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基于不定积分??±的积分方法，研究人员将针对各种初值问题提出新的数值方法。在本研究范围内，研究人员检验了刚性和非刚性初值问题的多个实例，以验证新开发的计算方法。借助这种新技术，逼近序列和离散化步数可以更容易地被控制。该方法提供了对逼近误差
基于不定积分??±的积分方法，研究人员将针对各种初值问题提出新的数值方法。在本研究范围内，研究人员检验了刚性和非刚性初值问题的多个实例，以验证新开发的计算方法。借助这种新技术，逼近序列和离散化步数可以更容易地被控制。该方法提供了对逼近误差的先验评估，从而便于获取最优解。该方法涉及使用保角映射或正交多项式的根通过离散化对不定积分进行建模。研究人员分析了多种基函数所采用的技术，包括Sinc、Sinc-Gaussian(SG)、Lagrange和广义Lagrange多项式。利用这些配点方法，隐式Runge–Kutta(RK)过程的矩阵A+可被自动生成。该方法在Sinc技术领域和多项式逼近方法中均具有新颖性。它消除了与Radau技术相关的组合问题，同时对其进行泛化。
微分方程是科学建模的重要工具，常用于表示物理过程中状态向量y的演化，即根据初始值y预测其未来值，这一数学模型被称为初值问题。低阶Runge–Kutta(RK)技术易于求解常微分方程，但推导高阶RK技术面临巨大挑战，包括需满足非线性的阶数判据、求解复杂非线性方程以及组合爆炸问题。为避免这些障碍，研究人员开展了一项基于不定积分算子J
±的隐式RK新方法研究，该方法利用配点法实现Volterra积分方程的数值解，并发表于《Axioms》。该研究证明了不定积分的离散化可直接转化为初值问题的数值积分，通过利用Sinc或正交多项式的根进行配点，能够处理刚性和非刚性常微分方程，有效避免传统Radau方法中的组合问题并实现泛化。
研究人员主要基于四种基函数技术及特定多项式根配置开展研究：第一种使用Sinc函数及引入高斯乘子的Sinc-Gaussian(SG)基，通过保角映射在Sinc点上离散化；第二种使用正交多项式的根作为离散点并结合Lagrange(L)插值基；第三种采用基于正交多项式的广义Lagrange(gL)基；第四种是将上述离散表示应用于隐式RK迭代过程，通过计算不定积分矩阵和RK权重生成Butcher表以求解。算子J
±均在Hilbert空间中定义，部分技术中涉及使用Jacobi等正交多项式进行样本队列来源的节点配置。
3.1.1. Sinc和SG函数逼近：通过引入保角映射和高斯乘子，利用Sinc和Sinc-Gaussian(SG)基函数对解析函数进行逼近。研究得出结论，此类逼近方法能够提供有界误差，且对解析函数的逼近具有指数衰减精度。
3.1.2. Sinc不定积分：通过定义关联正弦积分的平方T?plitz矩阵，研究人员对不定积分算子进行了配置逼近。研究得出结论，该配置逼近在两种算子下均表现出一致的误差衰减行为，且矩阵特征值保证了解的收敛性。
3.1.3. Sinc-Gaussian不定积分：利用Sinc-Gaussian(SG)基，将不定积分转化为矩阵与向量的运算形式。研究得出结论，通过对矩阵特征值的分析，证明该矩阵的特征值具有严格的正实部，确保了积分算子离散数值的收敛与稳定。
3.2. 使用正交多项式的方法：利用Legendre、Chebyshev、Gegenbauer和Jacobi等正交多项式的根作为离散点构造Lagrange插值。研究得出结论，对于整函数，数值积分误差的衰减快于指数函数；该方法为基于根的新颖不定积分方法。
3.3. 广义Lagrange方法：结合Aitken和Neville的广义化思路，使用正交多项式构造广义Lagrange(gL)基。研究得出结论，该方法允许独立选择离散点和基函数，从而直接得出不定积分的解析逼近表示。
3.4. Runge–Kutta方法：基于上述配置矩阵和权重，将单步RK迭代转化为多步迭代公式。研究得出结论，不同的基函数离散表示引出了Sinc-RK、SG-RK、L-RK和gL-RK等不同隐式RK程序，且解可以通过基函数插值还原为解析表示。
4. 稳定性：基于Dahlquist线性稳定性分析，利用Padé逼近和阶星理论研究隐式RK方法的稳定性。研究得出结论，在以Gegenbauer多项式为基并使用Legendre或Chebyshev根离散的情况下，配置矩阵的离散化主导了稳定性，使得稳定性函数的极点分布在右半平面，从而确保方法稳定。
5. 应用：通过Sinc-RK、L-RK和gL-RK方法分别求解了高斯问题、极限环系统和Troesch问题以及非线性Klein–Gordon方程。研究得出结论，这些新方法能有效处理非线性、刚性以及高振荡问题，在可行区间内获得极小的全局误差，表现出良好的稳定性和逼近效率。
本研究讨论部分得出结论，针对Sinc-RK方法存在单一的先验误差估计规律。而对于基于Lagrange和广义Lagrange(gL)的RK方法，数值实验揭示了由整函数、解析函数和非解析函数三类函数类决定的至少三种不同的误差规律。基于Sinc的隐式RK方法仅需单一误差规律，计算更易控制；而Lagrange基的方法对于整函数和解析解的误差更小，但计算多项式根的成本更高。此外，Sinc逼近矩阵的特征值恒为正，保证了其隐式RK方法的全局稳定性；如Legendre和Chebyshev等不依赖参数的正交多项式隐式RK方法也具备这种正特征值分布特性。然而，当正交多项类依赖一个或多个参数时，矩阵特征值实部的正定性限制在特定参数范围内。例如对于单参数Gegenbauer多项式C
m(λ)，仅当m在特定范围内时其方法是稳定的，对于多参数正交多项式方法的稳定性仍是一个开放性问题。研究总结了所提隐式RK方法利用不定积分离散化生成矩阵，通过Butcher表有效求解刚性及非刚性初值问题，且基于正交多项式和Sinc技术的离散化使得先验误差估计成为可能，为自动计算提供了明确的误差容限界定。
