在时空布鲁氏菌病模型中控制非局部延迟：基于李雅普诺夫方法的全局吸引性分析

《Mathematics and Computers in Simulation》：Taming nonlocal delay in a spatiotemporal brucellosis model: A Lyapunov approach to global attractivity

　　摘要：本文研究了一个具有两阶段易感结构、感染年龄结构、空间扩散、环境传播以及非局部延迟的布鲁氏菌病时空模型。两阶段易感结构将易感羔羊与易感成年羊区分开来，而感染年龄结构则用于推导出描述感染羊在潜伏期移动情况的格林函数加权非局部延迟。基本再生数R0是通过使用下一代感染算子来确定的。当R0>1时，我们证明了正的空间均匀平衡态的存在性与唯一性，并确立了感染组分的均匀持久性。此外，通过构建一种适用于格林函数加权延迟的新型李雅普诺夫函数，我们证明了对于所有具有非平凡感染组分的初始状态，该平衡态具有全局吸引性。数值模拟展示了R0的阈值作用、系统向平衡态的收敛过程，以及直接传播与环境传播的不同影响。

引言：布鲁氏菌病是一种重要的动物源性疾病，在许多畜牧地区仍然普遍存在，对动物健康、畜牧业生产以及公共卫生造成了持续影响。其传播受宿主易感性、环境污染、人口流动、人口结构以及干预措施等因素的影响。数学建模已成为理解布鲁氏菌病传播机制、评估预防策略以及预测疾病演变的有效工具。在过去的几十年里，布鲁氏菌病的数学模型从基本的隔室系统发展为更真实的流行病学框架。早期研究主要关注基本的动物传播机制、疫苗接种以及人畜感染途径。例如，González-Guzmán和Naulin[1]分析了带有疫苗接种的牛布鲁氏菌病模型，Zinsstag等人[2]则建立了蒙古地区的人畜布鲁氏菌病传播模型。后续研究则纳入了直接传播与间接传播[3]、环境污染[4]、[5]，以及不同群体间的交叉感染[6]，从而更好地描述了布鲁氏菌病的传播路径。为反映时间效应和干预措施，人们还研究了延迟模型[7]、季节性模型[8]、检测与扑杀策略[9]、不完全免疫性[10]以及异质性控制策略[11]。最近，人们越来越关注空间和人口结构因素，包括人口迁移、空间扩散[12]、两阶段易感结构或感染年龄结构[13]以及临床症状[14]。这些研究大大推动了布鲁氏菌病数学建模的发展。然而，大多数现有模型都是将空间移动、潜伏延迟、环境污染和人口结构分开处理的。目前仍缺乏一个能够整合这些机制的统一框架，尤其是连续空间环境中的潜伏期移动问题。这一局限性在羊布鲁氏菌病建模中尤为重要，原因如下：首先，许多模型没有描述连续的空间扩散，因此无法捕捉连续空间环境中的局部空间传播；其次，大多数布鲁氏菌病延迟模型使用局部固定延迟来表示潜伏期，这意味着在某一位置被感染的个体会在延迟后在同一位置变得具有传染性。这一假设对于羊群来说可能过于严格，因为潜伏感染的羊在潜伏期内是可以移动的。在时间t?τ于位置y被感染的个体可能会存活、迁移，并在时间t于位置x变得具有传染性，这就自然导致了需要格林函数加权的非局部延迟。因此，在羊布鲁氏菌病建模中，两阶段易感结构、环境污染、空间扩散以及通过感染年龄结构描述的潜伏期移动的综合效应仍然缺乏充分理解。对于羊布鲁氏菌病而言，发育阶段是一个重要的生物学因素，因为羔羊与成年羊之间的生理差异可能导致其对布鲁氏菌感染的易感性存在阶段性差异。这促使人们将易感羊分为易感羔羊S1(x,t)和易感成年羊S2(x,t)，从而形成两阶段易感结构。在本框架中，两阶段易感结构描述了感染前的阶段性易感性，而感染年龄结构则描述了感染后的潜伏期到具有传染性的转变过程。与本研究相关的，Bai等人[15]建立了两阶段的羊-环境布鲁氏菌病模型，并研究了阶段性易感性、环境传播、最优控制以及跨区域迁移的影响[16]。不过，现有的两阶段羊-环境布鲁氏菌病模型尚未在连续空间环境中引入格林函数加权的非局部延迟。从更广泛的流行病建模视角来看，由于宿主差异性、局部环境暴露、非线性发病率、空间移动以及延迟效应，真实的传播过程往往偏离均匀混合状态。Lloyd-Smith等人[17]研究了异质性传播和超级传播效应，Cooper等人[18]则分析了医院获得性感染动态中的异质性接触和管理效应。对于空间流行病动态，反应-扩散模型表明，空间扩散[19]和环境异质性[20]在决定阈值动态和渐近行为方面起着重要作用。为描述感染进展与空间移动的联合效应，人们为登革热[21]、口蹄疫[22]、蓝舌病[23]以及疟疾[24]开发了具有非局部延迟的反应-扩散模型。特别是，关于感染年龄扩散[25]、空间异质性[26]、非局部扩散与分布式延迟[27]、SIRS扩散动态[28]以及广义反应-扩散系统[29]的研究，为描述时空非局部传播过程提供了有用的方法论基础。关于记忆依赖型流行病模型[30]、分数阶微分方程[31]、奇异延迟系统[32]以及沃尔泰拉型系统[33]的相关研究，则进一步提供了处理记忆效应和延迟感染过程的分析工具。这些研究为将空间扩散、环境异质性、非局部延迟以及潜伏期移动纳入羊布鲁氏菌病建模提供了方法学支持。在本模型中，感染羊通过两种方式参与传播：它们直接感染易感羊，并将布鲁氏菌排入环境中。相比之下，潜伏感染的羊在完成潜伏期之前被认为不会对传播产生显著贡献。这种区分将感染的产生与具有传染性个体的延迟出现分开，为引入从潜伏感染到具有传染性的非局部延迟提供了生物学依据。在本文中，我们利用感染年龄结构推导出格林函数加权的非局部延迟，然后结合两阶段易感结构分析由此产生的反应-扩散延迟系统。感染年龄变量a通过潜伏期阈值τ将潜伏感染的羊与具有传染性的羊区分开来。基于Britton关于时空延迟的观点[34]，非局部延迟是由诺伊曼热半群[35]生成的。与常微分方程模型、斑块模型以及局部延迟模型相比，本模型能够捕捉连续的空间传播以及跨空间的历史依赖性。本工作的主要创新之处在于，从具有感染年龄结构的扩散方程中推导出格林函数加权的非局部延迟，并将其纳入两阶段羊-环境布鲁氏菌病模型中，从而在一个统一的分析框架中将潜伏期移动、空间扩散、环境污染以及阶段性易感性联系起来。本工作的主要贡献总结如下：•模型构建：构建了一个具有两阶段易感结构、直接传播、环境传播、空间扩散以及格林函数加权非局部延迟的反应-扩散布鲁氏菌病模型。该非局部延迟源自具有感染年龄结构的扩散方程。•适定性与紧致性：证明了带延迟的反应-扩散系统的全局适定性、正定性、最终有界性以及最终紧致性。•阈值动态与平衡态：通过下一代感染算子确定了基本再生数R0。当R0>1时，证明了正的空间均匀平衡态的存在性与唯一性。•均匀持久性：当R0>1时，确立了感染组分的均匀持久性，这为沿正长时间轨迹的对数李雅普诺夫函数的正定性提供了基础。•全局吸引性：构建了一种李雅普诺夫函数，用于处理空间卷积与时间延迟之间的耦合关系。结合LaSalle关于最终紧致半流体的不变性原理，证明了该平衡态的全局吸引性，即当R0>1时，所有从X0出发的解都会收敛到该平衡态。•数值示例：数值模拟展示了R0的阈值作用，说明了当R0<1时的灭绝趋势，证明了当R0>1时系统向平衡态的收敛性，并比较了直接传播与环境传播的效应。

模型构建：设Ω?Rm为一个具有光滑边界?Ω的有界连通域，n表示?Ω上的外单位法向量。除非另有说明，所有流行病学参数、扩散系数以及潜伏期τ均假定為正数。设S1(x,t)、S2(x,t)、I(x,t)和V(x,t)分别表示易感羔羊、易感成年羊、感染羊以及环境中的布鲁氏菌浓度。该模型包含了两种生物学结构：即……

主要结果：在本节中，我们为系统(2.9)建立了主要的分析结果，包括适定性、基本再生数、平衡态的存在性与唯一性、均匀持久性以及平衡态的全局吸引性。

时空数值模拟与收敛性分析：在本节中，我们对模型(2.9)进行了数值模拟，以展示R0的阈值作用，说明当R0<1时的灭绝趋势，并证明当R0>1时系统平衡态具有全局吸引性。为与理论分析保持一致，所有模型参数均假定为空间均匀的。空间变化仅通过初始历史函数引入。这样的设定使我们能够观察扩散如何平滑初始条件……

讨论：本文研究了一个具有两阶段易感结构、感染年龄结构、直接传播、间接环境传播以及非局部延迟的反应-扩散布鲁氏菌病模型。主要的数学难点在于非局部延迟项中空间卷积与时间延迟之间的耦合关系。为克服这一难题，我们构建了一个包含格林函数加权历史项的李雅普诺夫函数，并证明了该平衡态的全局吸引性……

作者贡献说明：徐生虎：撰写——审稿与编辑、概念构思。胡彦辉：撰写——初稿、可视化、软件应用。

未引用参考文献：[55]、[56]

致谢：第一作者部分研究工作得到了宁夏重点研发计划项目（项目编号2024BEH04077）、宁夏自然科学基金项目（项目编号2026AAC030359）以及北民大博士启动资金（项目编号2022QNPY16）的支持。

徐生虎 | 胡彦辉