张量积高斯-勒让德曲面的近似方法

《Journal of Computational and Applied Mathematics》：Approximation methods for the tensor product Gauss–Legendre surfaces

　　摘要：本文提出了一种利用张量积高斯-勒让德补片来近似参数曲面的新框架。尽管贝塞尔补片是计算机辅助几何设计中的标准曲面模型，但由于控制网规模庞大且波动较大，其在高阶情况下的形状控制能力有限。为解决这一问题，我们采用了高斯-勒让德多项式基，该基能实现控制网与曲面几何之间更可预测的关系。我们的近似策略分为多步进行：首先利用参考曲面在高斯-勒让德节点处的边界曲线切线数据确定角点及边界控制点，然后再确定内部控制点。我们提出了两种用于内部点优化的计算方法：一种基于边点上的切向量，另一种基于面点上的扭向量。我们将这些方法表述为过定线性方程组，并利用QR分解法求解最小二乘解。通过对包括单位球面和杜平循环面在内的复杂曲面的数值实验表明，即使在高阶情况下，高斯-勒让德补片也具有更优异的数值稳定性。实验结果说明，所提出的方法在多项式曲面近似方面既具有较高的计算效率，又具备很高的精度。

引言：曲面近似问题是计算机辅助几何设计中最基础的任务之一。根据可用的曲面数据类型——通常分为不规则（分散）数据和规则数据——设计师可以选择多种不同的方法。用于插值和近似分散数据的典型方法包括加权最小二乘法、有限元方法、径向基函数或混合方法等。这些方法与那些具有某种内在规则性的数据对应的方法有很大不同，例如具有三角形或矩形网格结构的数据，或是已知边界曲线的数据。典型的例子包括用于从边界曲线构建曲面的库恩补片，以及由曲面曲线网格定义的戈登曲面。其他方法则使用贝塞尔曲面或NURBS曲面，其典型问题涉及曲面平滑性、曲面参数化、曲面边界处的连续性或收敛速率等。虽然贝塞尔曲面具有许多优良特性，如仿射不变性和凸包性质，但通常不会用单个高阶贝塞尔补片来表示几何结构复杂的曲面。在这种情况下，贝塞尔控制网的规模可能会远远超过其所定义的曲面，这使得交互式编辑贝塞尔补片成为一项非常困难的任务。因此，在计算机辅助几何设计的实际应用中，通常会使用由多个低阶贝塞尔补片组成的复合贝塞尔曲面。近期的研究探讨了全局曲面拟合的各个方面，包括快速矩阵构建技术、自适应正则化方法以及保持曲面特性的参数化方法。然而，用单个标准贝塞尔补片来表示高度复杂的几何结构仍然是一个挑战。为克服贝塞尔曲线的局限性，人们引入了高斯-勒让德多项式基作为伯恩斯坦基的替代方案。除了端点插值之外，高斯-勒让德曲线还有一个独特特性，即其在高斯-勒让德节点处的切向量可由控制边向量确定。这一特性使得高斯-勒让德曲线能够比贝塞尔曲线更精确地跟随控制多边形的形状。高斯-勒让德控制多边形最初是为勾股轨迹曲线的形状控制而开发的，后来经过推广，该方法被应用于各种多项式曲线，并得到了进一步发展。此外，最近还开发了一些基本操作，如细分和提升阶数等。在本文中，我们将高斯-勒让德曲线的概念扩展到可用于近似给定参数曲面的张量积高斯-勒让德补片。与将曲面分割成多个低阶补片的不同之处在于，我们的方法允许使用单个高阶高斯-勒让德补片来近似整个曲面，同时还能保持参考曲面的原有参数化形式。我们将高斯-勒让德曲面设计建模为一个边界值问题。在根据参考边界曲线的切线数据确定高斯-勒让德角点及边界控制点之后，内部控制点的方程组会被表述为矩阵方程。根据约束条件的不同，我们提出了两种不同的方程表述形式。在基于切线的方法中，我们将控制网格上边缘点处的高斯-勒让德补片的切向量与参考曲面的切向量相对应。而在基于扭向量的方法中，则使用面点处的扭向量。在曲面近似中使用扭向量虽然有些少见，但并非没有先例。这两种表述方式都会产生形如AXB=C的过定矩阵方程，从而可以借助标准的QR分解法高效地求解最小二乘解。这种利用边界约束来确定内部控制点的框架，也被应用于超限插值和低秩样条近似方法的最新研究中。本文的其余部分结构如下：第2节回顾相关背景和初步概念；第3节介绍高斯-勒让德补片的基本特性以及我们解决曲面近似问题的策略；第4节提出用于高斯-勒让德补片边界曲线的高斯-勒让德曲线近似方法；第5节介绍用于内部点近似的切线法和扭向量法，并通过示例说明所提方法的效率和精确度；最后，第6节对未来工作进行总结。

初步知识：计算机辅助几何设计中最基本的曲面模型是张量积贝塞尔补片，简称贝塞尔补片，其表达式为b(u,v)=∑i=0m∑j=0nBim(u)Bjn(v)pij，其中pij是R3空间中的控制点，Bim(u)、Bjn(v)则为伯恩斯坦多项式。为便于与张量积高斯-勒让德补片进行比较，我们接下来开始讨论。

高斯-勒让德补片：在讨论之前，我们先比较高斯-勒让德补片与贝塞尔补片的形态特征。通过比较由相同控制多边形生成的高斯-勒让德曲线和贝塞尔曲线，我们可以发现高斯-勒让德曲线比贝塞尔曲线更贴近该多边形。这一现象在曲面上也同样存在，其原因在于基函数的形状。图1a和图1b分别展示了三次伯恩斯坦基和高斯-勒让德基，这两种基都具有单位分解特性。

边界曲线近似：在本节中，我们将重点讨论边界曲线近似问题。由于同样的方法也可应用于四条边界曲线，这里我们以x(?1,v)近似r(?1,v)（其中v∈[?1,1]）这一特定情况为例进行说明。为简化符号，设r(t)=r(?1,t)为参考边界曲线，p(t)=x(?1,t)为式(6)中所表示的n阶高斯-勒让德曲线。在p(t)的n+1个控制点中，两个端点控制点已被确定为sp0=p(?1)=r(?1)，pn=p(1)=r(1)。

曲面近似：现在我们来探讨高斯-勒让德曲面近似问题。在本节中，x(u, v)表示式(2)中所给出的双阶(m, n)高斯-勒让德补片，它用于近似给定的参考补片r(u, v)。假设在x(u, v)的控制点pij中，边界控制点已通过上一节的方法确定。那么我们现在要解决的问题就是如何确定内部控制点pij，即i=1,…,m?1且j=1,…,n?1时的那些点。

总结：在本文中，我们提出了基于张量积高斯-勒让德补片的曲面近似方法。对于给定的参考曲面，我们首先利用参考边界在高斯-勒让德节点处的切向量来近似高斯-勒让德补片的边界曲线。随后，根据基于边点切向量或面点扭向量的约束条件，通过矩阵方程的最小二乘法来计算高斯-勒让德补片的内部控制点。

利益冲突声明：作者声明自己不存在任何可能影响本文研究成果的已知财务利益或个人关系。

作者名单：李景轩|金秀贤|汉斯·彼得·施罗克|朴孝贞|文焕杓
韩国首尔东国大学数学系，首尔，04620