基于双轴耦合的高维三端忆阻保守混沌系统的构建方法与实现

《Integration》：Construction method and implementation of high-dimensional three-terminal memristive conservative chaotic systems based on biaxial coupling

　　•一种方法通过相同状态的双轴耦合构建高维MCCS系统。•两个MCCS模型验证了该方法的扩展性及同步性能。•从三个角度揭示了MCCS多稳定性背后的能量机制。•与HCCS相比，MCCS能保持相体积，并呈现更复杂的混沌特性。•基于MCCS的伪随机数生成器通过了NIST测试，具有较高的随机性质量。

引言
1963年，洛伦兹提出了第一个混沌系统[1]，这为非线性科学开启了新维度，也引发了人们对混沌系统研究的兴趣。这一突破不仅颠覆了经典力学的确定性范式，还在多个领域引发了广泛关注。混沌系统具有对初始条件敏感、不可预测以及高遍历性等特征，非常适合用于图像加密、音频加密以及伪随机信号发生器设计[2][3][4][5][6][7]。混沌系统可分为耗散型混沌系统（DCS）和守恒型混沌系统（CCS）。目前，混沌理论及其应用研究主要集中于DCS，这类系统的相空间体积会持续收缩，最终坍缩为稳定的吸引子[8][9][10]。相比之下，CCS受到的关注相对较少。除了自治的哈密顿系统外，还有非自治的非哈密顿守恒系统被报道过。例如，参考文献[11]提出了一种二维时变守恒系统，该系统具有嵌套的混沌运动和准周期运动，能够保持相体积但无法保持能量，同时通过积分域重构和电路验证进一步阐明了这些动力学特性。总体而言，CCS的李雅普诺夫指数之和为零，且在演化过程中能保持相空间体积，因此无法形成吸引子。这些特性使得CCS具有更复杂的动力学行为和更强的不可预测性，从而能有效抵御基于相空间重构的攻击。因此，CCS在混沌信息安全领域具有显著优势[12][13][14]。

同时保持哈密顿能量和相体积的系统被称为哈密顿守恒混沌系统（HCCS）[15]。在经典力学中，基于主转动惯量的欧拉方程是描述刚体旋转动力学的基本方程[16]。受此启发，齐等人构建了一个扩展的4D子刚体模型。该模型通过共同轴线将两个子刚体相连。通过主动打破卡西米尔能量的守恒性，同时保持哈密顿能量的守恒，成功诱导出了混沌状态，并推导出了六种不同的HCCS类型[17]。在此基础上，季等人将单轴耦合机制扩展到三个4D子刚体，提出了一类HCCS家族的系统性构建方法[18]。先前的研究表明，欧拉方程中的二元乘积项确保了系统能量的守恒，而卡西米尔功率的不规则波动则是系统转变为混沌状态的主要原因[19]。为进一步分析HCCS的内在物理机制，参考文献[20]研究了系统从周期性、准周期运动向混沌乃至强混沌状态转变的动力学演化过程。总之，目前通过子刚体耦合构建守恒系统的研究大多局限于单共同轴机制，而针对双轴耦合机制的系统动力学研究则相对较少。

1971年，莱昂·O·楚亚提出了第一个忆阻器的概念[21]。作为第四种基本电路元件，忆阻器为电路设计开辟了新途径，也为混沌系统研究增添了新的实现维度。其独特的记忆特性与非线性动力学行为相结合，为构建具有复杂动力学的混沌电路提供了物理基础，极大拓展了混沌系统在保密通信和信息安全领域的应用潜力。参考文献[22]研究了一类由两个忆阻器组合而成的三维映射，这类映射在特定条件下会呈现出无限多的超混沌吸引子。参考文献[23]提出了一种二阶离散忆阻器混沌映射，该映射具有超混沌行为，并基于忆阻器设计出了对称的超混沌电路[24]。万等人[25]分别通过引入双曲型和二次型非线性忆阻器，模拟了电磁感应电流和电磁辐射对简单霍普菲尔德神经网络动力学的影响。在这个耦合系统中观察到了共存吸引子与分叉等复杂的非线性现象。邓等人设计了一种基于忆阻器的简单守恒混沌电路，该电路包含一个电容器和一个由二阶电压定义的忆阻器。他们研究了这种受控忆阻器系统的动力学特性，发现其对初始条件和参数具有高度敏感性，同时还存在共存轨迹与瞬态现象[26]。王等人将三端忆阻器引入哈密顿系统，实现了基于忆阻器的CCS系统[27]。叶等人提出了一种n维MHCCS系统的建模方法，证明了这类系统具有整数卡普兰-约克维数、哈密顿能量守恒以及体积守恒特性[28]。目前，用于构建基于忆阻器的守恒混沌系统的方法还比较少，现有的方法大多较为繁琐，且缺乏维度独立性。因此，研究构建新型基于忆阻器的守恒混沌系统既具有重要意义，也十分必要。

混沌系统的多稳定性或极端多稳定性意味着，在不同的初始条件下，系统的轨迹能够在不同的拓扑结构之间切换，从而表现出多个吸引子的共存现象。这一现象体现了混沌系统对初始条件高度敏感的核心特征，不仅极大地丰富了控制策略，也提升了系统的复杂性[29][30][31]。近年来，关于基于忆阻器的守恒混沌系统多稳定性的研究取得了进展。杜等人提出了一种新型三角波电荷控制忆阻器，并基于它构建了一个守恒系统，该系统表现出具有局部幅度调制特性的异质性与同质性多稳定性[32]。严等人提出了一种基于忆阻器的六维非哈密顿能量守恒系统，该系统具有不同的参数共存轨道、偏移提升效应、多样的瞬态过渡行为以及多种稳定状态[33]。李等人引入了一种基于忆阻器的三维守恒多波混沌系统，分析了混沌状态和准周期状态下多个共存轨道的共存现象[34]。李等人又提出了一种新型超混沌电路系统，并通过结合分叉图与状态转换过程中的能量变化，分析了系统的极端多稳定性[35]。参考文献[36]通过电子电路实验验证了两个耦合混沌振荡器产生极端多稳定性的可能性。参考文献[37]提出了一种耦合设计方法，通过耦合两个简单的混沌系统即可实现极端多稳定性。

近期的研究进一步表明，基于忆阻器的混沌系统正在朝着更高维度的动力学、嵌入式硬件实现以及面向安全的应用方向快速发展。一种基于高阶忆阻器的（4+n）维超混沌系统已通过微控制器实现数字化，并被应用于混沌辅助的心电图加密[38]。此外，还开发了一种可编程的5D忆阻器超混沌系统，用于生成融合环多翼吸引子以实现图像加密[39]。另外，一种基于微控制器的忆阻器也被集成到3D混沌系统中，并通过描述符观测器被用于安全通信实验[40]。最近，还提出了一种通过忆阻器增强神经网络动态性的通用方法，该方法被应用于基于物联网的机器人导航领域[41]；同时，还设计了一种具有预定时序同步功能的网格多滚动忆阻器楚亚电路，用于安全通信[42]；在一种简单的忆阻器混沌系统中，也研究了多种动态行为以及预定时序同步现象[43]。这些研究都证明了基于忆阻器的混沌系统在嵌入式实现、生物医学数据保护、图像加密、安全通信以及控制领域具有实际应用潜力，同时也激励人们进一步研究高维度的基于忆阻器的守恒混沌动力学。

本文提出了一种基于双轴耦合相同状态来构建高维三端忆阻器守恒混沌系统的方法。基于该方法，构建了两个高维系统，并对其守恒性质、平衡点分布、李雅普诺夫指数谱、复杂多稳定性以及系统复杂性进行了分析。本文的主要创新点如下：

1. 提出了一种具有双轴耦合相同状态特征的广义哈密顿系统
单轴耦合和双轴耦合都是常用的连接广义刚体子系统的方法，但不同耦合策略所引发的结构性机制尚未得到充分研究。本研究提出了一种特定的双轴耦合策略，并分析了其背后的结构性机制。在这种策略下，四维到六维系统的结构矩阵中会出现两行具有相同特征模式的行，这种结构特征被定义为“相同状态的双轴耦合”。此外，所提出的构建方法将相同状态的双轴耦合固定在结构矩阵的第一行和最后一行，从而为构建不同维度的广义哈密顿系统提供了可重复的框架。

2. 提出了一种构建基于三端忆阻器的守恒混沌系统的方法
与传统方法直接在现有守恒系统中引入忆阻器反馈项不同，本研究将三端忆阻器与通过结构设计产生的相同状态的双轴耦合相连接。这种连接方式增加了系统的维度，使广义哈密顿系统转变为忆阻器守恒混沌系统。更重要的是，同样的连接原理可以方便地应用于不同维度的系统，体现了所提方法在构建多维系统方面的通用性和便捷性。基于该方法，构建了两个高维MCCS模型。尽管这两个系统的维度不同，但它们采用相似的参数设置和初始条件，且表现出基本一致的动态特性。

本文的结构如下：第2节提出了一类基于三端忆阻器的守恒混沌系统的构建方法；第3节对系统进行了能量分析；第4节进行了系统动力学分析；第5节通过对比不同系统来阐述所提系统的优势；第6节设计了具有NIST SP800-22检测功能及安全性能评估的随机信号发生器；第7节完成了电路实现；第8节介绍了FPGA实现方式；第9节对全文进行了总结。

片段摘录

基于双轴耦合的广义哈密顿系统构建
本文采用一种特定的双轴耦合机制来构建广义哈密顿系统。在本研究中，结构矩阵中出现两行具有相同行向量的情况被定义为相同状态的双轴耦合。所谓相同状态的双轴耦合，指的是在没有外界扰动的情况下，两个对应状态变量的演化方程完全相同，这意味着它们的动力学行为是等价的。

系统哈密顿能量分析
本节以系统ΣM5作为典型案例进行研究。根据方程(19)，可以证明系统Σ23是一个哈密顿能量守恒系统。接下来，我们验证扩展后的六维系统ΣM5是否仍然满足哈密顿守恒定律。根据赫尔姆霍兹定理[44]，对于任何以标记紧凑形式表示的连续动力系统：dx(t)/dt = F(x,U)，其中x表示向量x1,x2,x3,…,xnT，U=[U1,U2,…,Un]T，速度矢量场可以……

动力学分析
为保证数值计算结果的精确性和可靠性，本研究中的所有动力学分析工作——包括李雅普诺夫指数谱的构建、分叉图的绘制以及相图的制作——都是在MATLAB R2024b软件平台上完成的。对于描述所研究系统的微分方程，采用的是四阶五阶龙格-库塔法进行数值积分求解。

系统比较
为更好地体现本文所构建的MCCS系统的优势，我们以最新的双轴耦合混沌系统研究结果[45]作为对比对象，利用相同状态的双轴耦合构建了一个哈密顿守恒混沌系统，作为系统ΣM5的对比对象。为此，这两个系统都是从四维广义哈密顿系统Σ23扩展而来的，系统ΣH4的表达式为：ΣH4: x?1=(Π43?Π42)x2x3+aΠ44x4，x?2=(Π41?Π43)x1x3+(Π44?Π43)x3x……

伪随机信号发生器的应用
在基于耗散型混沌系统的传统伪随机数生成器中，系统的轨迹通常会收敛到某些吸引子集合上，而这些吸引子集合的几何结构可能会暴露出确定性的动力学信息，从而便于进行相空间重建或状态估计。相比之下，所提出的MCCS系统能够保持相体积，且不存在吸引子集合，因此其轨迹可以在更广阔的相空间区域内演化，而不会渐近地收敛到某个固定的吸引子上。

模拟电路实现
为验证守恒型忆阻器混沌系统∑M5的电路实现可行性，我们使用Multisim软件设计了相应的电路。系统参数如表1所示，对应的系统方程为方程(50)：x?1=1/R1C1(x2x3)+(1+R23/R22)x4/R25+?∫x?1x?4dt/2(1+R23/R22)x4/R15/2C5/2R24，x?2=1/R4C2(x1x3)?1/R5C2(x3x4)，x?3=?1/R8C3(x1x2)+1/R9C3(x2x4)，x?4=1/R12C4(x2x3)?(1+R18/R16)x1/R19??∫x?1x?4dt/2(1+R18/R16)x4/R15/2C5/2R20，x?5=1/R15C5(x1x4)。

基于方程(50)，完成了电路设计。

FPGA实现
本章介绍的FPGA实现实际上是一种数字硬件实验。与模拟电路实现不同，所设计的系统是在实际的FPGA平台上运行的，其实时输出可以通过数字示波器进行观测。这两种实现方法相辅相成：模拟电路仿真用于评估使用传统电路元件实现该系统的可行性，而FPGA实验则用于验证其实时性能。结论本文提出了一种构建高维三端忆阻器基保守混沌系统的方法，该系统具有普遍性和实用性。首先，通过特定的双轴耦合方式构建一个在两个轴上状态相同的结构矩阵。将这些相同的状态置于结构矩阵的首行和末行，以便引入三端忆阻器，进而构建出广义哈密顿系统。利益冲突声明我们希望提请编辑注意以下可能被视为潜在利益冲突的情况以及对本研究提供的重大资金支持。我们确认所有署名作者均已阅读并批准了手稿，且没有其他符合作者资格但未被列入名单的人士。我们还确认手稿中作者的排列顺序已得到所有人的认可。我们确认已履行相应义务。致谢本研究部分得到了辽宁省自然科学基金（项目编号2025-MS-143）和辽宁省教育厅项目（项目编号LJ212410149007）的支持。丁哲松|严敏秀