一种创新的逐步随机线性化方法用于求解确定性非线性微分方程

《Probabilistic Engineering Mechanics》：An innovative step-by-step stochastic linearization procedure for solving deterministic nonlinear differential equations

　　

确定性非线性微分方程在工程中广泛用于模拟不同机械系统的响应。大多数情况下，无法获得精确解析解，因此需要近似技术。确定性线性化方法构成了一类常见的近似技术。然而，开发同时兼具高精度与计算效率的方法仍然是一项具有挑战性的任务。本文中，研究人员提出了一种基于随机框架的创新方法，用于求解确定性非线性微分方程。关键思想是将初始条件替换为一个具有小方差且均值等于确定性初始值的高斯随机变量。这一变换将确定性响应转化为一个随机过程，其概率密度函数（probability density function, PDF）遵循无扩散Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程演化。基于此公式，推导出了一阶统计量的演化方程，并引入了一种基于逐步随机线性化的创新数值方法。该方法将非线性项的均值在不同步骤中进行细分，从而在每个步骤内可获得闭式线性化解以及相应的时间瞬间。研究表明，对于足够小的初始条件方差，随机过程的均值与原始确定性非线性方程的解重合。通过数值应用（涉及具有一个和两个非线性弹簧的Kelvin-Voigt型模型）评估了所提出方法的可靠性。结果表明，该方法与直接Runge-Kutta积分和拟线性化方法均表现出极好的一致性，从而确认了其准确性和有效性。此外，值得强调的是，该方法的性能得到了增强，因为其显著减少了计算时间。

在工程领域，确定性非线性微分方程广泛用于描述机械系统的动力学行为，然而其精确解析解通常无法获得，因此近似方法不可或缺。现有的确定性线性化方法（如局部切线线性化、等效线性化及迭代拟线性化）虽各有优势，但开发同时兼顾高精度与计算效率的方法仍具挑战。为此，研究人员提出了一种基于随机框架的创新型逐步线性化方法，发表于《Probabilistic Engineering Mechanics》。该方法将确定性初始条件替换为小方差高斯随机变量，利用无扩散Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程描述响应随机过程的概率密度函数（PDF）演化，进而推导出一阶统计量的演化方程，并基于此发展出逐步随机线性化数值方法。研究表明，当初始条件方差足够小时，随机过程的均值与原始确定性非线性方程的解完全一致，且该方法在保持精度的同时大幅降低了计算时间，为确定性非线性问题提供了新的求解视角。

为开展研究，研究人员主要采用了以下关键技术方法：（1）初始条件随机化：将确定性初始条件替换为均值等于初始值、方差足够小的高斯随机变量，使问题转化为随机过程。（2）无扩散FPK方程建模：利用该线性方程描述响应PDF的时变演化，其中非线性项转化为概率空间中的变系数。（3）一阶统计量演化方程推导：基于FPK方程，通过积分导出均值演化方程，并证明该方程的解与原确定性非线性方程的解一致。（4）逐步随机线性化方法：将非线性项均值分步，在各步内采用等效线性系数（通过局部近似求得）获得闭式解，并解析计算对应时间步长，从而构建整个时间域的响应。

### 数值应用：具有非线性弹簧的Kelvin-Voigt模型（Kelvin-Voigt model with nonlinear spring）
研究人员针对单非线性弹簧系统，考虑了三种幂律指数（ν=0.5软化、ν=1.0线性、ν=3.0硬化）的算例。通过将初始条件替换为方差σ_X0²=0.01 m²的高斯随机变量，采用逐步方法求解均值演化方程，并与直接Runge-Kutta积分及拟线性化方法进行对比。结果显示，三种情况下的响应曲线完全重合，验证了方法的准确性。计算时间方面，对于ν=0.5情况，所提方法（CT(PP)=5.27×10^-4 s）相比Runge-Kutta（CT(RK)=7.68×10^-3 s）减少93.13%，相比拟线性化（CT(QL)=3.06×10^-3 s）减少82.78%；对于ν=3.0情况，减少幅度分别达98.13%和99.04%。

### 数值应用：具有两个非线性弹簧的Kelvin-Voigt模型（Kelvin-Voigt model with two nonlinear springs）
针对两个并联非线性弹簧系统，研究人员考虑了三种参数组合（ν₁=3.0, ν₂=1.0；ν₁=2.0, ν₂=0.5；ν₁=1.0, ν₂=0.5），同样采用方差σ_X0²=0.01 m²的高斯初始条件。通过与Runge-Kutta积分和拟线性化方法对比，所提方法的结果同样完美吻合。计算时间上，对于ν₁=3.0, ν₂=1.0情况，所提方法（CT(PP)=6.70×10^-4 s）相比Runge-Kutta（CT(RK)=2.41×10^-3 s）减少72.16%，相比拟线性化（CT(QL)=1.51×10^-1 s）减少99.56%；对于ν₁=2.0, ν₂=0.5情况，减少幅度分别达71.93%和99.99%。这些结果进一步证实了方法在复杂非线性系统中的适用性和高效性。

在总结讨论部分，研究人员指出，本文提出了一种通过随机方法求解确定性非线性微分方程的创新性方法。初始步骤是将确定性初始条件替换为小方差、均值等于确定性初始值的高斯随机变量。这一变换允许通过无扩散Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程对响应进行概率描述，而确定性解则从相关随机过程的一阶统计量中恢复。主要理论成果是，对于小方差初始条件，随机过程的均值响应与原始确定性非线性方程的解重合。基于此，发展了一种创新数值方法。该方法不依赖于传统的时间轴离散化，而是通过细分非线性项均值的范围，并在每个区间内求解与等效系数和对应时间瞬间相关联的线性化闭式问题。对具有一个和两个非线性弹簧（包括软化、线性和硬化行为）的Kelvin-Voigt型模型的数值应用表明，所提方法不仅与Runge-Kutta积分和拟线性化方法的结果高度一致，而且显著减少了计算时间。因此，所提方法可视为一种可靠且计算高效的方法，为确定性非线性问题的处理开辟了新的视角，表明即使在缺乏外部随机性的情况下，随机工具也可被利用。未来发展方向可能包括将所提方法扩展到多自由度系统以及具有更复杂非线性特性的系统。

研究结论部分翻译如下：本文提出了一种通过随机方法求解确定性非线性微分方程的创新性方法。初始步骤是将确定性初始条件替换为小方差、均值等于确定性初始值的高斯随机变量。这一变换允许通过无扩散Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程对响应进行概率描述，而确定性解则从相关随机过程的一阶统计量中恢复。主要理论成果是，对于小方差初始条件，随机过程的均值响应与原始确定性非线性方程的解重合。基于此，发展了一种创新数值方法。该方法不依赖于传统的时间轴离散化，而是通过细分非线性项均值的范围，并在每个区间内求解与等效系数和对应时间瞬间相关联的线性化闭式问题。对具有一个和两个非线性弹簧（包括软化、线性和硬化行为）的Kelvin-Voigt型模型的数值应用表明，所提方法不仅与Runge-Kutta积分和拟线性化方法的结果高度一致，而且显著减少了计算时间。因此，所提方法可视为一种可靠且计算高效的方法，为确定性非线性问题的处理开辟了新的视角，表明即使在缺乏外部随机性的情况下，随机工具也可被利用。未来发展方向可能包括将所提方法扩展到多自由度系统以及具有更复杂非线性特性的系统。