基于神经网络的各向同性多凸超弹性建模——可压缩与不可压缩材料的充分必要条件

《Journal of the Mechanics and Physics of Solids》：Modeling isotropic polyconvex hyperelasticity by neural networks – sufficient and necessary criteria for compressible and incompressible materials

　　

本研究针对超弹性各向同性多凸（polyconvex）材料模型，系统分析了适用于可压缩与不可压缩材料的多种充分及必要条件，重点聚焦于神经网络实现方式。研究人员同时评估了此类模型的表达能力、精度、简洁性及计算效率，以验证其实际应用价值。研究中将凸符号奇异值神经网络（Convex Signed Singular Value Neural Networks, CSSV-NNs）应用于可压缩材料，并进一步适配不可压缩约束，得到不可压缩CSSV-NNs（inc-CSSV-NNs），该架构可对满足客观不变性、各向同性与多凸性的应变能密度函数实现通用逼近。现有多数方法虽能保证客观不变性、各向同性与多凸性，但施加的约束过于严格，限制了模型表达能力，这一局限性通过多个经典模型（Neo–Hooke、Mooney–Rivlin、Gent及Arruda–Boyce）与Treloar实验数据的数值算例得到证实。此外，研究人员构造了一类显式应变能函数，其无法被基于改进版Ball多凸准则约束的神经网络逼近，从而证明Ball准则虽为多凸性的充分条件，但非必要条件。

研究背景与意义

超弹性本构模型需严格遵循客观不变性、各向同性与多凸性等物理与数学约束，以确保材料稳定性及边值问题解的存在性。传统方法中，多凸性通常通过Ball于1976年提出的基于右Cauchy–Green张量不变量或主拉伸的经典准则实现，但该准则仅为多凸性的充分非必要条件，限制了模型对复杂力学行为的表达能力。与此同时，无约束神经网络虽具备较强的拟合能力，但易学习到非物理的应变能曲面，在外推预测时产生虚假失稳现象。近年来，嵌入物理约束的机器学习方法成为固体力学本构建模的重要方向，但如何在保证物理一致性的前提下避免过度约束，仍是核心挑战。本研究发表于《Journal of the Mechanics and Physics of Solids》，通过构建基于符号奇异值的多凸表征框架，突破了传统方法的表达局限，为数据驱动的本构建模提供了理论基础与高效工具。

关键技术方法

研究人员采用的核心技术方法包括：基于符号奇异值的多凸性充分必要条件理论，该理论通过Π₃不变性函数表征客观不变与各向同性应变能；构建CSSV-NNs架构，将应变能表示为符号奇异值、其两两乘积及行列式的凸函数复合；将CSSV-NNs扩展至不可压缩场景（inc-CSSV-NNs），通过无穷延拓处理体积约束；证明inc-CSSV-NNs对不可压缩多凸函数的通用逼近定理；采用经典超弹性模型（Neo–Hooke、Mooney–Rivlin、Gent、Arruda–Boyce）与Treloar橡胶单轴拉伸实验数据集作为基准测试对象，验证模型性能。

研究结果

2. 超弹性建模的物理与数学约束

研究人员明确了可压缩与不可压缩超弹性模型的基本约束：可压缩情形下需满足路径独立性、热力学一致性、客观不变性、各向同性、增长条件及多凸性，其中多凸性定义为应变能关于变形梯度F、余因子cof F与行列式det F的凸函数；不可压缩情形通过引入无穷延拓，将约束转化为det F=1子集上的多凸性，避免了传统Flory分裂的体积锁定问题。

2.3 主拉伸与符号奇异值的能量参数化

研究表明，客观不变与各向同性的应变能可通过变形梯度F的符号奇异值ν_i（含旋转符号信息）唯一表征，其需满足Π₃不变性（包含置换对称性与偶数次符号变化对称性）；相比之下，主拉伸λ_i=|ν_i|丢失了符号信息，导致表征能力受限。这一发现为后续基于符号奇异值的多凸准则奠定了理论基础。

3. 可压缩与不可压缩材料的充分必要条件

3.1 基于符号奇异值的充分必要条件

可压缩情形：研究人员验证了定理1——Π₃不变函数Ψ~(ν1,ν2,ν3)为多凸的充要条件为存在凸下半连续函数Ψssv:R7→R∞，使得Ψ~=Ψssv°m，其中m(ν)=(ν1,ν2,ν3,ν2ν3,ν1ν3,ν1ν2,ν1ν2ν3)，对应F、cof F与det F的凸组合。

不可压缩情形：推论1表明，在det F=1约束下，不可压缩多凸的充要条件为去除行列式项，即存在凸函数Ψssvinc:R6→R∞，使得Ψ~inc=Ψssvinc(ν1,ν2,ν3,ν2ν3,ν1ν3,ν1ν2)。

4. 不可压缩材料神经网络设计

研究人员基于推论1构建了inc-CSSV-NNs架构，通过输入层对符号奇异值及其乘积的24种Π₃对称变换，结合凸非负权重隐含层与凸输出层，确保网络输出满足多凸性。该架构无需引入Lagrange乘子或体积拆分，直接通过输入约束实现不可压缩性。

5. inc-CSSV-NNs通用逼近定理证明

研究人员严格证明了inc-CSSV-NNs可对定义在det F=1子集上的任意客观不变、各向同性多凸应变能函数实现任意精度逼近，填补了不可压缩场景下物理约束神经网络通用逼近理论的空白。

7. 数值算例

通过四类经典模型拟合与Treloar实验数据回归，研究人员发现：CSSV-NNs与inc-CSSV-NNs的表达误差显著低于基于Ball准则的传统网络；构造的显式应变能函数无法被改进版Ball准则约束的网络逼近，直接验证了Ball准则的非必要性；符号奇异值基准则的Wiedemann-Peter简化版本在三维情形下亦非多凸性的必要条件，为后续理论研究指明了方向。

讨论与结论

研究人员指出，传统基于矩阵不变量或主拉伸的多凸准则因丢失符号信息，本质上是对多凸性充分条件的过度约束，而符号奇异值框架通过保留完整变形信息，实现了充分必要表征。inc-CSSV-NNs的提出解决了不可压缩材料数据驱动建模中物理一致性与表达能力难以兼顾的难题，其通用逼近性质保证了模型对复杂力学行为的捕捉能力。研究同时表明，一阶凸性（rank-one convexity）等更弱的物理约束的实现仍是未来挑战，而多凸性作为可计算的替代方案，在本构建模中具有不可替代的优势。该研究为固体力学中的能量松弛、微结构演化及相变模拟提供了高效的数值工具，推动了物理知情机器学习在连续介质力学中的理论发展与应用落地。