利用基于神经网络的双线性方法，通过时间分数阶Clannish随机游走者抛物线方程来模拟复杂的海浪形态

《Ocean Engineering》：Modeling complex ocean wave patterns through a time-fractional Clannish Random Walker’s Parabolic equation using a neural network-assisted bilinear approach

　　•我们基于共形双线性框架为应用于海洋工程系统的非线性偏微分方程建立了孤子解。•所提出的新型BNN方法被用于获取波动模式解。•我们构建了特定的网络结构拓扑，包括2-3-1、2-4-1、2-2-2-1和2-3-2-1型。•这类新型孤子解包括呼吸波、团块波、分形解以及周期波形。•该研究为非线性波动动力学、分数扩散机制、波流相互作用以及海洋中的海岸工程过程提供了重要见解。

引言
早在1695年，我们就指出整数阶微积分或许可以扩展到分数阶情形。此后，人们不断尝试将分数阶微积分应用于现实世界，因为它被视为经典微积分的潜在延伸。例如，诸如电路、磁学、热传导以及心脏组织电极端点等众多物理系统，近年来都已通过非线性分数阶偏微分方程来描述（Muhammad等人，2025；Bilal等人，2025）。实际上，非线性分数阶偏微分方程旨在捕捉信号处理、聚合物科学、非布朗运动、系统识别、控制问题以及其他科学与工程领域中的各种基本现象（Ullah等人，2025；Amin等人，2025）。由于具有记忆性和遗传特性，非线性分数阶偏微分方程被广泛用于描述科学和工业领域的诸多现象（Abdalla等人，2025）。在数学物理学中，寻求非线性分数阶偏微分方程的精确解析解是一条重要途径，它能帮助人们更深入地理解所研究的课题。这一目标激励了大量学者致力于寻找这类方程的解析解，由此诞生了多种有效方法，如分数阶微分变换法（Fadugba等人，2025）、李对称性分析方法（Kumar和Wazwaz，2021）、Hirota双线性方法（Zhang等人，2024）、Sardar子方程方法（Murad等人，2024）、变分迭代法（Ibraheem等人，2022）等等。目前已有包括黎曼-刘维尔型、卡普托型、里兹型等多种分数阶导数的定义（Luchko，2022；Shahzad等人，2025；Canedo等人，2025；Younas等人，2024）。2014年，Khalil等人提出了共形导数，这是一种简洁直观的局部分数阶导数定义。从物理和几何角度而言，它可视为对传统整数阶导数的方向与幅度修正（Zhao和Luo，2017）。由于其出色的性能以及与经典导数的紧密关联，共形导数近年来受到了众多学者的关注。Kajouni等人（2021）还提出了一种名为“共形分数阶导数”的新型分数阶导数。在本研究中选用共形时间导数，是因为在研究非线性演化方程中的分数阶效应时，它具有简洁性、一致性以及较强的物理意义。与传统的非局部分数阶导数不同，共形导数是一种局部算子，但它具备与普通微分相同的性质，比如线性、乘积法则和链式法则。此外，当分数阶趋近于1时，共形导数会平滑地转化为经典的为一阶导数；因此，分数阶模型可被视为经典模型的自然延伸。本研究中所使用的缩写列表见表1。有一些学者试图求解Clannish随机游走抛物线方程以获得精确解析解，我们在表2中将现有结果与我们的新结果进行了对比。如Roshid等人（2025）所述，CRWP方程可应用于涉及扩散过程的领域，尤其是当两种物种或其他实体在共享区域内相互穿行或互动时。在拥挤系统中的粒子动力学模拟也是一个实际应用案例，其中一个种群群体的运动会影响另一个种群的扩散或分散行为（Ahmed等人，2025）。在生态学领域，这一概念可用于解释两种竞争物种如何在生态系统中迁移，其中个体的群居行为或聚集倾向会影响整个种群的构成结构（Alaoui等人，2024）。为了理解多物种系统的动态行为，比如环境研究中的传染病传播以及环境科学中的污染物迁移现象，该方程能够描述不同物种之间的相互作用及其整体动态规律（Seadawy等人，2021）。CRWP方程描述了两种随机游走者A和B的动态行为。在时间t和位置x处，这两种游走者同时进行的一维随机游走会使物种A的个体表现出更强的群居倾向。该方程的数学表达形式为函数Θ(t,x)，即Mt?Θ+rΘx+sΘΘx+pΘxx=0，其中r、s和p为非零常数，M为分数阶算子，且?属于(0,1)区间。Zhang和Bilige（2019）最近提出了一种名为双线性神经网络方法的新技术，它将双线性方法与深度学习神经网络模型相结合。他们利用该方法获得了p广义Burgers–Kadomtsev–Petviashvili方程的大量任意函数解，并通过多种精美的解图展示了偏微分方程精确解的多样性。（Qin等人，2024）研究了（4+1）维Boiti–Leon–Manna–Pempinelli类方程的各种精确解，而Zhu等人（2024）则利用BNNM方法构造了（3+1）维广义KP方程的各类孤子解。（Gai等人，2024）研究了（2+1）维扩展Sawada–Kotera方程中存在非弹性碰撞的N孤子及团块条带孤子现象。（Lv等人，2024）观察了（3+1）维广义浅水波方程中的呼吸波及相互作用现象。更为重要的是，人们还开发出了结合神经网络与解析方法的求解方案。Zhao和Zhang（2026）运用人工智能数学推导方法，得到了扩展Benjamin–Bona–Mahony方程的精确解。（Wang等人，2025）则通过使用分数阶子方程神经网络，研究了时空分数阶偏微分方程的解析解。Zhang和Bilige（2025）还将双线性神经网络方法应用于p-gBKP方程以及（3+1）维Boiti–Leon–Manna–Pempinelli方程，从而得到了这些非线性偏微分方程的精确解析解。为了解决非线性演化方程问题，Zhang和Li（2022）提出了双线性残差网络方法。Xie和Zhang（2025a）则提出了一种创新的神经网络符号计算方法，成功获得了Korteweg–de Vries方程的多组新解析解。这些实例都表明，BNNM方法可应用于各种复杂的非线性分数阶偏微分方程。通过BNNM方法，我们获得了多种类型的孤子解，比如团块型解（Liu和Zhu，2020）、孤立波解（Jamshidzadeh和Abazari，2017）、异常波解（He等人，2023）、孤子解（Wazwaz和Kaur，2019）、相互作用解（Muhammad等人，2026）、M型团块解（Ceesay等人，2024）、局域波解（Ceesay等人，2025）、周期波解以及呼吸波解（Younas等人，2025）。这些仅仅是利用多种经典测试函数所能构建的众多解析解中的一小部分而已。在BNNM框架下，深度学习神经网络展现出显著的非线性特性和强大的适应性，这使其相比传统的符号计算和数值方法具有明显优势。由于神经网络模型具有极其复杂的非线性特征，BNNM方法融合了多种传统技术，从而能够为非线性分数阶偏微分方程生成精确的解析解。

本研究的创新之处在于，它提出了一种基于神经网络辅助的共形双线性模型，用于求解含时间分数阶的Clannish随机游走抛物线方程的解析解。所提出的方法将符号计算与特别设计的神经网络拓扑结构（2-3-1、2-4-1、2-2-2-1和2-3-2-1型）相结合，相较于传统的双线性方法，更能提升精确解的生成效率。这种混合方法使得人们能够得到一些全新的孤子解类型，比如团块波、呼吸波、带有双指数函数的团块波、分形解以及周期波形。此外，作为神经网络辅助分析方法的应用实例，该方法还被用于海洋工程领域中适用的分数阶非线性波动方程，从而为模拟复杂的流体动力现象提供了一种新的理论方法。

本研究的主要贡献如下：
•提出了一种基于神经网络增强的共形双线性方案，用于求解含时间分数阶的Clannish随机游走抛物线方程。
•成功地将四种特殊的神经网络结构配置（2-3-1、2-4-1、2-2-2-1和2-3-2-1型）与符号双线性技术相结合，提升了解析解的生成能力。
•获得了多种新型的非线性波动解，包括呼吸波、团块波、带有双指数函数的团块波、分形解以及周期波形。
•对这些解进行了详细分析，包括随时间的变化趋势、线图表现、密度分布以及三维表面形态，从而更深入地了解了分数阶非线性波动的行为特征。
•所提出的框架是一种高效的计算工具，可用于研究非线性波动传播、分数阶扩散、能量局域化、波流相互作用以及海洋工程和其他流体动力系统中的异常传输现象。
•通过Levenberg–Marquardt人工神经网络方法对孤子解的精度和有效性进行了分析，同时还探讨了控制模型的调制不稳定性问题。
•本研究拓展了将分析工具与神经网络相结合的应用范围，这种组合也可用于研究分数阶非线性微分方程，对于进一步研究应用数学、流体力学以及海岸工程领域中的复杂波动现象具有重要作用。

本文提出的方法克服了以往关于CRWP方程研究的一些重要缺陷。早期的研究大多只致力于推导标准的双曲型、三角型和有理型孤立波解，而未能揭示更复杂的非线性现象，比如呼吸波之间的相互作用、分形结构以及双指数型团块现象，而这些现象在我们的基于神经网络架构的双线性框架中得以体现。此外，之前的数值方法和近似方法只能给出定性近似结果，而我们所提出的CBNN方法则能给出保留了分数阶系统完整数学结构的显式解析解。在传统的双线性方法中，试验函数总是需要人为猜测，而我们采用的结构化、系统化的张量构建方法以及多种不同的网络拓扑结构（从2-3-1到2-3-2-1型），则为生成各类孤子解提供了系统且可重复的流程。最后，此前的研究均没有对分数阶参数对物理波特性的影响进行过详细的定量分析，而我们的研究通过大量的敏感性分析以及经过Levenberg–Marquardt人工神经网络验证的性能指标，精准地阐述了共形分数阶导数如何影响物理波的速度调制、振幅缩放以及色散特性，从而将CRWP方程从单纯的数学研究工具转变为可用于海洋工程应用的具有物理意义建模工具。

在研究流体中的CRWP方程时，共形导数因其能够在数学可处理性与物理相关性之间取得平衡而备受青睐。本节将对它的基本定义以及若干重要特性进行阐述。

定义1：设Θ:R×(0,+∞)→R为一个给定的未知函数。那么Θ关于时间t的 ?阶共形时间分数阶导数可表示为Mt?Θ(t,x)=lim?→0Θ(t+?t1??,x)?Θ(t,x)?，其中?属于(0,1)区间，Mt?则表示关于t的?阶算子。该导数具有以下有益特性：
1. 线性性：假设θ和κ是两个?阶可微函数，则对于任意m、n属于实数集，都有Mt?Θ(mθ+nκ)=mMt?θ+nMt?κ。
2. 莱布尼茨法则：该导数需满足Mt?(Θ(κ))=Mt?Θκ+κMt?Θ。
3. 链式法则：设Θ是一个?阶可微函数，κ则是与Θ具有相同定义域的可微函数。此时，复合函数的共形导数可表示为Mt?(Θ°κ)(x,t)=t1??κt(x,t)Θt(κ(t,x))。另外，如果Θ是可微函数，那么Mt?Θ(t,x)=t1??dΘdt(t,x)。

定义2：对于非负数a，函数Θ的?阶共形分数阶积分定义为It?Θ(t)=∫atΘ(τ,x)τ1?tdτ，其中关于时间t的?阶共形分数阶积分算子记为M?，且?属于(0,1)区间。这种积分与典型的黎曼反常积分是等价的。若Θ是Mt定义域内的连续函数，那么对于t≥a的情况，可以证明Mt?It?(x,t)=Θ(x,t)。关于符合分数阶导数的特性及准则φ的更多信息，可参考Qasim等人2026年的研究、Ye等人2025年的研究以及Solís-Pérez等人2022年的研究。

方法论的总体流程
在本节中，我们将介绍CBNN技术的一般流程，其定义如下（更多细节可参见Zhang和Bilige 2019年的研究、Qin等人2024年的研究、Yuan等人2025年的研究、Lv等人2025年的研究以及Qasim等人2025年的研究）。假设符合导数意义下的非线性时分数阶偏微分方程（NLTFPDE）具有如下一般形式：QGΘ,Mt?Θ,Θx,Θxx,ΘΘx,…=0，其中0
符合双线性神经网络（cbnn）技术的应用
在本节中，我们将为crw方程构建双线性形式，以探索精确的孤子解。所采用的双线性对数变换形式为θ=2pslnfx,tx，其中s为非零常数，lnfx,t为对数变换函数。将公式（8）代入公式（1）后，可得符合双线性形式：?pfxfxx+pffxxx?rfx2+rffxx?t1??ftfx+t1??ffxt=0。公式（9）的d算子形式为(pdx3?t1??dtdx)=0。

双层分形孤子解的构建
利用单隐藏层测试函数“2-2-2-1”，通过求解双线性方程（9），可在符合意义下构建双层分形孤子解。其数学表达式为f=δ3,fφ3(θ3)+δ4,fφ3(θ4)，其中θk=δk,3φ1(θ1)+δk,4φ2(θ2)+ck，k=1,2，θi=δt,it?+δx,ix+ci，i=1,2。对于双层分形孤子解，所选择的激活函数分别为φ1(θ1)=θ1，φ2(θ2)=sin(θ2)，φ3(θ3)=θ32，φ4(θ4)=θ42。图11展示了公式（17）的结构。

双层周期型解的构建
同样利用单隐藏层测试函数“2-3-2-1”，通过求解双线性方程（9），可在符合意义下构建双层分形孤子解。其数学表达式为f=δ3,fφ3(θ3)+δ4,fφ3(θ4)+δ5,fφ5(θ5)，其中θk=δ1,kφ1(θ1)+δ2,kφ2(θ2)+ck，k=3,4,5，θi=δt,it?+δx,ix+ci，i=1,2。对于双层周期型解，所选择的激活函数分别为φ1(θ1)=cos(θ1)，φ2(θ2)=sin(θ2)，φ3(θ3)=θ32，φ4(θ4)=θ42，φ5(θ5)=θ52。

解的物理解释
现在，我们将探讨所获得解的图形化解释。通过cbnn技术得到的时分数阶crwp方程的解，体现了时间分数性效应与随机游走原理之间令人着迷的相互作用。这类孤子解表现为局部振荡波，其形状不会发生变化，且始终以恒定速度传播。这种现象可见于某些系统中。

levenberg–marquardt人工神经网络
levenberg–marquardt人工神经网络（lm-ann）是一种极为复杂且高效的优化技术，可用于训练神经网络，尤其适用于函数逼近和模式识别等非线性最小二乘问题。从数学上讲，该算法通过迭代规则来更新权重，公式为wn+1=wn?(jnτjn+ti)?1jnτcn，其中wn为第n次迭代时的权重向量；jn为网络误差相对于权重的雅可比矩阵；cn为误差向量；t为……

调制不稳定性
调制不稳定性（hossain等人2024年研究）是波动动力学中的基本现象，指稳定载波的微小扰动会迅速被放大，从而使均匀背景变得随机，进而形成一系列局部脉冲或周期性结构。在海洋工程领域，这一现象对于快速生成极端巨浪、海洋车辆的时变载荷，以及沿海地区方向性海况的变化具有重要意义。

结论
最终，我们成功应用了cbnn方法来求解时分数阶crwp方程，该方法提供了多种多样的解析解，有助于揭示非线性和分数阶系统的复杂动态特性。所生成的各类孤子解，如呼吸波、团块波，以及含有双指数函数、双层分形孤子和平行波解的解，都为我们深入理解相关现象提供了有力帮助。

credit作者贡献说明
muhammad zafarullah baber：撰写——审稿与编辑，撰写——初稿。muhammad qasim：撰写——审稿与编辑，撰写——初稿，软件开发。fengping yao：验证，监督，研究工作。yakup yildirim：可视化，验证。

资金支持
目前没有可用资金支持。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

muhammad zafarullah baber|muhammad qasim|fengping yao|yakup yildirim 符合双线性神经网络（cbnn）技术的应用 在本节中，我们将为crw方程构建双线性形式，以探索精确的孤子解。所采用的双线性对数变换形式为θ=2pslnFx,tx，其中s为非零常数，lnFx,t为对数变换函数。将公式（8）代入公式（1）后，可得符合双线性形式：?pFxFxx+pFFxxx?rFx2+rFFxx?t1??FtFx+t1??FFxt=0。公式（9）的D算子形式为(pDx3?t1??DtDx)=0。 双层分形孤子解的构建 利用单隐藏层测试函数“2-2-2-1”，通过求解双线性方程（9），可在符合意义下构建双层分形孤子解。其数学表达式为f=δ3,FΦ3(θ3)+δ4,FΦ3(θ4)，其中θk=δk,3Φ1(θ1)+δk,4Φ2(θ2)+ck，k=1,2，θi=δt,it?+δx,ix+ci，i=1,2。对于双层分形孤子解，所选择的激活函数分别为Φ1(θ1)=θ1，Φ2(θ2)=sin(θ2)，Φ3(θ3)=θ32，Φ4(θ4)=θ42。图11展示了公式（17）的结构。 双层周期型解的构建 同样利用单隐藏层测试函数“2-3-2-1”，通过求解双线性方程（9），可在符合意义下构建双层分形孤子解。其数学表达式为f=δ3,FΦ3(θ3)+δ4,FΦ3(θ4)+δ5,FΦ5(θ5)，其中θk=δ1,kΦ1(θ1)+δ2,kΦ2(θ2)+ck，k=3,4,5，θi=δt,it?+δx,ix+ci，i=1,2。对于双层周期型解，所选择的激活函数分别为Φ1(θ1)=cos(θ1)，Φ2(θ2)=sin(θ2)，Φ3(θ3)=θ32，Φ4(θ4)=θ42，Φ5(θ5)=θ52。 解的物理解释 现在，我们将探讨所获得解的图形化解释。通过cbnn技术得到的时分数阶crwp方程的解，体现了时间分数性效应与随机游走原理之间令人着迷的相互作用。这类孤子解表现为局部振荡波，其形状不会发生变化，且始终以恒定速度传播。这种现象可见于某些系统中。 levenberg–marquardt人工神经网络 levenberg–marquardt人工神经网络（lm-ann）是一种极为复杂且高效的优化技术，可用于训练神经网络，尤其适用于函数逼近和模式识别等非线性最小二乘问题。从数学上讲，该算法通过迭代规则来更新权重，公式为wn+1=Wn?(JnτJn+TI)?1Jnτcn，其中Wn为第n次迭代时的权重向量；Jn为网络误差相对于权重的雅可比矩阵；cn为误差向量；T为…… 调制不稳定性 调制不稳定性（hossain等人2024年研究）是波动动力学中的基本现象，指稳定载波的微小扰动会迅速被放大，从而使均匀背景变得随机，进而形成一系列局部脉冲或周期性结构。在海洋工程领域，这一现象对于快速生成极端巨浪、海洋车辆的时变载荷，以及沿海地区方向性海况的变化具有重要意义。 结论 最终，我们成功应用了cbnn方法来求解时分数阶crwp方程，该方法提供了多种多样的解析解，有助于揭示非线性和分数阶系统的复杂动态特性。所生成的各类孤子解，如呼吸波、团块波，以及含有双指数函数、双层分形孤子和平行波解的解，都为我们深入理解相关现象提供了有力帮助。 credit作者贡献说明 muhammad zafarullah baber：撰写——审稿与编辑，撰写——初稿。muhammad qasim：撰写——审稿与编辑，撰写——初稿，软件开发。fengping yao：验证，监督，研究工作。yakup yildirim：可视化，验证。 资金支持 目前没有可用资金支持。 利益冲突声明 作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。 muhammad zafarullah baber|muhammad qasim|fengping yao|yakup>
符合双线性神经网络（cbnn）技术的应用
在本节中，我们将为crw方程构建双线性形式，以探索精确的孤子解。所采用的双线性对数变换形式为θ=2pslnfx,tx，其中s为非零常数，lnfx,t为对数变换函数。将公式（8）代入公式（1）后，可得符合双线性形式：?pfxfxx+pffxxx?rfx2+rffxx?t1??ftfx+t1??ffxt=0。公式（9）的d算子形式为(pdx3?t1??dtdx)=0。

双层分形孤子解的构建
利用单隐藏层测试函数“2-2-2-1”，通过求解双线性方程（9），可在符合意义下构建双层分形孤子解。其数学表达式为f=δ3,fφ3(θ3)+δ4,fφ3(θ4)，其中θk=δk,3φ1(θ1)+δk,4φ2(θ2)+ck，k=1,2，θi=δt,it?+δx,ix+ci，i=1,2。对于双层分形孤子解，所选择的激活函数分别为φ1(θ1)=θ1，φ2(θ2)=sin(θ2)，φ3(θ3)=θ32，φ4(θ4)=θ42。图11展示了公式（17）的结构。

双层周期型解的构建
同样利用单隐藏层测试函数“2-3-2-1”，通过求解双线性方程（9），可在符合意义下构建双层分形孤子解。其数学表达式为f=δ3,fφ3(θ3)+δ4,fφ3(θ4)+δ5,fφ5(θ5)，其中θk=δ1,kφ1(θ1)+δ2,kφ2(θ2)+ck，k=3,4,5，θi=δt,it?+δx,ix+ci，i=1,2。对于双层周期型解，所选择的激活函数分别为φ1(θ1)=cos(θ1)，φ2(θ2)=sin(θ2)，φ3(θ3)=θ32，φ4(θ4)=θ42，φ5(θ5)=θ52。

解的物理解释
现在，我们将探讨所获得解的图形化解释。通过cbnn技术得到的时分数阶crwp方程的解，体现了时间分数性效应与随机游走原理之间令人着迷的相互作用。这类孤子解表现为局部振荡波，其形状不会发生变化，且始终以恒定速度传播。这种现象可见于某些系统中。

levenberg–marquardt人工神经网络
levenberg–marquardt人工神经网络（lm-ann）是一种极为复杂且高效的优化技术，可用于训练神经网络，尤其适用于函数逼近和模式识别等非线性最小二乘问题。从数学上讲，该算法通过迭代规则来更新权重，公式为wn+1=wn?(jnτjn+ti)?1jnτcn，其中wn为第n次迭代时的权重向量；jn为网络误差相对于权重的雅可比矩阵；cn为误差向量；t为……

调制不稳定性
调制不稳定性（hossain等人2024年研究）是波动动力学中的基本现象，指稳定载波的微小扰动会迅速被放大，从而使均匀背景变得随机，进而形成一系列局部脉冲或周期性结构。在海洋工程领域，这一现象对于快速生成极端巨浪、海洋车辆的时变载荷，以及沿海地区方向性海况的变化具有重要意义。

结论
最终，我们成功应用了cbnn方法来求解时分数阶crwp方程，该方法提供了多种多样的解析解，有助于揭示非线性和分数阶系统的复杂动态特性。所生成的各类孤子解，如呼吸波、团块波，以及含有双指数函数、双层分形孤子和平行波解的解，都为我们深入理解相关现象提供了有力帮助。

credit作者贡献说明
muhammad zafarullah baber：撰写——审稿与编辑，撰写——初稿。muhammad qasim：撰写——审稿与编辑，撰写——初稿，软件开发。fengping yao：验证，监督，研究工作。yakup yildirim：可视化，验证。

资金支持
目前没有可用资金支持。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

muhammad zafarullah baber|muhammad qasim|fengping yao|yakup yildirim>