全局最小化中的先进平滑方法：算法设计与应用

《Mathematics》：Advanced Smoothing Approaches for Global Minimization: Algorithmic Design and Applications

　　

本研究针对连续可微函数的无约束全局最小化问题，提出一种基于辅助函数(auxiliary function)方法的新型全局优化框架。首先，构建了一种不受参数变化影响的鲁棒辅助函数(auxiliary function)。在此基础上，开发了两种新的基于局部搜索(local search)的算法，并对其数值稳定性进行了深入分析。为验证所提方法的效率与实际应用性，研究人员在标准基准函数及具有挑战性的25杆空间桁架(25-bar space truss)重量优化问题上对算法进行了评估。与现有先进方法的对比分析表明，所提算法具有更优的性能与鲁棒性。

研究背景方面，许多优化问题具有非凸特性，目标函数常含多个局部最优解，识别全局最小点是重大挑战。确定性方法如划分矩形（DIRECT）算法、隧道算法、填充函数(filled function)方法虽有精度优势，但在高维多峰空间中易陷入局部吸引域。早期填充函数（G函数、Q函数、P函数）依赖指数或对数项，存在参数敏感与溢出问题；H函数消除指数项却引入不连续，破坏梯度可靠性。尽管后续有免参数公式与平滑策略，传统辅助函数仍因参数选择不当扭曲目标地貌，限制鲁棒性。为此，研究人员在《Mathematics》发表该研究，旨在构建参数不变、数值稳定的辅助函数框架。

关键技术方法上，研究人员采用基于当前局部极小点目标值构造的鲁棒辅助函数，以arctan凹凸函数(bump function)消除高位盆域，并用三次与五次Hermite插值多项式对指示函数进行C1或C2连续平滑，得到C1或C2类辅助函数；据此设计标准平滑与下降算法（SDA）与融合点分布选择(PDS)的高级算法（SDA-PDS），PDS通过在超矩形内递归计算中点的几何公式生成均匀初值点，选择满足f(x)<t的点进入局部搜索（选用最速下降或拟牛顿法），基准测试取自标准函数集，工程案例采用25杆空间桁架在双工况载荷下的连续截面优化模型。

研究结果部分，第2节“所提平滑与下降框架”中，2.1节通过构造分段函数与arctan有界映射证明辅助函数Φ_ε,t在f(x)≥t区域无局部极小（定理1），且f(x)<t的局部极小被精确保留（定理2），辅助函数属C1或C2类；2.2节给出SDA算法流程并证得序列目标值单调不增且收敛至全局最小（定理3）；2.3节提出PDS策略，以超矩形二分中点公式（式21-24）分布点，选f(x)<t者启动搜索，指出其受维数灾难限制；2.4节整合为SDA-PDS（算法3），证得同收敛性（定理4），域归一化可加速选点。第3节“数值结果”中，3.1节在一维多峰Problem 1上可视化展示SDA经三次局部搜索由x=4.5出发获全局解x≈5.801、f≈-6.551，SDA-PDS经归一化与PDS两点跳转即锁定全局解；3.2节在Shubert、Goldstein-Price、Ackley(50D)、Rastrigin(50D)、Sine-Squared(10D)等基准上做十次独立试验，SDA在Sine-Squared(10D)成功率仅10%、平均函数评价275414.2，SDA-PDS全函数100%成功率且评价数与CPU时间均更低；3.3节25杆空间桁架双载荷案例中，SDA-PDS以2515次函数评价获总重440.17 lb（199.66 kg），优于文献元启发式结果的483.35–562.93 lb，截面分组显示主承力组（4、5、6）取大截面、次要组取下限0.1 in2，约束由位移0.35 in控制。

讨论与结论部分，研究人员指出所构辅助函数以当前局部极小目标值t为唯一阈值、仅含平滑参数ε且常设1e-4，实现参数不变性，克服传统填充函数参数敏感与溢出缺陷；SDA-PDS借PDS系统性初值规避方向依赖，在高维与工程问题中兼顾鲁棒与效率。结论重申：该参数不变辅助函数有效缓解传统填充函数参数敏感，SDA与SDA-PDS在基准与桁架案例均验证可行；未来可拓展至约束工程优化，并为PDS开发自适应网格缩放以应对高维。