用于非线性变阶分数阶反应-对流-扩散方程的自适应谱学习方法

《Chaos, Solitons & Fractals》：Adaptive spectral learning for nonlinear variable-order fractional reaction–advection–diffusion equations

　　摘要：本文针对非线性变阶分数反应-对流-扩散方程，提出了一种自适应谱学习框架。该框架将物理信息驱动的残差训练与有限谱表示相结合，无需内部解数据即可逼近变阶分数动力学过程。文中介绍了两种互补的谱残差方法：固定字典谱残差法利用预设的正弦模式，仅学习模态系数；自适应频率谱残差法则学习主导频率，剔除非活跃模式，并优化活跃系数的数值。变阶卡普托导数通过解析时间-功率关系式进行计算，空间分数算子则借助谱符号表示法得到。从精确可表示性、残差一致性、最优逼近包含性、残差到误差的稳定性以及活跃集保持性等方面为该方法提供了理论支撑。这些方法在三类非线性问题上进行了测试，包括反应-对流-扩散动力学问题、伯格斯型输运问题以及艾伦-坎恩型反应问题，每类问题都包含了人工构造的测试案例和硬参考基准，同时还加入了一个非正弦基准，以检验方法在非有限正弦参考解场景下的性能。通过与已有的传统方法的对比，进一步评估了方法的精度。对于艾伦-坎恩问题，还研究了反应系数变化对系统响应的影响，结果表明最终振幅和能量与该系数存在非单调依赖关系，在所研究的参数范围内，主导空间振荡模式得以保留。实验显示，当活跃模式已知时，固定字典谱残差法效率较高；而当需要恢复主导频率时，自适应频率谱残差法更具灵活性。总体而言，这些研究体现了计算效率、谱表示的自适应性以及处理VO-FRAD模型中参数依赖型非线性行为之间的良好平衡。

引言：分数微分方程为建模记忆效应、遗传效应和非局部输运现象提供了有效工具，这类现象常见于异常扩散、多孔介质、粘弹性材料、控制系统以及复杂材料中。传统的整数阶模型往往需要额外的经验项来描述此类行为，而分数模型则通过非局部算子直接实现对这类现象的表征。变阶分数模型则进一步提升了模型的灵活性，其微分阶数可随空间、时间或二者共同变化，这一特性在物理域内特性发生变化或过程动态演变时十分有用，这类模型广泛应用于异质介质、异常输运、非线性松弛以及多尺度反应-扩散系统中，不过它们的复杂性也带来了额外的分析和计算难题。非线性变阶分数系统还可能表现出强烈的参数依赖性，反应系数、输运系数或扩散系数的变化会改变解的振幅、空间分布模式以及能量分布，准确处理这类变化对于研究复杂的分数动力学至关重要，同时也为后续的延续性分析、稳定性研究及分岔分析提供了基础。分数偏微分方程的数值求解仍然面临诸多挑战，分数算子具有非局部性，其离散化往往会导致矩阵密度增大或出现长记忆项，而对于变阶模型，由于计算网格上微分阶数不断变化，计算成本会进一步上升，高频解的求解更是增添了难度，这在非线性反应-对流-扩散问题中尤为突出。基于物理信息驱动的残差训练的科学机器学习方法为解决这些问题提供了另一种途径，这类方法通过最小化控制残差以及初始条件和边界约束来逼近解，最初的物理信息神经网络框架已被应用于正向问题和逆向问题，此后物理信息学习逐渐成为科学计算领域的重要工具，诸如DeepXDE之类的软件库也使得这些方法更易于使用。分数物理信息方法将这一理念延伸到了分数模型中，庞、卢和卡尼阿达基斯提出了用于时空分数对流-扩散方程的fPINNs方法，他们的研究表明分数残差可以纳入物理信息学习框架中，不过分数残差的构建比整数阶情形更为复杂，因为相关算子具有非局部性，通常需要特殊的计算方法。物理信息学习方法也存在一些已知局限，比如训练速度可能较慢，且对损失缩放敏感，同时还可能难以处理刚性残差和高频成分，这些局限在处理变阶分数方程时尤为重要，空间分数符号可能会放大高频模式，因此用常规神经网络表示法很难恢复出振荡且不规则的谱结构。谱方法和基于算子的表示法则为解决这些问题提供了自然途径，近期出现的分离变量神经算子方法通过特征函数展开，将含时偏微分方程转化为低维系数问题，同时也能降低高频训练的难度，分数微分方程的谱方法早已得到成熟应用，基于傅里叶的分析思路也体现在基于傅里叶的神经方法以及神经算子中，这些发展表明，自适应谱表示法能够以简洁的方式处理振荡结构、非局部相互作用以及多尺度行为。近期的科学机器学习研究也强调了自适应训练、算子学习、基于残差的优化以及分离表示的重要性，这些进展凸显了在多尺度且高度振荡的问题中，高效谱参数化方法的必要性。现有的PINN和fPINN方法通常采用神经网络进行参数化，其可训练变量为网络权重和偏置，傅里叶特征方法和神经算子则依赖融入谱信息的神经架构，而传统的分数谱方法则使用预设的雅可比、勒让德、傅里叶或广义多项式基，之后直接求解得到的离散系统，无需进行自适应频率调整。本文提出的框架采用了不同的思路，它使用有限谱表示法，其可训练变量为模态系数，在自适应版本中，谱频率也可被训练，这使得可以直接发现频率、优化活跃集并实现稀疏谱恢复，而且该框架依然具有物理信息指导性，因为训练过程是由控制残差驱动的，与传统的谱方法不同，无需提前完全确定主导频率，对于选定的试验类别，时空分数算子也允许进行显式的残差计算，从而避免了分数PINN公式中常用的辅助求积步骤。本文旨在为非线性变阶分数反应-对流-扩散方程开发一种自适应谱学习框架，该框架将基于残差的学习与有限谱表示相结合，文中介绍了两种互补的谱残差方法，固定字典谱残差法利用预设的正弦模式，仅学习其系数，而自适应频率谱残差法则学习主导频率，筛选活跃集并优化保留的系数，这两种方法在训练过程中都不需要依赖实际数据，仅需控制残差、初始条件和边界条件以及预设的正则化项。通过人为构造的测试案例和硬参考案例来确定驱动力，并评估数值误差，硬参考案例包含更多不规则的高频谱成分，用以检验方法的鲁棒性，该框架适用于结构化且具有高频率特性的非线性分数动力学问题，并非通用的黑箱回归方法。本文还对艾伦-坎恩型问题进行了反应参数研究，保持驱动力及其他所有模型参数不变，仅改变反应系数，研究过程中跟踪了最终振幅、积分能量、解的分布形态以及完整的时空场，结果表明在保持主导振荡结构的同时，系统响应呈非单调变化，这一实验不仅拓展了固定参数精度方面的评估，还考察了该方法处理参数依赖型非线性行为的能力。本文的主要贡献如下：首先，为非线性VO-FRAD方程开发了一种自适应谱学习框架，该框架将基于残差的学习与有限谱表示相结合；其次，提出了两种互补的谱残差方法，固定字典谱残差法在预设基础上学习模态系数，自适应频率谱残差法则学习主导谱频率；第三，提出了一种分阶段的自适应频率策略，该策略结合了频率学习、活跃集筛选、频率分离、活跃系数优化以及L-BFGS系数精修技术；第四，从精确可表示性、最优逼近包含性、残差一致性、残差到误差的稳定性以及活跃集保持性等方面为该方法提供了结构化的理论支撑；第五，将这些方法应用于非线性反应-对流-扩散问题、伯格斯型问题以及艾伦-坎恩型问题中进行测试，同时包含了非正弦的人工构造基准案例，并与已有的传统数值方法进行了对比；第六，针对艾伦-坎恩型问题开展了反应参数实验，研究了非线性反应强度变化时振幅、能量以及时空解结构的变化情况。本文的其余结构如下：第2节介绍模型问题及变阶分数算子，第3节阐述两种谱残差方法，第4节为它们提供理论支撑，第5节展示数值实验结果，第6节对全文进行总结。

章节节选：初步知识与模型问题：本节介绍了本文中使用的变阶分数算子、模型类别以及人工构造的驱动力框架，这些定义与后续提出的算法分开阐述，以便在第3节中更清晰地介绍数值方法。提出的自适应谱学习框架：本节介绍了所设计的自适应谱学习框架及其两种互补的谱残差实现形式，这两种方法均采用相同的残差原理以及第2节中介绍的相同人工构造驱动力框架，区别在于谱参数化方式，第一种方法使用固定的正弦字典，仅学习模态系数，第二种方法则学习自适应频率，通过活跃集筛选后优化活跃系数的数值。理论支撑：本节为所提出的谱残差方法提供理论支持，相关结果并未证明该非凸训练问题具有全局收敛性，而是为所提出的近似类提供了结构上的支撑，同时说明了在局部稳定性假设下，残差最小化可如何被视为误差降低的过程。数值结果：我们在三个VO-FRAD基准问题上比较了固定字典谱残差法与自适应频率谱残差法的性能，测试案例包括一个基础的反应-对流-扩散模型、一个伯格斯型非线性输运模型以及一个艾伦-坎恩型立方反应模型，对于每个问题，我们都设置了人工构造的测试案例和硬参考案例，所有实验均不依赖实际数据，即Wdata=0，因此训练过程中仅使用控制残差、边界条件以及人工构造的驱动力项。误差通过E∞=来衡量。结论：我们为非线性VO-FRAD方程提出了两种谱残差方法，固定字典谱残差法使用预设的正弦字典，仅学习模态系数，而自适应频率谱残差法则同时学习谱频率，之后筛选活跃集并优化保留的系数，这两种方法的训练均无需内部解数据，训练过程中仅使用控制残差、边界条件以及正则化项。变阶卡普托导数。资金支持：本研究得到了南缅因大学科学与技术健康学院数学与统计系的资助，合同编号为0052990。利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。海曼·萨贝特，美国缅因州波特兰市南缅因大学数学与统计系，邮编04103。