基于NURBS的显式三周期极小曲面重建用于多孔设计和等几何分析

《Materials & Design》：NURBS-based explicit triply periodic minimal surfaces reconstruction for porous design and isogeometric analysis

　　

受材料设计与增材制造快速发展的驱动，多孔结构已成为多种工程应用（包括组织工程、热绝缘和能量吸收）中的通用解决方案。与传统的块体材料相比，这些架构表现出优越的力学和功能特性，具有低密度、高比强度以及可调刚度等特征。近年来，三周期极小曲面（TPMS）结构因其高比表面积、平滑的通道形态、增强的疲劳抗力以及优异的热性能，在现有孔隙拓扑中引起了广泛关注。TPMS是由数学定义的一类架构，在三个独立空间方向上具有周期性，且每一点的平均曲率为零。Rajagopalan和Robb首次将TPMS引入组织工程支架设计，展示了其在生物医学领域的潜力。此后，这些架构在热交换器、建筑、航空航天工程、化学微反应器和组织工程等多个领域得到了广泛探索。尽管TPMS在多孔设计中日益重要，其几何表示和建模在现有商业CAD/CAE/CAM环境中仍具挑战性。在数学上，TPMS是微分几何中的极小曲面，具有晶体学群的对称性。这些曲面通常通过隐式函数形式（其中为常数）近似表示。因此，需要特定算法来操作这些隐式函数以用于工程应用，例如与CAD中样条曲面的布尔运算、用于CAE的高质量网格生成策略。或者，隐式表示应转换为显式格式（如NURBS）以确保与现有CAX环境的兼容性。在本研究中，研究人员将四种流行的TPMS单胞重建为基于NURBS的曲面和体表示。这一重建促进了与商业CAD工具的无缝互操作性，并支持等几何分析，从而推进了统一的CAD/CAE集成管道。

论文解读文章

**研究背景与问题**

多孔结构在组织工程、热绝缘和能量吸收等领域具有广泛工程应用，其中三周期极小曲面（TPMS）结构因其高比表面积、平滑通道形态、增强疲劳抗力和优异热性能而备受关注。然而，TPMS的几何表示和建模在现有商业CAD/CAE/CAM环境中仍面临挑战。传统隐式表示（如水平集函数）虽支持功能梯度建模，但无法直接兼容CAD系统的边界表示（B-rep）格式，且离散化（如移动立方体算法）引入额外计算开销并降低参数可控性。显式建模方法（如NURBS）虽能利用现有软件生态，但现有重建方法在贴片间连续性（仅达C⁰）和厚度控制方面存在局限。为此，研究人员提出一种基于NURBS的统一显式重建框架，旨在实现TPMS结构的高精度、连续性和与CAD/CAE管道的无缝集成。该研究发表在《Materials》。

**主要技术方法**

研究人员采用以下关键技术方法：（1）基于Enneper-Weierstrass参数化表示生成精确采样点；（2）利用约束最小二乘NURBS拟合和Bézier提取策略，施加C¹几何连续性约束，通过对称映射规则（如旋转和反射）实现贴片间平滑过渡；（3）构建三变量NURBS实体，通过插值预计算的一系列偏移曲面，支持等值面提取以直接生成任意偏移距离的TPMS曲面和实体；（4）建立偏移距离与相对密度、比表面积之间的显式参数关系（幂律和二次多项式拟合），实现逆设计；（5）开发开源图形界面软件，支持TPMS建模、逆设计和几何导出（STL/STEP格式）。

**研究结果**

**3. 重建TPMS参数化曲面**
通过约束NURBS拟合和C¹连续性改进技术，重建了P、I-WP、G和D四种类型TPMS的基本贴片，并组装成完整单胞。研究采用Bézier映射策略，将Bézier贴片提升至双五次度以施加C¹约束，确保全局平滑性。

**4. 构建TPMS参数化实体**
通过插值九个预计算的偏移曲面构建三变量NURBS实体，并开发等值面提取方法。研究验证了提取曲面的C¹连续性和误差有界性（通过斑马条纹分析和误差分布）。建立了厚度参数与相对密度、比表面积之间的显式关系（所有拟合R² > 0.999），支持基于目标属性的逆设计。

**5. 结果与讨论**
**5.1 逼近精度**：收敛分析表明，随着细分水平增加，最大拟合误差单调递减。P、G、D曲面在10^-4误差阈值下分别采用16×16、24×24和20×20子贴片，I-WP采用32×32子贴片（误差阈值10^-3）。斑马条纹和平均曲率分布验证了全局C¹连续性。

**5.2 与隐式表示比较**
**5.2.1 厚度控制**：隐式表示中，等值面偏移距离随水平集常数非线性变化且不均匀；而显式方法通过沿法向位移实现均匀厚度。
**5.2.2 几何精度**：以Enneper-Weierstrass解为基准，NURBS表示误差（P:0.0318%, I-WP:0.2009%, G:0.0290%, D:0.0635%）显著低于隐式表示（1.1347%, 4.8239%, 0.1357%, 0.1506%）。
**5.2.3 曲面网格质量**：显式四边形网格质量集中在高值区间（无元素低于0.44），而隐式三角形网格存在低质量元素。
**5.2.4 有限元性能**：在P型壳模型的非线性压缩分析中，显式模型无畸变单元，迭代次数更少，计算时间相近，应力分布吻合。

**5.3 压缩响应与数值验证**
对四种TPMS单胞进行等几何分析（IGA）并与有限元分析（FEA）对比，最大位移误差低于0.4%。进一步与文献中P型TPMS试样的准静态压缩实验对比，力-位移曲线初始阶段和平台区吻合良好，验证了显式模型在大变形分析中的适用性。

**5.4 复杂几何建模**
通过自由变形（FFD）方法生成梯度TPMS结构，保持C¹连续性。通过布尔运算将TPMS单胞阵列填充至复杂边界体积，并采用FDM 3D打印验证了直接可制造性。

**6. 开源实现**
开发了图形界面软件“Explicit TPMS Structure Generator”，支持TPMS类型选择、单胞尺寸、阵列数量、偏移距离、壁厚、相对密度以及复杂边界填充，可导出STL/STEP文件，无需编程。

**结论总结与讨论**

讨论部分指出，所提框架与隐式表示相比，在厚度均匀性、几何精度、网格质量和有限元收敛性方面具有优势，且通过压缩验证和复杂建模证明了工程实用性。但当前框架仅支持单一拓扑类型，混合多拓扑TPMS结构仍需进一步研究。

**研究结论翻译**：本文提出了一种基于NURBS的显式参数化框架，用于TPMS结构的几何建模。通过利用TPMS固有的对称性和周期性，重建基本贴片并组装成完整单胞，所有共享贴片边界施加C¹连续性。基于此曲面表示，开发了参数化实体建模策略，以直接构建具有用户控制厚度和孔隙率的体TPMS几何。该框架为研究人员提供了一种灵活统一的几何工具，用于快速可控地生成TPMS模型。与常规隐式表示相比，基于NURBS的方法提供了对曲面几何的直接控制、严格的连续性管理以及与标准CAD环境的无缝集成。为促进实际应用和可重复性，开源实现“Explicit TPMS Structure Generator”已公开，提供图形界面用于TPMS建模、逆设计和几何导出（STL和STEP格式），无需编程。然而，当前工作采用单一拓扑类型，混合多拓扑TPMS结构仍超出范围，未来方向包括梯度或混合多拓扑配置的构建。总体而言，该框架为TPMS建模建立了稳健连贯的几何基础，支持设计探索和CAD工作流集成，凸显了其在几何优化、参数化设计和先进TPMS工程应用中的潜力。