基于奇异值熵与双线插值的波长调谐干涉测量综合谐波分析方法

《Precision Engineering》：Integrated harmonic analysis for wavelength tuning interferometry based on singular value entropy and dual-line interpolation

　　该研究的核心创新点与实际意义如下：•仅需一组干涉图即可同时测量多个平行表面。•采用SVE模型与自动全局噪声估计方法来量化全场扰动。•一种谐波校正方法将SVE与基于Nuttall窗的双谱线插值技术相结合。•通过单像素及全场误差评估，证明了该算法的高精度。

引言
在超精密光学领域中，精确测量表面形貌是实现工艺优化与质量控制的至关重要步骤[1,2]。表面加工精度决定了单个组件的性能以及整个光学系统的运行可靠性[3]。因此，对表面形貌进行高精度表征是确保系统整体性能的必要条件[4,5]。

在各类非接触式测量技术中，由于具有更高的精度且不会对物体造成破坏，相移干涉术已成为定量评估光学表面质量的首选方法[6]。与单帧分析相比，相移干涉术在表征平滑表面轮廓时具有更强的稳定性[5,6]。在这一领域中，通过调节光源波长与光程差之间的关系，可以利用波长调谐技术实现精确的相位控制[7]。由于无需机械移动部件，该方法在测量多层平行板或复杂的多层光学元件时具有天然的频率分辨优势。

在相移干涉术中，光谱分析与迭代参数估计已被证明是确定干涉信号谐波参数的有效手段[[8], [9], [10], [11], [12], [13]]。作为传统方法，基于最小二乘原理的迭代拟合算法被广泛用于估算相位偏移量与初始相位[[9], [10], [11], [12], [13]]。然而，这类拟合算法的效果在很大程度上取决于初始值的准确性以及噪声环境的稳定性；若缺乏这些条件，所得模型可能无法准确反映干涉信号的物理特性[12,13]。虽然先前的研究已经指出多寄生反射会对信号反演过程产生影响，但参与测量的表面数量与模型构建之间的确切关系仍有待进一步明确[13]。

Kim等人提出了一系列高性能窗函数[[14], [15], [16]]。但在相位解调过程中，准确的相位恢复严格依赖于精確的频率测定。由于这些算法通常是根据腔体长度来估算频率的，因此任何估算偏差都会不可避免地引入测量误差[17]。Bai等人则利用压缩感知和特征值分解等技术对透明多层材料的表面形貌进行了重建，从而逐像素提取频率与相位信息[18,19]。他们还引入了实值迭代算法，以解决测量中存在的频谱间隙问题[20]。此外，基于全最小二乘法的测量方法也得到了研究；尽管这类方法具有高精度且抗扰动能力强，但其较高的计算成本仍是实际应用中的重要考量因素[21,22]。

因此，量化干涉过程中的扰动与噪声程度是判断是否需要额外进行谐波参数校正的关键依据。在扰动较小的情况下，传统的快速傅里叶变换就能获得高精度结果；而当存在显著噪声时，就需要采用更为复杂且计算成本更高的校正方法。我们之前的研究曾运用近似熵与模糊熵模型对这一问题进行了初步探讨[23,24]，但这些方法计算繁琐，且对嵌入维数与相似度阈值的选取极为敏感。此外，准确重建多谐波参数是确保测量精度的核心所在[[25], [26], [27]]。具体而言，重建信号幅度有助于识别频谱混叠、对比度不均匀等问题。作为区分不同表面信号的关键因素，谐波频率估算的准确性直接决定了相位解调的成功与否。

基于上述分析，当前多表面干涉术面临的主要挑战包括：（1）建立一种高效的定量模型，用于评估信号扰动程度；（2）开发一种无需依赖粗略腔体长度估算的谐波参数估计算法与校正方法。为了解决这些难题，本研究提出了一种基于奇异值熵的干涉谐波光谱校正方法（SVE-IHSC），用于波长调谐型多表面干涉术。本研究的贡献在于将现有的光谱分析工具重构为一个能够感知扰动的干涉参数校正框架，而非仅仅引入独立的窗函数或插值公式。具体而言，本研究引入了SVE准则，用于量化干涉信号的扰动程度，并判断是否需要进行额外的谐波校正。在经过基于Nuttall窗的泄漏抑制处理后，再采用双箱插值映射技术，共同精确调整三个干涉谐波的频率、幅度以及初始相位。与一般的谐波检测方法不同，该方法是在全场像素级别获取估算参数，并将其直接融入到多表面干涉术的相位解调与重建流程中。这一策略不仅减少了非整数采样及波长调谐步长偏差带来的误差，还能在扰动较小时避免不必要的校正，从而在实际扰动条件下提升表面分离的可靠性与相位恢复的稳定性。

章节节选
多表面相移干涉术原理
在波长调谐干涉术中，如图1所示，会在透射板的正面与背面表面以及参考表面之间产生多束干涉光。对于某个特定像素(xw, yw)，其帧域中各叠加谐波的强度可表示为：
ISP(xw,yw,n)=I0(xw,yw)+∑p=13Gp(xw,yw)cos[Wp(xw,yw)+LpλIN+nΔλ]
其中，I0(xw, yw)表示像素(xw, yw)处的背景强度；n为帧域中的调谐指数，取值范围为n = 0, 1, 2, …, N?1。

基于Nuttall窗的谐波参数校正算法
在多表面干涉术中，由于采用非整数周期采样，往往会出现频谱泄漏现象，从而导致谐波参数估算不准确。而在多表面干涉系统中，来自不同光学界面的谐波具有很高的动态范围，较强的反射信号很容易淹没相邻的弱信号，这进一步加剧了这一问题。为抑制此类干扰，我们采用了双谱线插值算法，并结合四项三阶Nuttall窗函数。该窗函数的峰值极低。

对采集到的强度信号的奇异值熵评估
为了定量评估信号中噪声干扰的程度，鉴于奇异值分解能够有效提取信号能量分布特征，且对信号的变化十分敏感，本文采用奇异值熵（SVE）来定量分析信号的复杂性。具体流程如下：首先，对于待分析的信号Isp=[Isp(1),Isp(2),…,Isp(N)]，构建其对应的汉克尔矩阵Asvd。然后设定嵌入参数……

性能比较与误差分析
本部分通过误差分析及仿真试验，验证所提出的SVE-IHSC算法的有效性。这些分析主要考察以下方面：（1）算法的基本求解性能；（2）对不同信噪比条件的鲁棒性；（3）对相移误差的稳定性。通过与传统的FFT算法以及采用汉宁窗的自卷积FFT算法进行比较，证明了所提算法的优势。

实验
为验证所提算法在实际测量中的有效性，我们使用了配备可调激光源（TLB-6804，NEW FOCUS；总调谐范围为200 GHz，相当于0.26 nm）的菲佐干涉仪进行了实验，如图17所示。实验对象为一块平均厚度为30 mm、折射率为1.456的透明平行板，该板放置在参考板前方130 mm处。实验过程中尽量减少了随机扰动的影响……

结论
本研究提出了SVE-IHSC方法，旨在克服多表面波长调谐干涉术在精度与稳定性方面的局限。该方法整合了三项核心创新：利用具有快速旁瓣衰减特性的Nuttall窗来抑制频谱泄漏；采用双箱谱线插值技术，建立频谱偏差与校正因子之间的精确关联；以及运用SVE模型来量化信号扰动程度。

资金支持
作者们衷心感谢浙江省自然科学基金（项目编号：LQN25E050024）、湖州大学研究生科学研究创新项目（项目编号：2025KYCX79）、中央政府引导地方科技发展资金项目（2025ZY01056）、浙江省财政项目（2025E10113）以及2026年度浙江省大学生科技创新计划（新种子人才计划）所提供的支持。

CRediT作者贡献声明
Lin Chang：方法学、软件、验证、可视化、写作——原始稿撰写。Shenghuan Jin：方法学、写作——原始稿撰写。Fangjun Xie：验证、写作——原始稿撰写。Long Chen：方法学、验证。Yingjie Yu：调研、监督。Jiehua Gao：调研、方法学。Yiqing Cao：监督。

利益冲突声明
作者们声明不存在任何可能影响本文研究工作的已知竞争性财务利益或个人关系。

Lin Chang|Shenghuan Jin|Fangjun Xie|Long Chen|Yingjie Yu|Jiehua Gao|Yiqing Cao