基于Copula的方法预测死亡率：来自整合协调的新证据

《Insurance: Mathematics and Economics》：Forecast mortality rates with copula-based approaches: Novel evidence from integrated reconciliation

　　

死亡率数据呈现层次结构，其中总死亡人数等于性别特定死亡人数之和。虽然层次预测协调方法已改善了汇总层面的死亡率预测，但它们通常仅处理样本外阶段，而忽略了样本内建模中的协调。为弥补这一空白，研究人员在标准Lee-Carter（LC）框架内提出了三种基于Copula的方法，利用性别特定死亡率来协调总死亡率。通过将协调纳入样本内阶段，这些方法旨在改进参数估计，从而提升样本外预测准确性。利用澳大利亚、英国、美国、法国和日本1950–2020年65–100岁年龄组的数据，研究人员证明所提出的方法优于传统LC模型和基于LC的层次协调。所提出的完美协调方法实现了有限样本协调，在一系列敏感性分析中始终表现最佳。研究人员进一步阐述了该整合方法在预测预期寿命和定价定期年金方面的实际效用，突出了其在精算实务中的更广泛适用性。

**基于Copula的死亡率预测整合协调方法：背景、方法与结论解读**

**研究背景与问题提出**
死亡率数据本质具有层次结构，即总死亡人数严格等于性别特定（男性和女性）死亡人数之和。在精算实务中，准确预测总死亡率对于管理长寿风险和确保寿险公司及养老金基金的偿付能力至关重要。然而，现有层次预测协调方法（如层次时间序列（HTS）协调）通常仅在样本外预测阶段应用，通过后处理方式使下层预测之和与上层预测一致，而忽略了在样本内建模阶段对参数估计进行协调。这种分离式处理可能导致参数估计不够精确，尤其在高龄段数据稀疏时，样本内协调误差显著增大，进而影响样本外预测准确性。例如，研究人员的初步分析显示，传统Lee-Carter（LC）模型在100岁以上年龄组的协调残差存在系统性偏差和自相关。为弥补这一空白，研究人员在《Insurance: Mathematics and Economics》发表论文，开创性地将协调集成到建模阶段，提出三种基于Copula的整合协调方法，旨在提升总死亡率建模与预测的精度。

**研究概述与关键结论**
研究人员在标准Lee-Carter（LC）框架内，结合Copula与广义自回归条件异方差（GARCH）模型，提出了三种整合协调方法：渐近协调、惩罚协调和完美协调。这些方法将协调约束直接嵌入到极大似然估计（MLE）过程中，而非仅在预测后处理。使用澳大利亚、英国、美国、法国和日本1950–2020年65–100岁年龄组的人类死亡率数据库（Human Mortality Database）数据，以2011–2019年为测试集，通过均方根误差（RMSE）评估，发现三种方法均优于传统LC模型和基于LC的HTS协调（LC-HTS）。其中，完美协调方法在有限样本内强制实现零平均协调误差，在所有国家和敏感性分析中持续表现最佳，并在性别特定死亡率预测中也多数领先。进一步，研究人员基于完美协调方法预测了2021–2050年65岁预期寿命，并进行了定期年金定价案例研究，验证了其在实际精算场景中的有效性。

**关键技术方法概述**
（不超过250字）
研究采用以下核心方法：1）**Lee-Carter（LC）模型**：对性别特定对数死亡率建模，参数通过奇异值分解（SVD）估计，时间因子_κg,t用ARIMA(0,1,0)-GARCH(1,1)模型刻画异方差性。2）**Gumbel Copula**：用于捕捉男性和女性死亡率残差间的上尾依赖关系，依据贝叶斯信息准则（BIC）选择。3）**三种整合协调方法**：a) 渐近协调：通过假设协调误差向量在给定GARCH残差下服从零均值多元正态分布，将协调误差的似然项加入MLE中，实现大样本渐近协调；b) 惩罚协调：在MLE中引入惩罚项（λ乘以协调误差平方和），通过留出样本选择λ，平衡样本内拟合与预测精度；c) 完美协调：在第一阶段用Poisson似然最大化，同时施加等式约束使每个年龄组平均协调误差为零，第二阶段再用Copula-GARCH进行无约束MLE。所有方法均使用Human Mortality Database（2025）数据，样本覆盖澳大利亚、英国、美国、法国、日本1950–2020年的65–100岁年龄组。

**研究结果**

**5.1 样本外预测评估结果**
研究人员通过比较2011–2019年对数总死亡率的RMSE发现，完美协调方法在所有五个国家中均取得最小RMSE，比传统LC模型降低约10%（日本）至40%（英国）。在性别特定死亡率预测中，完美协调在五个国家中的四个国家表现最优。年龄特异性RMSE（RMSEx）结果显示，完美协调方法在85岁以上高龄段的预测优势尤为显著，这与其在样本内消除协调误差的能力一致。此外，年度RMSE（RMSEh）和95%预测区间（PI）的Bootstrap构造进一步验证了完美协调的可靠性。敏感性分析（更换误差指标为平均绝对百分比误差（MAPE）、调整年龄范围至80–100、改变训练样本为1970–2010、延长测试期至2001–2019、改ARIMA(1,1,0)）中，完美协调持续最优。为分离Copula与整合协调的贡献，研究人员对比了LC-GARCH-Copula-HTS模型（无样本内协调），其RMSE与LC-HTS相近，远差于完美协调，表明整合协调约束是提升精度的主要驱动力。

**5.2 预期寿命的长期分析**
基于完美协调方法，研究人员预测了2021–2050年各国65岁人口的总预期寿命（e₆₅）。点预测显示，各国e₆₅均呈上升趋势：澳大利亚从21.9年升至24.9年，英国从19.4年升至21.5年，美国从18.5年升至20.2年，法国从21.1年升至24.3年，日本从22.7年升至26.3年。95%PI表明英国不确定性最大（从2021年约1年宽到2050年3年宽），其他国家从约0.7年增至2年。该结果与死亡率最低（日本）和最高（美国）的观察一致。

**5.3 定期年金定价**
研究人员采用完美协调方法预测的死亡率，计算了不同年龄（65–90岁）和期限（5–30年）的定期年金现值（每1货币单位年付），使用各国当期政策现金利率（如澳大利亚4.10%，英国4.50%，美国4.25%，法国2.25%，日本0.50%）。结果显示，日本年金价格最高（因低死亡率和低利率），英国最低。95%PI显示英国不确定性最大。通过对比英国商业年金报价（Hargreaves Lansdown和Legal & General），研究人员发现，在4.50%（基准）和6.75%（压力）贴现率下，完美协调模型预测的年金价格范围覆盖了市场实际报价，验证了模型的实际适用性。另外，使用1950–2004年训练样本预测2005–2019年80–90岁人群的年金价格，完美协调的RMSE均低于LC和LC-HTS，且真实值全部落在95%置信区间内。

**总结与讨论**
论文在结论部分指出，基于Copula和LC模型，研究人员提出了三种将协调集成到建模阶段的新框架，以改进男性和女性死亡率与总死亡率预测的一致性。渐近方法在大样本下实现协调，惩罚方法平衡协调与预测精度，完美方法确保有限样本内零平均协调误差。通过纳入GARCH规范，这些方法统一处理了性别特异性残差的上尾依赖、潜在异方差性和协调问题。在澳大利亚、英国、美国、法国和日本1950–2020年65–100岁数据的实证中，完美协调方法在总死亡率和性别特异性死亡率预测中均取得最佳样本外表现，且经敏感性分析验证。基于完美协调的长期预期寿命分析和定期年金定价案例进一步展示了其实用价值。完美协调方法通过最优利用下层信息（性别特异性死亡率）来建模总死亡率，有助于精算实务中缓解死亡率和长寿风险，尤其在禁止性别定价的趋势下。研究还发现，完美协调的优势可能源于LC模型在高龄段的大幅协调误差。未来研究可扩展至更多离散层次（如死因亚组）、采用迹最小化方法调整预测步骤、考虑COVID-19的短期冲击影响，以及将完美协调扩展到高维非二元情形并利用层次Archimedean Copula处理复杂依赖结构。