稳态粘弹性蠕流（Steady Viscoelastic Creeping Flows）的物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）模拟

《Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics》：Simulation of Steady Viscoelastic Creeping Flows with Physics-Informed Neural Networks

　　

粘弹性流体流动由高度非线性、耦合的质量、动量和本构方程控制，这给数值模拟带来了显著挑战。尽管此类流动已使用基于离散化的传统方法进行了广泛研究，但使用物理信息神经网络（PINNs）进行模拟却很少受到关注。本研究调查了PINNs作为无网格框架，用于在蠕流（Creeping Flow）条件下模拟稳态粘弹性流体。训练仅通过最小化控制偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）的残差和执行边界条件进行，不使用参考解数据。所提出的方法应用于使用Oldroyd-B和线性形式的Phan-Thien-Tanner（PTT）本构模型的盖驱动腔体（Lid-Driven Cavity）基准问题。对于Oldroyd-B模型，在不需定制训练策略的情况下获得了速度、压力和聚合物额外应力张量场的准确预测。然而，对于PTT模型，其相对于聚合物额外应力张量分量的强非线性使得适当的初始化策略对于实现准确且鲁棒的预测至关重要。无论本构模型如何，在较高弹性水平下，二阶优化算法与双精度计算相结合被证明在实现聚合物额外应力张量的准确预测方面起到了关键作用。总体而言，本工作中呈现的结果显示了PINNs作为粘弹性流体流动建模的可行方法的显著潜力。

研究背景与意义

粘弹性流体在制药配方、化妆品、聚合物加工等众多工业应用中具有重要意义，其兼具存储释放弹性能量与粘性流动特性的复杂流变行为使得解析求解控制方程极为困难，因此计算方法成为研究此类流体的必要工具。传统上，粘弹性流体流动的数值求解依赖于有限元法（Finite Element Method, FEM）、有限体积法（Finite Volume Method, FVM）和有限差分法（Finite Difference Method, FDM）等离散技术。近年来，基于深度神经网络的物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）通过将物理定律纳入训练目标来数值模拟偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs），虽在计算流体动力学中受关注增加，但在计算流变学中的应用仍待探索，且面临训练成本高、难以分辨细尺度特征及强非线性下易收敛至非物理局部极小值等局限。目前针对粘弹性流体的PINNs研究较少，且现有工作多采用较简单的Maxwell模型，对于更复杂的Oldroyd-B和Phan-Thien-Tanner（PTT）模型在该框架下的应用尚未见报道。鉴于此，研究人员开展了利用PINNs在无先验解数据情况下求解基于Oldroyd-B和线性PTT模型的粘弹性流动控制方程组的前向模拟研究，旨在验证PINNs在此领域的潜力并开发相应的训练策略，该研究成果发表于《Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics》。

主要关键技术方法

研究人员采用全连接神经网络架构，输入空间坐标经线性缩放后传入隐藏层，输出速度、压力和应力场相关变量，其中速度边界条件通过硬约束掩码函数精确施加，压力场通过减去均值进行规范固定。损失函数仅由无量纲化的控制PDEs残差的加权均方和构成，利用自动微分（Automatic Differentiation, AD）计算空间导数。针对PTT模型的强非线性，开发了包含预训练低Deborah数（De）阶段及目标De线性递增的初始化算法；优化器依次采用Adam、有限内存BFGS（L-BFGS）和牛顿共轭梯度（Newton Conjugate Gradient, Newton-CG）方法，并在高De数模拟中引入双精度训练阶段；配点采样采用基于残差的自适应分布（Residual-based Adaptive Distribution, RAD）策略结合Sobol序列。参考解通过OpenFOAM的rheoTool库采用有限体积法在细化网格上获得以评估精度。

研究结果

4.1. Oldroyd-B模型基线案例模拟

在Re=0.01、De=0.2、β=0.5条件下，研究人员对比了τ PINN（直接输出聚合物额外应力张量分量）与log(A) PINN（输出构象张量矩阵对数再指数化以保证正定性）两种架构。结果显示两种架构的最终损失值分别为1.48×10??和4.63×10??，均良好收敛。轮廓图及沿移动盖边界与垂直、水平中心线的剖面比较表明，两者均能高精度捕捉速度分量u_x^*、u_y^*、压力p^*及各聚合物额外应力张量分量τ_p,xx^*、τ_p,xy^*、τ_p,yy^*的分布，包括移动盖附近的大梯度区域。定量指标如平均动能E_kinetic、平均弹性能E_elastic、流函数最小值ψ^*_min及主涡中心坐标与参考解偏差极小（最大相对偏差约0.006%），证实PINNs能准确学习Oldroyd-B模型描述的流动。

4.2. PTT模型基线案例模拟

在Re=0.01、De=1.0、β=1/9、ε=0.25条件下，研究人员测试了有无初始化算法的影响。无初始化时，τ PINN与log(A) PINN的最终损失分别高达1.17×10?3和4.37×10?2，预测应力场τ_p,yy^*与参考解显著偏离，表明易陷入非物理局部极小；而采用初始化算法（先在De=0.2预训练再线性增至目标De）后，两者损失降至2.01×10??和8.82×10??，应力场及速度、压力场轮廓均与参考解高度吻合，凸显了该初始化策略对克服PTT模型强非线性导致收敛困难的关键作用。

更高De数案例

对于Oldroyd-B模型De=0.5及PTT模型De=5的案例，研究人员通过增宽网络（每隐层200神经元）、增加配点数（30000）及引入双精度Newton-CG训练阶段，结合初始化算法（PTT的De从0.2增至5的N_De,march设为125000），同样实现了准确预测，表明所述策略在处理高弹性水平（高Weissenberg数问题）时的有效性。

讨论与结论总结

讨论部分指出，对于Oldroyd-B模型，两种PINN架构均能在无定制策略下准确预测各场变量，τ PINN在定量指标上略优但与log(A) PINN均表现良好；对于PTT模型，其本构方程中f(τ_p)对应力张量的非线性依赖导致优化面复杂，若无恰当的从低De起始的连续初始化策略，PINNs极易收敛至非物理解，该策略通过逐步迁移低弹性区学习表征显著提升了收敛鲁棒性。无论模型复杂度，在高De下二阶优化与双精度计算对准确解析聚合物应力张量至关重要。研究人员结论为：PINNs作为无网格框架能有效模拟稳态蠕流下粘弹性流体流动，提出的训练策略（特别是针对PTT的初始化及高De下的二阶双精度优化）解决了强非线性与高弹性数带来的收敛难题，在盖驱动腔基准问题上取得了与有限体积法参考解高度一致的预测，展现了PINNs在复杂流变流动建模中的显著潜力。