无界域上逆弹性散射的单调性方法

《Journal of Differential Equations》：The monotonicity method for the inverse elastic scattering on unbounded domains

　　摘要：我们研究了具有紧支集的可穿透且可能非均匀的散射体在无界均匀背景介质中的纳维方程时谐逆散射问题，为将入射平面波的叠加映射到相应散射波的远场模式的远场算子建立了单调性关系。通过将这一单调性关系与局域势方法相结合，我们扩展了所谓的单调性方法，从而能够根据远场算子来表征拉梅参数和密度中非均匀性的分布范围。

引言：波散射问题是偏微分方程逆问题研究中的重要方向，广泛应用于无损检测、环境科学、地球物理勘探和医学诊断等工程领域。虽然直接散射问题的适定性已通过积分方程和变分方法得到了深入研究，但逆问题也引发了大量广泛而深入的研究[5]。从远场数据重建未知散射体的位置和形状是逆散射问题中一个基础但极其不适定的问题。在过去的二十年里，高效的定性重建算法受到了广泛关注，其中两种代表性的非迭代方法为分解方法和采样方法。分解方法包括对偶空间方法[5]和点源方法[23]，而采样方法则包括奇异源方法[24]、探针方法[20]、线性采样方法[4]以及分解法[21]，这些方法的核心思想是通过构建与测量数据相关的验证机制来识别目标物体。在用于形状重建的定性方法中，Harrach在[18]中为电阻抗断层成像引入了单调性方法，该方法扩展了早先在[26]、[27]中提出的基于单调性的重建方案。该方法是以远场算子为基础构建的，这些算子能够将未知散射体处散射的入射平面波的叠加映射到相应散射波的远场模式。与分解法[21]相比，单调性方法的一般定理并不要求远场算子的中间算子的实部能够分解为一个正强制算子和一个紧算子，这意味着单调性方法能够在更弱的先验假设下为未知目标生成重建方案[14]。在[22]中，Lakshtanov和Lechleiter利用两个远场算子之差的特定分解方式，对逆介质散射问题中的分解法进行了推广，并得出了一个单调性原理，该原理可用来计算边界值的上限和下限，因此单调性方法与分解法密切相关。最近，[18]中的单调性分析已被扩展到固定非共振频率和实值散射系数函数的有限域赫尔姆霍兹方程的逆系数问题[16]、[17]，在这些研究中，作者们展示了散射系数与局部诺伊曼-狄利克雷算子之间的单调性关系。结合局域势方法，他们从部分边界数据出发，得出了关于散射体的具有构造性的基于单调性的表征[16]，并改进了空间维度的界限[17]。随后，Griesmaier和Harrach[15]将这些结果推广到了具有平面波入射场和散射波远场观测数据的无限域逆介质散射问题。此外，单调性方法还被应用于逆混合障碍物散射[1]、逆狄利克雷裂纹检测[6]、开放周期波导[13]、封闭圆柱波导[3]以及相关文献[2]、[14]、[19]中的问题。关于静态情况下的各向同性线性弹性问题，[10]中提出了拉梅参数与诺伊曼-狄利克雷算子之间的单调性结果，以及局域势的存在性，这些成果已被应用于基于标准单调性测试和线性化单调性测试来检测和重建夹杂物[8]、[9]、[12]。为了显著改进传统的正则化技术，Eberle和Harrach采用了基于单调性的正则化方法来解决同一问题[7]。对于纳维方程的非静态或时谐情况，论文[11]扩展了用于检测夹杂物的单调性方法，并展示了如何确定拉梅参数和密度中的某些类型非均匀性。本研究的主要贡献是将单调性方法推广到无限域上的时谐逆弹性散射问题。我们的方法依赖于远场算子相对于拉梅参数以及密度的单调性，同时还运用了局域势技术。本文的结构如下：第2节简要介绍散射问题的数学背景，第3节建立远场算子的单调性关系，第4节探讨无限域纳维方程中局域波函数的存在性，并利用它们来得到第3节中单调性关系的逆命题，第5节则基于远场算子给出散射体支撑范围的严格表征。

问题表述：在本文中，我们研究时谐弹性波的逆介质散射问题，同时处理形状重建问题，也就是通常所说的检测问题。假设时谐波在密度函数为ρ、拉梅常数为μ和λ的各向同性、不可吸收且非均匀的弹性介质中传播，其中满足μ>0、μ+λ>0（在R2空间内）。我们特别感兴趣的是确定材料属性λ、μ或ρ与某一参考值存在差异的区域。

远场算子的单调性关系：在本节中，我们将推导参数(λ,μ,ρ)与远场算子Fc之间的一些单调性关系，这些关系对于证明基于单调性的形状重建方法的合理性至关重要，同时在后续章节中也会有用到。首先介绍将在全文中使用的若干符号。设BR(O)表示以原点为中心、半径为R的圆盘，那么uc,gsc从外部区域R2\BR(O)到内部区域BR(O)的极限分别用uc,gsc,+和uc,gsc,?表示。

纳维方程的局域势：在本节中，我们证明了在某个给定区域B?R2内具有任意大范数的局域波函数的存在性，同时，在另一个区域D?R2内这些波函数的范数可以任意小，前提是R2\D是连通的。这些局域波函数将被用来利用定理3.5中的单调性关系，从远场算子出发，对材料参数与背景值存在差异的区域Ω=supp(λ?λ0)∪supp(μ?μ0)∪supp(ρ?ρ0)进行严格的表征。

基于单调性的形状重建：我们将考虑以下类型的材料参数非均匀性。设D1、D2、D3?Ω，且D:=D1∪D2∪D3。现在假设λ、μ、ρ∈L+∞(R2)，满足λ(x)=λ0+χD1(x)ψλ(x)，其中ψλ∈L∞(Ω)且ψλ(x)>m1；μ(x)=μ0+χD2(x)ψμ(x)，其中ψμ∈L∞(Ω)且ψμ(x)>m2；ρ(x)=ρ0?χD3(x)ψρ(x)，其中ψρ∈L∞(Ω)，且m3< />0，界限m1、m2、m3>0，且ρ0>M3。λ、μ、ρ这些系数用于描述在由λ0、μ0、ρ0所代表的均匀背景介质中的非均匀性。

致谢：J.L. Xiang的工作得到了中国自然科学基金（编号12301542）、华中师范大学数学科学重点实验室开放研究基金（编号MPL2025ORG017）以及中国国家留学基金的支持。

Bastian Harrach | Jianli Xiang
德国美因河畔法兰克福歌德大学数学研究所