《International Communications in Heat and Mass Transfer》：Wall heat transfer reconstruction in laminar and unsteady convective flows using physics-informed neural networks with coordinate transformations
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在许多对流换热实验中，速度场通常可通过成熟技术（如粒子图像测速法（PIV））以高时空分辨率测量获得。相比之下，非定常且空间分辨的温度场或传热特性通常更难获得同等覆盖范围和分辨率，并依赖于更专业的非侵入式诊断方法。然而，热工程中关注的主要量通常是壁面热流及其无量
在许多对流换热实验中，速度场通常可通过成熟技术（如粒子图像测速法（PIV））以高时空分辨率测量获得。相比之下，非定常且空间分辨的温度场或传热特性通常更难获得同等覆盖范围和分辨率，并依赖于更专业的非侵入式诊断方法。然而，热工程中关注的主要量通常是壁面热流及其无量纲形式——努塞尔数（Nu）。尽管传热常通过全局努塞尔数（Nu）与雷诺数（Re）和普朗特数（Pr）的相关性来表示，但此类相关性仅提供关于局部输运机制的有限信息。这引出了一个关键问题：能否从精确测量的速度场可靠地重建温度场，尤其是与壁面传热相关的近壁区域？近壁区域的重建比主流区域困难得多，因为薄热边界层需要高分辨率的局部测量来恢复陡峭的壁面法向温度梯度。在复杂几何形状或非定常对流流动中，这一挑战更为严峻，不规则近壁热结构和羽流动力学进一步加剧了难度。
近年来，许多研究致力于从流动信息或不完整热数据中重建传热量。例如，Weiss等人推导了一种基于泊松的公式，从湍流瑞利-贝纳德对流（RBC）中具有时空分辨率的速度数据重建温度场，表明温度可从流动信息推断，但该方法需要高分辨率速度数据。更广泛地，近期研究应用基于神经网络的方法来模拟复杂热流体系统中的耦合流动、传热和传质。在这些方法中，物理信息神经网络（PINNs）因其结合物理建模与机器学习，为温度重建提供了特别有前景的框架。Mommert等人将PINNs应用于RBC，表明从速度重建温度比反向任务更具挑战性。Volk等人进一步表明，即使仅使用测量平面内的立体PIV数据，PINNs也能恢复温度场。然而，他们的研究也表明，即使应用了近壁采样策略，热边界层区域仍然特别难以准确重建。此外，近期逆传热研究使用PINNs从稀疏热测量数据估计壁面热流或对流换热系数。这些工作表明，基于PINNs的传热重建是可行的，但当前研究仍主要关注主流温度恢复或参数估计。直接从已知速度场系统重建近壁热边界层和局部努塞尔数（Nu）的研究仍较少探索。
尽管PINNs通过考虑控制方程和边界条件为温度场重建提供了自然框架，但其标准形式在壁面约束对流换热中仍面临明显困难。特别是，标准PINNs通常难以解析加热或冷却壁面附近的陡峭温度梯度，当热边界层较薄时会导致显著差异。一个原因是PINNs倾向于先学习平滑或主导的大尺度分量，而小尺度和高梯度结构更难捕捉。另一个原因是损失函数多项式中不平衡会阻碍收敛，例如主流区域的物理损失可能主导训练过程，而近壁陡峭梯度区域的边界损失未能充分强制执行。因此，主流温度趋势可能重建得相当好，但壁面法向温度梯度和由此产生的局部努塞尔数（Nu）仍难以准确预测。
这些局限性促使了多项改进PINNs在多尺度和边界层主导问题中性能的努力。一类方法侧重于训练相关的修改，如损失重新加权或多尺度输入表示，以减少对大尺度分量的偏置并提高对小尺度结构的敏感性。然而，这些方法并未从根本上改变薄热边界层的物理坐标尺度，也未在弯曲加热壁面附近将计算坐标与壁面法向方向对齐，而这对局部热流评估至关重要。另一类方法使用问题特定的分解。例如，Arzani等人提出了边界层PINN，其中内区和外区分开表示。类似地，Huang等人开发了多尺度PINN框架，通过将域划分为不同尺度区域来处理高雷诺数边界层流动。这些基于分解的方法可以改善薄层的表示，但需要预定义子域界面和额外的界面连续性约束。这些研究表明，改进薄层表示对于可靠重建陡峭近壁梯度至关重要。
除了修改神经网络或其训练策略的方法外，另一种途径是通过坐标变换从物理侧重新表述问题。关键思想是将原始域映射到计算空间，其中复杂几何形状得到规则化，陡峭的近壁梯度得到有效平滑，从而简化PINN的学习任务。这一策略在薄边界层流动问题中显示出明显潜力。例如，坐标变换已被用于改进高雷诺数边界层流动中的PINN性能、薄层流动以及不同几何形状的腔体流动。这些研究表明，坐标变换可以为改进壁面主导问题中的PINN性能提供有用途径。然而，其首要目标是流场预测，而非对流换热重建。这一区别很重要，因为传热重建不仅是场推断问题，还是梯度敏感的壁面通量估计问题。近壁温度场的微小误差可能导致努塞尔数（Nu）的放大误差。此外，传热控制方程中的对流项和扩散项，以及用于热流评估的壁面法向导数，必须在变换坐标中重新表述。这些要求在以往专注于流场的坐标变换PINN研究中尚未得到系统探讨。
基于上述讨论，本工作研究了PINN框架内的坐标变换（CT-PINN）作为对流换热重建的一种策略，旨在寻找一种从速度场有效解决近壁传热重建的方法，而非建立普遍优越的PINN变体。采用近壁细化的标准PINN作为基线，以检验仅靠采样细化能否恢复壁面法向温度梯度。考虑了两种代表性案例：第一种是带有弯曲壁面的层流U形加热通道，其中物理域被映射到单位正方形计算域，并在加热边界附近进一步拉伸。第二种是非定常瑞利-贝纳德对流（RBC）案例，其中采用对称的壁面法向变换来增强底部和顶部平板附近热边界层的表示。通过这两个案例，研究人员旨在解决以下研究问题：
•在当前将坐标变换引入PINN框架后，是否能缓解重建热边界层和近壁传热的困难？
•坐标变换策略在几何复杂的层流和非定常热对流中是否都能保持有效？
因此，本研究评估了坐标变换作为一种实用策略，将基于PINN的重建从主流温度预测扩展到热边界层和壁面传热估计。
**论文解读：基于坐标变换的物理信息神经网络在层流与非定常对流换热中的壁面传热重建**
**研究背景与问题**
在对流换热实验中，速度场通常可通过成熟技术（如粒子图像测速法，PIV）以高时空分辨率获得，而温度场尤其是壁面热流及努塞尔数（Nu）的测量则更为困难，需要专业非侵入式诊断方法。全局努塞尔数（Nu）与雷诺数（Re）和普朗特数（Pr）的经验关联仅提供有限局部信息。因此，从精确测量的速度场重建温度场及近壁传热具有重要工程意义。然而，薄热边界层内陡峭的壁面法向温度梯度对重建构成挑战，尤其在复杂几何形状或非定常流动中，不规则近壁热结构与羽流动力学进一步加剧难度。近年来，物理信息神经网络（PINNs）为温度场重建提供了结合物理建模与机器学习的框架，但标准PINNs倾向于优先学习平滑大尺度分量，难以解析陡峭近壁梯度，导致壁面法向温度梯度和局部努塞尔数（Nu）预测不准确。现有改进方法（如损失重新加权、多尺度分解）虽能改善薄层表示，但未从根本上改变薄层物理坐标尺度或对齐弯曲壁面法向方向。坐标变换可通过将物理域映射到规则化计算空间，并拉伸近壁区域以平滑梯度，从而简化PINN学习任务。然而，此前坐标变换PINN研究主要针对流场预测，而非对流换热重建，且传热控制方程中的对流-扩散项及壁面法向导数需在变换坐标中重新表述，尚未得到系统探讨。
**研究内容与结论**
为验证坐标变换策略的有效性，研究人员在两种典型对流换热案例中评估了坐标变换PINN（CT-PINN）框架：层流U形加热通道（强制对流）和二维非定常瑞利-贝纳德对流（RBC，自然对流）。通过将CT-PINN与标准PINN（搭配近壁细化采样）进行对比，研究人员发现：
- 在U形通道中，标准PINN能较好重建主流温度，但近壁温度梯度误差显著，导致局部努塞尔数（Nu）沿弯曲壁面的分布无法正确恢复（预测值接近零且非物理波动）。而CT-PINN通过几何规则化（将不规则U形域映射为单位正方形）和对数壁面法向拉伸，将近壁温度误差压低至4.78%（Nu平均相对误差低于5%），准确捕捉了Nu沿弯曲壁面的单调递增趋势。
- 在非定常RBC中，采用对称tanh壁面法向拉伸的CT-PINN提升了热边界层表示，使平均温度剖面更接近直接数值模拟（DNS）结果，羽流结构更清晰，瞬时努塞尔数（Nu）预测误差从标准PINN的超过15%降至约4%（拉伸参数a=3时），且近壁温度波动水平重建更为准确。
- 噪声敏感性分析表明，在中等速度场噪声（1%–2%）下，CT-PINN仍能保持主导温度结构与努塞尔数（Nu）趋势，误差低于7%；5%噪声时误差增大但整体趋势仍可保留，展现了合理稳健性。
**主要关键技术方法**
研究人员采用坐标变换将物理域映射至计算域，实现几何规则化与近壁分辨率重分布。对于U形通道，采用分段映射（左腿、弯曲段、右腿）将不规则域转为单位正方形，再施加对数壁面法向拉伸（控制因子y0）。对于RBC，采用对称tanh映射（拉伸因子a）在垂直方向重分布分辨率。在计算域内，用全连接神经网络（6隐藏层，64神经元/层，tanh激活）表示温度场，通过自动微分计算变换后控制方程（含对流、扩散项）的残差，并构建损失函数（包括PDE残差、边界条件、初始条件及分段界面连续性损失）。所有网络权重采用Xavier均匀初始化，Adam优化器（初始学习率10?3，线性衰减至10??），50,000训练轮次，在单块NVIDIA V100 GPU上训练约1小时。
**研究结果**
- **5.1 层流U形通道**
通过两步坐标变换（几何规则化Φ1与对数拉伸Φ2），将不规则U形域映射至计算域（ξ, η），其中η=0对应加热壁面。对比标准PINN（近壁50%采样点集中于0.1D厚度带）和CT-PINN（不同拉伸因子y0），发现标准PINN在加热壁面附近出现显著误差带，而CT-PINN（y0=0.04）将温度均方根误差（RMSE）和平均绝对误差（MAE）降至最低，并准确恢复沿弯曲壁面的局部努塞尔数（Nu）分布（平均相对误差4.78%）。y0过小（0.01）或过大（0.05）均导致误差增加，表明中间拉伸强度最优。
- **5.2 二维非定常自然对流（RBC）**
采用对称tanh映射（拉伸因子a=2或3），将垂直方向均匀分布重分布至近底部和顶部平板。CT-PINN（a=3）的时均温度剖面更贴近DNS，瞬时温度场中羽流边界更清晰，近壁温度误差显著降低。瞬时努塞尔数（Nu）时序预测中，CT-PINN（a=3）在整个时间窗内保持约4%相对误差，而标准PINN在t/t?>5后误差升至15%以上。近壁温度波动水平（FL）重建显示，CT-PINN准确捕捉了峰值与谷值，而标准PINN在高峰时段低估。
- **5.3 速度场噪声敏感性**
在U形通道和RBC案例中，对速度场施加0%、1%、2%、5%零均值高斯噪声。CT-PINN在1%–2%噪声下仍能恢复主导温度结构与努塞尔数（Nu）趋势（相对误差≤7%），5%噪声时误差升至20%–27%，但定性趋势保持。表明CT-PINN在中等测量不确定性下具有合理稳健性。
**总结与讨论**
本研究评估了坐标变换作为PINN框架内实用策略，用于从已知速度场和预设热边界/初始条件重建热边界层与壁面传热。主要结论如下：
- 对于层流U形通道强制对流，标准PINN的主要局限在于近壁温度梯度预测而非主流温度恢复；CT-PINN通过坐标变换将Nu预测误差降至5%以下。
- 对于非定常瑞利-贝纳德对流，对称壁面法向拉伸改善了热边界层表示，降低了近壁温度误差并提升了瞬时努塞尔数（Nu）预测精度。
- 坐标变换的两个关键作用为几何规则化与近壁分辨率重分布，使控制方程与边界条件在变换坐标中一致执行。
- 拉伸因子选取至关重要，过弱或过强均导致精度下降，可依据估计热边界层厚度初步筛选后进行窄范围灵敏度检验。
- 噪声敏感性分析表明，CT-PINN在中等速度场不确定性下保持合理稳健性，但高噪声水平仍会降低定量精度。
本研究的科学贡献在于展示坐标变换可提供一种物理引导的实用途径，将基于PINN的重建从主流温度场扩展至壁面传热估计，对速度场易获取的传热诊断具有实际意义。未来工作将扩展至三维几何与高雷诺数湍流，但计算成本与变换函数构建难度将增加。
