”并非材料属性，也不用于强度、断裂能、弹性或塑性属性的校准。该混合模型可被视为一种合理的近似理论，在此理论下，损伤和塑性的效应能够局限于表面，详见图6和图11。局部化的长度尺度由?控制。此处开发的周期动力学相场方法可应用于包括地质材料、砌体及混凝土在内的准脆性材料。作为具体应用，我们研究了混凝土的拉伸破坏问题。通过对混合模型进行离散化，我们利用该模型定量地捕捉了循环三点弯曲试验中裂纹开口与载荷之间的滞后现象，详见第8节。值得注意的是，Ba?ant和Planas（1998）、Carpinteri和Sih（1984）所提出的确定性尺寸效应可直接从我们的初始边界值问题中得出，并在数值模拟中得到验证，这一结果与Hobbs等人（2022）使用指数型周期动力学势函数所报告的尺寸效应一致，详见第8节。此处用于求解的数值方法是无网格的，即节点之间不存在元素或几何连接，其离散化是基于积分，类似于Silling和Askari（2005）的方法。或者，我们也可以研究屈服强度与Griffith断裂准则随裂纹尺寸的变化关系。我们在第8.6节进行了相关数值实验。在该实验中，我们研究了带有单边缺口测试的矩形试样的反作用力。我们给试样施加预裂纹并处于拉伸状态，直至出现准脆性断裂，且预裂纹的长度各不相同。对于相对于试样尺寸较小的预裂纹，数值实验表明，当反作用力与接近材料临界抗拉屈服应力的均匀宏观应力一致时，试样开始断裂。而对于较长的预裂纹，数值实验显示裂纹会按照Griffith准则开始扩展。这种屈服强度与Griffith断裂准则之间的关系既与实验结果一致，也与Lopez-Pamies等人（2025）的最新研究结果相符。总结而言，本文提出的新思想和新方法包括：•一种场论，它在压拉循环作用下能够保证弹塑性位移的存在性与唯一性，且可通过IBVP的位移场解事后反求应力场，详见第3节和第4节。•计算结果表明，损伤和塑性耗散为正，这与热力学第二定律相符，详见第5节。•拉伸和压缩过程中的塑性耗散由一对与两点历史相关的相场来描述，详见第3节。•能量释放率、弹性刚度及强度的校准与周期动力学范围（非局部性的长度尺度）无关，详见第7节。•这种新的校准方法使得混合方法能够揭示不同尺寸裂纹的塑性屈服强度与Griffith强度之间的竞争关系，这一结果与实验相符，详见第8.6节。•对演化方程的离散化给出了一种能够再现滞后现象和裂纹同步扩展的数值方法，详见第8.2节和第8.3节。•将模拟结果与实验数据进行比较后，发现其在混凝土三点弯曲试验、L形区域的多模式断裂以及试样尺寸效应等方面均具有定量和定性的一致性，详见第8.4节（L形混凝土试样的多模式断裂）、第8.5节（混凝土梁的尺寸效应）以及第8.6节。需要指出的是，Sheikhbahaei等人（2023）之前的工作提出了基于周期动力学的算法，用于处理具有损伤和塑性效应的循环加载问题。这些算法是以用于研究混凝土的本构模型为基础的。不幸的是，该论文中公式（15）和（16）给出的本构关系在一定的塑性键合应变范围内会出现峰值后的键合强度增强现象，附录中对此有说明。Hu和Li（2023）、Hu和Li（2025）的最新工作则提供了一种基于连续介质力学的正式方法，并运用周期动力学来考虑材料损伤，另可参考Silling和Lehoucq（2010）的研究。本文的结构如下：接下来的两节将阐述准脆性材料断裂演化的初始边界值问题。第4节利用Banach空间中的微分方程的不动点方法，证明演化问题的存在性与唯一性。在第5节中，我们将演化方程与速度相乘并通过分部积分，从而确定损伤功率D˙(t)和弹性功率E˙(t)。这样就得到了一个与热力学相一致的功率平衡定律。第6节中，我们对每个键合中的应力功率关于时间进行积分，然后再对键合的端点y和x进行空间积分。这样我们就得到了能量E(t)和D(t)的表达式以及能量平衡关系。第7节表明，模型的校准可直接从两点相互作用势和能量平衡关系以及给定的弹性模量、强度、能量释放率和卸载比中得出。该初始边界值问题提供了一种无网格的数值方法，可用于预测裂纹形态，我们的数值实验结果则在第8节中呈现。部分内容摘录：一种包含不可逆拉伸应变和弹性压缩的非局部相场表述形式。含有损伤材料的区域Ω是二维或三维中的有界域。在第7.3节中，通过量纲分析确定了与演化过程相关的特征长度尺度L。这一长度尺度明确依赖于断裂韧性与强度的比值。点x与其邻近点y之间的非局部相互作用局限于半径为?的球体（圆盘）范围内，该范围用H?(x)={y:|y?x|