基于移动最小二乘技术的无网格方法对二维伯格斯型方程的数值近似

《Journal of Computational and Applied Mathematics》：Numerical Approximation of the Two-Dimensional Burgers-Type Equation Using a Meshless Method Based on the Moving Least Squares Technique

　　摘要：本文研究了一种利用移动最小二乘法来近似二维Burgers型方程的数值技术。为求解未知解，我们采用了两阶段方法：首先运用隐式欧拉法对时间导数进行离散化处理；其次通过移动最小二乘法对空间方向进行近似，从而构建出完全离散化的计算方案。文中将移动最小二乘法与局部径向基函数分解法进行了比较，并通过多个实例验证了所提方法的适用性与有效性。

引言：在本研究中，我们采用移动最小二乘法来近似二维Burgers型方程的解。该方程用于描述流体流动中的非线性现象，其表达式如下：{?v?t+v(?v?x+?v?y)?μΔv=f(x,t),x=(x,y)∈Ω,t∈(0,T],v(x,0)=v0(x),x∈Ω,v(x,t)=g(x,t),(x,t)∈?Ω×[0,T]。其中，源项f(x, t)、初始条件v0(x)以及边界条件g(x, t)均为给定函数，而需要求解的未知函数为v=v(x,y,t)。Ω?R2为具有连续边界?Ω的有界域，μ表示粘性系数，T则表示最终时间。Burgers方程在流体力学、声学、湍流、激波以及气体动力学等诸多物理和工程领域中发挥着重要作用，它能够体现非线性传输与扩散的协同效应，这类相互作用常常会导致复杂的动力学行为，如陡峭的梯度、波传播以及局部结构的形成。由于该方程能够再现现实系统中的一些关键特征，因此被广泛用于理论研究及实际应用中。其数学上的丰富性加上相对简单的结构，使其成为分析非线性偏微分方程的典型模型，同时也是评估数值方法性能的标准基准。对于任意初始条件，Hopf [11]和Cole [12]已证明Burgers方程可以得到精确解。Benton和Platzman [13]则总结了二维Burgers方程的精确解，他们给出了该方程的等时线图以及约三十五种以表格形式呈现的解。近年来，人们开发出了多种用于求解一维和二维Burgers方程的数值方法，这些方法根据具体问题情境各有优缺点。早期的方法包括有限元法，例如Varo?lu和Finn [14]为二维问题提出的加权残差格式，以及Caldwell等人 [15]开发的自适应有限元策略，后者通过动态网格细化来提升精度。基于Galerkin原理并结合样条插值的有限元方法 [16]虽能进一步提高解的精度，但会增加计算复杂度。与此同时，基于网格的技术，如有限差分格式以及混合边界元-有限差分方法 [17]，因其简单高效而被广泛使用；不过在处理复杂几何形状或强梯度问题时，它们的性能可能会下降。为克服这些局限，无网格方法受到了极大关注。例如，Hon和Mao [18]提出的多二次径向基函数方法在处理分散数据时具有高精度与高灵活性，但可能存在病态性问题且对形状参数敏感。此外，为了提高多维场景下的稳定性与效率，人们还开发了多种时间积分技术，包括显式-隐式格式 [19]以及交替方向隐式法 [20]、[21]。移动网格与自适应有限元方法 [22]则通过动态重新分配节点来进一步提升对陡峭梯度的处理能力，但相应地也会增加实现难度。尽管取得了这些进展，大多数传统方法仍依赖于网格结构，在处理不规则域、复杂边界以及高维问题时存在诸多困难。这促使人们开发出完全无网格技术，这类技术无需生成网格也不受网格连接性的限制。其中，诸如谱无网格径向点插值法、奇异边界法以及基于样条的微分求积方法 [23]、[24]、[25]、[26]、[27]等都展现出了良好的应用前景。最近，局部无网格策略作为一种比全局无网格方法更有效的改进方案逐渐兴起。尤其是将局部径向基函数分解法与配置技术相结合的方法，在求解二维Burgers型方程方面展现出巨大潜力。该方法将计算域划分为相互重叠的子域并在各子域内进行局部近似，从而得到稀疏且条件更好的代数方程组，同时显著降低计算成本。此外，当这类局部方法与向后欧拉法等隐式时间离散化格式结合使用时，通过在适当的Sobolev空间中进行能量分析，还可以确保无条件稳定性以及收敛性 [28]。与常常存在病态问题且矩阵密度较高的全局RBF方法相比，局部框架为大规模和高维问题提供了可扩展且高效的替代方案。在此背景下，本研究采用的移动最小二乘法为求解方程（1）的解提供了一个灵活且稳健的框架。由于其无网格特性，该方法尤其适用于Burgers方程这类非线性对流-扩散问题，尤其是在盘形、环形或不规则几何形状等传统网格方法难以处理的场景中。此外，移动最小二乘法无需考虑元素之间的连接关系以及表面离散化问题，同时仍能保持较高的精度与稳定性。因此，所提出的方法有效解决了传统方法的诸多局限性，为求解方程（1）提供了一种具有竞争力的替代方案，同时在灵活性、效率以及适应性方面也与现代局部无网格技术具有相似优势。在本文中，我们运用一种名为移动最小二乘法的无网格技术来求解方程（1）所描述的问题。这种方法最初由Shepard [29]提出，随后经过多位研究者的改进，已被广泛用于构建曲面以及插值处理分散数据 [30]。作为一种应用极为广泛的数值技术，它已被用于求解各类偏微分方程 [31]、[32]、[33]、[34]，以及高维空间中的分数阶偏微分方程 [35]、[36]、[37]、[38]。近年来，由于其在解决多维度复杂数学问题方面的出色表现，该技术愈发受到重视 [39]、[40]。本研究的主要目的是评估移动最小二乘法在求解方程（1）时的有效性，特别是与其他无网格方法相比的优劣。尽管已有不少无网格技术被用于此类方程的近似求解，但将移动最小二乘法应用于Burgers方程的研究仍然较为少见。本次研究旨在弥补这一不足，通过评估该方法在Burgers方程中的应用性能，进一步揭示其在计算效率、精度以及稳定性方面的优势。此外，本研究还将将该方法与其他成熟的无网格技术进行对比，从而更深入地了解其在求解非线性偏微分方程时的适用性与有效性。我们的研究成果不仅能够填补相关研究领域的空白，还将为进一步探索该方法在更多复杂问题中的应用铺平道路，拓展其在工程学及应用数学各个领域的应用潜力。本研究的主要贡献与创新点有三方面：首先，我们构建了一种完全离散化的计算方案，将该方法与隐式欧拉法以及移动最小二乘法相结合，并将其置于配置框架之中；其次，我们建立了严格的收敛性分析机制，通过误差估计明确体现了时间离散化与空间离散化之间的耦合效应；最后，与通常仅适用于简单几何形状的现有研究不同，我们的方法通过成功处理包括盘形以及非单连通环形几何形状在内的多种复杂域，展现了出色的灵活性与稳健性。本文的结构如下：第1节介绍研究问题；第2节阐述所提出的方法；第3节将移动最小二乘法的原理应用于Burgers方程；第4节探讨所提方法的稳定性；第5节通过多个算例分析该技术的有效性；最后第6节给出研究结论。

片段摘录：二维移动最小二乘近似：考虑在有界域Ω?R2内的节点集X={x1,x2,?,xM}处函数v(x)的取值，即vj=v(xj)。对于Ω内的某一点xˉ，其邻域记为Ωxˉ，设Mxˉ为Ωxˉ中所包含的节点数量，这些节点构成集合{xi∣i=1,?,Mxˉ}，用于表示R2中点xˉ的邻域范围。函数v(x)在xˉ附近的局部移动最小二乘近似值vh(x)可表示为：vˉh(x)=∑j=1mpj(x)aj(xˉ)=pT(x)a(xˉ)，其中x=(x,y)，p(x)为阶数为mp的完整单项式基，即mp(x)=[p1(x),p2(x)]。

数值近似：令tn=nΔt，其中n=0,...,N，这是对时间区间[0, T]进行的某种划分，用于在时间方向上实现离散化处理，这里的N为正整数，Δt=T/N表示时间步长。我们定义如下符号：vn(x)=v(x,tn)，fn(x)=f(x,tn)，其中x?∈?Ω，n=0,...,N。在时间tn+1时刻，方程（1）的表达式为：vtn+1+vn+1(vxn+1+vyn+1)?μΔvn+1=fn+1(x)，其中x?∈?Ω，n=0,...,N?1。利用隐式欧拉法，方程（20）可被离散化为：1Δt(vn+1?vn)。

理论分析：本节基于能量方法探讨方程（22）的稳定性与收敛性。首先，我们考虑以下几类函数空间[42]：L2(Ω)={v:∫Ω|v|2dΩ<∞}，H1(Ω)={v∈L2(Ω),?·v∈L2(Ω)}，以及H01(Ω)={v∈H1(Ω),v|?Ω=0}。L2(Ω)与H1(Ω)空间中的内积分别定义为：〈v,w〉=∫ΩvwdΩ，〈v,w〉H1(Ω)=〈v,w〉+〈?v,?w〉。L2(Ω)与H1(Ω)空间中的范数则表示为：∥v∥L2(Ω)=〈v,v〉，∥v∥H1(Ω)=∥v∥L2(Ω)2+∥?v∥L2(Ω)2。接下来，我们将利用已得到的半离散格式的稳定性与收敛阶来进行进一步分析。

数值结果：本节中展示的所有数值实验均是在配备16 GB内存、Intel(R) Core(TM) i7-8650U处理器（工作频率1.90 GHz）的Windows 11（64位）系统上，使用MATLAB R2018a软件完成的。在本节中，我们通过多个测试算例的数值计算结果，来验证所提方法的精度与效率。在第一个算例中，我们对所提方法与局部径向基函数分解法进行了对比。

结论：本文中，我们采用基于移动最小二乘法的无网格方法来求解二维Burgers型方程。首先，我们运用向后欧拉法对时间导数进行离散化处理；接着，再通过移动最小二乘法实现空间离散化，最终得到一个完全离散化的计算方案。该方法的实现过程中，空间与时间方向均采用了均匀离散化策略。我们还进行了理论误差分析，同时……（此处内容不完整）