求解广义绝对值方程的预定义时间神经动力学方法

《Mathematics》：A Predefined-Time Neurodynamic Approach for Solving Generalized Absolute Value Equations

　　

研究人员提出了一种用于求解广义绝对值方程的预定义时间稳定神经动力学方法。与传统的固定时间稳定性方法相比，该方法通过引入一个可调节的时间参数，提供了更大的灵活性和更广泛的适用性。在适当的条件下，该方法被严格证明能够在预定义的时间范围内收敛到唯一解。最后，研究人员进行了数值模拟，以验证所提出的神经动力学方法的收敛性能。

广义绝对值方程和绝对值方程在数学优化和工程应用领域扮演着至关重要的角色，常用于解决线性互补问题、变分不等式、机械结构物理接触、网络定价、线性区间方程以及可取消生物特征系统等问题。广义绝对值方程扩展了绝对值方程的概念，而绝对值方程是这种广义形式的特例。求解GAVEs被认为是NP困难的，尽管存在这一内在困难，但由于GAVEs结构相对简单且与众多优化问题密切相关，求解此类方程引起了广泛的研究兴趣。神经动力学方法的研究由Hopfield和Tank于20世纪80年代中期开创，并已广泛应用于科学计算、金融工程、反馈控制和多目标优化等众多领域。神经动力学方法最近被扩展以解决优化问题和GAVEs，其建立在方程解与相关动态系统平衡点之间的等价性基础之上，意味着求解前者被转化为计算后者。为了加速递归神经网络的收敛，研究人员采用了有限时间稳定性。随后，为了消除稳定时间对初始条件的依赖，有学者引入了固定时间稳定性的概念。然而，无限时间和固定时间方法均不允许用户直接规定所需的收敛时间上限，这使得实现特定任务的截止日期变得困难。为此，预定义时间稳定性的概念被提出。在该框架下，稳定时间与初始值无关，并随用户定义的参数而变化。用户通过调整这些参数可以控制系统的稳定时间，提供了更大的自主性和独立调整能力。在自动驾驶防碰撞、机械臂同步和网络化控制系统等实时工程系统中，由于施加了严格的确定性时间约束，预定义时间稳定性显得尤为关键。此前的研究主要集中在绝对值方程，且现有用于求解GAVEs的有限时间和固定时间方法所得到的收敛时间界限无法由用户预设，这限制了其在工程系统中的实际适用性。针对上述问题与不足，研究人员开展了这项研究，致力于提出一种预定义时间稳定的动力系统来求解GAVEs。该项研究以更具学术专业性、全面性的方式系统地研究了GAVEs，为该领域贡献了更全面、更适用的理论和计算框架。研究人员得出结论，在给定条件下，该方法能够在用户定义的时间内收敛到唯一解，并且对干扰具有鲁棒性。研究还证明，所提出的预定义时间稳定动力系统允许收敛时间的上限由用户明确预设且独立于初始系统状态，从而为实时应用提供了更高的可预测性和实用性。此外，该神经动力学方法不需要显式的矩阵求逆，从而大大扩展了其对系统矩阵奇异或病态问题的适用性。这一研究成果发表在《Mathematics》期刊上，为求解广义绝对值方程提供了重要的理论和方法支撑，具有重要的学术和工程意义。

研究人员开展研究所用到的关键技术方法主要包括：通过建立GAVEs解与动态系统平衡点之间的等价联系，构建了一种预定义时间稳定的动态系统（系统6）。引入双幂次时变增益机制，利用增益函数调节系统在平衡点附近与远处的收敛行为，采用简化梯度方向替代传统非光滑梯度以避免对绝对值项的直接微分。通过构建李雅普诺夫函数进行解析，在Lemma 4框架下完成收敛性证明。基于前向欧拉离散化方法在MATLAB R2019a平台上进行数值模拟，引入扰动项进行鲁棒性分析。

在预定义时间稳定神经动力学方法的分析中，研究人员指出从控制与优化协同设计的角度，针对广义绝对值方程所代表的非光滑优化问题，该算法构建了具有预定义时间收敛和双幂次时变增益机制的动态系统。通过增益项实时补偿不精确的梯度方向，系统状态在预定义 времени 内收敛到解集，从而在形式上避免了矩阵求逆操作。

在收敛性分析部分，研究人员通过定理证明了系统的收敛性能。假设相关矩阵参数与系统条件满足特定界限，系统（6）能够在预定义时间Tc内达到平衡点，其中Tc为用户定义的参数并具有明确的上界计算公式。研究还得出推论，在给定初始条件和参数下，系统能够在固定时间内达到平衡点，其收敛时间具有明确且可计算的上界。推论中明确的时间界限分别与增益函数中的两个递减阶数相关，揭示了在不同操作状态下平衡点附近与远离平衡点时的收敛调节特性。

在鲁棒性分析部分，由于实际系统不可避免存在建模误差和外部扰动，为确保动态系统在非理想条件下仍维持预定义稳定性，研究人员通过引入李雅普诺夫函数并沿受扰系统进行时间微分，结合给定引理，评估了存在扰动项时系统平衡点的达成条件与稳定性表现。

在数值模拟结果中，通过多例算例验证了理论结果并展示了所提出方法的优越性能。在验证跨维度求解特性的算例中，选择了不同系统维度并给定参数设置，计算出所提算法在不同维度下均保持高数值精度，随维度增加收敛时间仅略有增加且收敛行为一致性不受问题维度影响，证实了方法对大规模GAVEs的实际适用性。在不同预定义时间上限参数的验证中，观察到所有测试值均能在3 s内达到收敛，较小时间上限对应更快的收敛速度，且最终残差随参数增加而单调递减，证明了方法能紧密逼近所需解并展现出良好稳定性。在计算复杂度评估中，计算时间与维度的比值处于稳定量级，最终残差始终低于标准设定，验证了理论上的复杂度界限。在带扰动项的五维实验参数下，六组不同初始向量状态轨迹均在预定义时间内平滑收敛到平衡点，无超调或振荡，对数尺度下的系统误差响应也显示扰动项不影响收敛，证明了系统对初始条件和外部干扰的强鲁棒性。在与现有方法的比较中，选取了广义牛顿法和Picard迭代法，在相同离散化步长与最大迭代次数的设置下，所提方法的残差呈单调下降且在极短时间内降低至阈值标准之下，展现出高于其他验证方法的优越性能。

最后，总结讨论并翻译研究结论部分。本研究引入了一种用于求解广义绝对值方程的新型神经动力学方法。该方法确保独立于初始状态，在用户定义的时间内收敛到唯一解。此外，研究人员严格建立了该方法对扰动的鲁棒性。未来的研究将致力于开发分布式神经动力学方法。进一步的，由于所提方法的实际应用场景未在本文中进一步考虑，未来的工作将研究其在无人飞行器和机械臂机械等实际工程系统中的应用。