基于参数化水平集方法的均匀流流形拓扑优化

《International Journal of Heat and Fluid Flow》：Topology optimization of uniform flow manifolds using parametric level set method

　　•一种基于参数化水平集的框架被开发用于均匀流型流道设计。•引入了一种动态阈值策略，以减少中等密度元素的数量。•该方法能够在规则和不规则流道中实现均匀的流体分布。•探讨了雷诺数对优化后流道拓扑结构的影响。•该框架还被扩展应用于多通道及三维流道优化问题。

引言
流道是流体系统中的关键组成部分，其核心目标之一便是确保各通道间的流体分布均匀。它们在众多应用领域发挥着重要作用，比如电子冷却系统（Gilmore等人，2021年；Lin等人，2024年）、电池（Oyewola等人，2025年；Mohan等人，2004年）、反应器（Strasser，2010年）、热交换器（Lalot等人，1999年；Strobel和Mortean，2022年）以及气体处理装置（Deng等人，2021年）。效率低下的流道会引发诸多问题，包括传热不良、温度控制困难以及泵送功率上升（Siddiqui和Zubair，2017年）。因此，设计高效流道具有极为重要的意义。

作为强大的优化工具，结构优化能够找出在给定设计空间内满足各种约束条件的最优配置。它可分为三类：尺寸优化（Prager，1974年；Svanberg，1981年）、形状优化（Sokolowski和Zolesio，1992年；Kavvadias等人，2015年）以及拓扑优化（Bends?e和Kikuchi，1988年；Bends?e和Sigmund，2013年）。拓扑优化会自动调整设计域内的材料分布，从而在既定的优化目标和约束条件下实现更优异的性能（Rozvany，2009年；Sigmund和Maute，2013年）。与尺寸优化和形状优化相比，拓扑优化能提供更大的设计自由度。

近几十年来，出现了多种不同的拓扑优化方法。例如带有惩罚项的各向同性固体方法（SIMP方法）（Bends?e和Sigmund，1999年；Sigmund，2001年）、双向演化结构优化方法（BESO）（Picelli等人，2017年）、相场法（Garcke和Hecht，2016年）、可移动变形组件方法（MMC）（Yu等人，2019年）以及水平集方法（LSM）（Duan等人，2008年；Zhou和Li，2008年；Duan等人，2020年；H?gh?j等人，2025年）。在这些方法中，SIMP方法是最早被应用于流体拓扑优化的方法（Borrvall和Petersson，2002年）。随后，Olesen等人（2006年）将这一研究拓展到了稳态纳维-斯托克斯流动问题。在此基础上，后续研究进一步将流体拓扑优化的范围从稳态不可压缩流扩展到更为复杂的流动状态，包括瞬态流、可压缩流以及湍流（Kreissl等人，2011年；Carvalho等人，2025年；Dilgen等人，2018年）。

由于SIMP方法在流体动力学问题中表现优异，一些研究者也将其应用于均匀流型流道系统的设计中。这些研究充分展现了拓扑优化在流道设计领域的巨大潜力（Aage和Lazarov，2013年；Alexandersen，2022年；Vermani和Anand，2025年；Zhang等人，2026年）。与SIMP方法相比，水平集方法能够保持流畅清晰的几何边界，且无需进行过滤处理（Wang等人，2003年；Allaire等人，2004年；Abdel Nour等人，2023年）。然而，很少有学者专注于利用水平集方法对用于实现均匀流体分布的流道系统进行拓扑优化。Kubo等人（2017年）使用基于增广拉格朗日函数的水平集方法研究了规则设计域中流道的均匀性。不过，在水平集函数更新过程中，传统的水平集方法需要遵循库朗-弗里德里希斯-刘易条件，采用迎风离散化方案，还需重新初始化，且在更新过程中无法生成新的孔洞（Wang等人，2003年；Allaire等人，2004年）。

为了解决上述问题，学者们提出了一系列改进的水平集方法。Zhuang等人（2007年）提出了一种基于椭圆系统的拓扑导数和形状导数的拓扑优化方法，该方法能够降低对初始拓扑结构的依赖程度。Yamada等人（2010年）引入了一种由拓扑导数驱动的反应-扩散方程框架来演化水平集函数，从而无需重新初始化，同时也能降低对初始设计的敏感度。Bui等人（2012年）提出了一种网格自适应流程，用于在完全非结构化的计算网格上求解平流方程。此后，Allaire等人（Allaire等人，2014年；Feppon等人，2021年）提出了一种适用于贴合体形的网格的重网格化方案，并将该方案拓展到了更复杂的物理场中。Wang等人（Wang等人，2007年；Wang和Wang，2005年）提出了参数化水平集方法（PLSM），该方法将水平集函数表示为径向基函数的线性组合。这种表述方式将原有的H-J偏微分方程转化为常微分方程组，大大简化了优化过程，同时也降低了對初始设计的依赖（Wei等人，2018年；Wei和Paulino，2020年）。此外，对于那些难以消除中等密度元素的问题，PLSM也能提供一种有效的解决方案（Guibert等人，2024年；Wei等人，2020年）。正因具备这些独特优势，参数化水平集方法后来被许多研究者用来解决更复杂的多物理场问题，包括压电-结构耦合问题（Porn等人，2016年）、流体-热耦合问题（Zhang和Yang，2022年；Zhang等人，2023年）以及热-机械耦合问题（Wang等人，2026年）。另外，还有多项研究探讨了利用该方法降低计算成本（Zhang等人，2024年；Kuzuo和Fujii，2026年）、实现大规模并行计算（Wei等人，2025年；Lin等人，2022年），以及处理涉及复杂设计域的拓扑优化问题（Lin等人，2022年；Wei等人，2020年）。这些研究都为将该方法应用于解决更复杂的工程问题提供了宝贵的思路。

在本研究中，我们提出了一种基于参数化水平集方法的拓扑优化框架，旨在解决多通道流型流道设计问题。该研究首先考虑了两种不同类型的流道结构，随后还将研究范围拓展到了存在复杂安装约束、多通道流道以及三维场景的情况。为了获得更精确的拓扑优化结果，我们引入了一种带宽Δ逐渐减小的方法，以此减少有限元结果中的中等密度元素数量。此外，我们还详细探讨了雷诺数对优化后通道结构的影响及其背后的作用机制。

方法片段
参数化水平集方法
在传统的水平集方法中，流体-固体边界可以用高维水平集函数的零水平集来表示。通过将设计域离散化为有限元网格，网格上的每个节点对应一个水平集函数值，其数学表达形式如下：
Φ(x,t)<0?x∈Ωs
Φ(x,t)=0?x∈Γ
Φ(x,t)>0?x∈Ωf
其中，x代表设计域中的点，t代表边界演化的时间变量。Ωs代表固体区域，Ωf代表流体区域。

流体的拓扑优化
流体流动的控制方程包括纳维-斯托克斯方程和连续性方程，具体如下：
-μ?2u+ρu·?u+?p-f=0
?·u=0
其中，μ和u分别代表动力粘度和流体速度，ρ代表密度，p代表压力，f代表人为引入的摩擦项，其大小与流体速度成正比，即f=-βu，β代表逆渗透率，其表达式为：
β=βmin+(βmax-βmin)q(1-H(Φ))q+H(Φ)
其中，βmin和βmax为常数。

目标函数
在本文中，我们采用了两种不同的目标函数：耗散能量和压降。耗散能量是指流体域内的总能量损失，包括粘性耗散和人为的达西摩擦，其表达式为：
J1=∫Ω12μ?u+?uT:?u+?uT+β(γ)u·udΩ
压降（Δpˉ）则定义为流道入口和出口之间的压力差。当将出口压力设为0，以Δpˉ作为目标函数时，

数值算例
在本节中，我们首先通过经典的双管基准测试，验证了所开发的拓扑优化框架的准确性和稳健性。随后，我们研究了在流量均匀性约束条件下的I形和Z形板式换热器的流道结构拓扑优化问题。图3展示了这两种板式换热器的结构示意图。数值算例2展示了在规则设计域下I形流道的拓扑优化结果。

结论
我们提出了一种参数化水平集方法，用于设计具有均匀流体分布的多通道流型流道。本研究取得了以下成果：
1. 所提出的方法被应用于两种不同类型流道结构的设计，并成功拓展到了15通道流道结构以及三维场景的应用。所有案例都实现了稳定且均匀的流体分布，充分证明了该框架的稳健性、有效性以及可扩展性。
2. 对于规则设计域中的流道结构，

CRediT作者贡献声明
Haiyang Lei：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，结果验证，软件应用，方法设计，研究实施，形式分析，概念构思。
Song Yao：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，研究指导，项目管理，方法设计。
Yupeng Sun：写作——审稿与编辑，方法设计，研究实施，形式分析，概念构思。
Lin Liao：写作——审稿与编辑，方法设计，研究实施，形式分析。

伦理审批与参与同意声明
不适用。

资金支持
不适用。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

致谢
作者感谢南丹麦大学的Joe Alexandersen教授和Hao Li博士，感谢他们在进行接近最终定稿的手稿修改时给予的宝贵意见和指导。

Haiyang Lei|Song Yao|Yupeng Sun|Lin Liao