用于高精度叶片尖端定时测量的结构化低秩无逆增强贝叶斯估计方法

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Structured low-rank enhanced inverse-free Bayesian estimation for high-precision blade tip timing measurement

　　•我们开发了一种快速的贝叶斯算法，即SLR-IFBE，用于叶片尖端时序测量。•SLR-IFBE能够恢复主导的后验耦合关系，从而抑制虚假成分。•文中提出了一种数据驱动策略来选择低秩子空间维度。•基于Brent方法的局部网格校准技术可有效减少离网格误差。•SLR-IFBE在精度与计算成本之间实现了良好的平衡。

引言
旋转叶片是涡轮机械中至关重要但极为脆弱的运动部件。在气动激励、热负荷及其他因素的作用下，这些叶片不可避免地会出现机械振动。这类振动引发的交变应力会导致叶片出现典型的高循环疲劳故障，如裂纹、角部剥落和断裂，从而对飞行安全构成严重威胁[1]、[2]、[3]、[4]。因此，对在役旋转叶片进行监测，并制定基于状态的保护策略，对于确保涡轮机械的安全具有重要意义。

叶片尖端时序（BTT）是一种有效的非接触式测量技术，可用于监测旋转叶片的状态。顾名思义，首先通过安装在机壳周向的光纤/微波/电容传感器获取每片叶片的到达时间，再根据这些到达时间推导出叶片的位移，最后通过信号后处理提取出能够反映叶片状态的振动特性参数[5]。由于具有高效性、长使用寿命以及非接触式的优点，BTT技术在学术界和工业界都受到了广泛关注[6]、[7]。然而，由于传感器数量有限以及被动采样特性，其采样率不足以捕捉高频振动信息；也就是说，通过BTT测量得到的叶片振动信号（以下简称BTT信号/数据）无法满足奈奎斯特准则，存在欠采样问题，这使得传统频谱分析方法难以对其进行处理。而自然频率和共振幅值则是反映叶片健康状况的关键指标，因此有必要为BTT数据开发有效的频谱分析方法。

过去几十年来，关于BTT的研究成果层出不穷。早期的研究主要基于时间序列拟合方法，即通过将信号与特定模型进行拟合来估算振动特性参数，例如单参数法、双参数法及其变体[8]、[9]、[10]、[11]。但这些方法受到传感器布局的限制，需依赖特定的信号处理算法，且严重依赖于共振区的数据，这限制了它们在实际BTT测量中的应用。不久之后，以阵列信号处理理论为基础的子空间方法取代了它们，包括MUSIC[12]、[13]、ESPRIT[14]、[15]以及MVDR[16]、[17]。不过，这些方法大多依赖于对信号源数量的先验知识以及足够的采样数据，且存在物理幅度信息丢失和频谱混叠的问题。近年来，基于压缩感知的方法应运而生，通过利用信号的稀疏性来解决相应的优化问题[18]。由于该理论体系较为成熟，已有大量研究在BTT领域展开并取得了显著成果[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]，但这些方法大多需要依赖确定性的稀疏性优化机制，其性能在很大程度上取决于正则化参数的选择以及对稀疏程度的先验假设。而由于强烈的环境噪声干扰，这些参数往往难以准确获取，进而影响了参数识别的准确性和可靠性。

在众多研究方法中，稀疏贝叶斯学习（SBL）为稀疏重建提供了概率框架，它将信号稀疏性纳入分层先验中，通过最大化后验概率来优化正则化参数[26]、[27]。该方法通过明确建模不确定性并避免手动调整参数，能够在存在噪声的情况下实现更为可靠的参数识别[28]、[29]。然而，在实际应用中仍存在一些局限性。首先，目前BTT领域所使用的贝叶斯方法在处理大规模问题时表现不佳。这种缺乏可扩展性的问题源于SBL推理的原理：测量矩阵使得稀疏表示系数在后验分布中的所有元素都相互关联，因此每次迭代都需要处理一个密度较高的协方差矩阵，这就导致了立方级的计算复杂度[30]。其次，这些方法会将连续的频谱离散化为预定义的频率网格，而实际频率往往无法精确对应到这些网格上，从而导致基函数不匹配、离网格误差以及能量泄漏问题[31]。一方面，如果盲目缩小网格范围，将会带来过高的计算负担；另一方面，这会显著增加相邻元素之间的相干性，也就是传感矩阵各列之间的相关性，进而违反受限等距性质（RIP），降低重建性能[32]。

为了解决上述两个问题，现有研究也提出了一些相应的解决方案。针对第一个问题，参考文献[33]、[34]、[35]提出了无逆稀疏贝叶斯学习（IFSBL）方法，通过限定原始后验分布，实现了对稀疏表示系数的完全解耦。但从贝叶斯角度来看，由于忽略了原子间的相关性，在强噪声条件下，IFSBL容易收敛到包含虚假成分的次优解[27]、[36]。针对第二个问题，参考文献[37]、[38]、[39]提出了离网格贝叶斯推理方法，他们通过对测量矩阵应用泰勒展开，来估算每次迭代中目标频率与网格频率之间的偏差，但这种方法需要进行大规模矩阵求逆运算，因此不适用于实时BTT测量。这就引出了两个问题：（1）如何在经典贝叶斯推理与IFSBL之间找到平衡，既能保证估计精度，又能提升计算效率，同时还能抑制虚假成分？（2）是否可以开发一种轻量级的网格优化策略，无需在每次迭代中都进行，但仍能有效减少离网格误差？

基于这两个问题，本文提出了一种用于BTT信号的混合式“粗到细”后处理方法。具体而言，我们开发了一种结构化的低秩增强型无逆贝叶斯估计（SLR-IFBE）方法，旨在在精度与计算成本之间实现更好的平衡。与传统的全对角化后验协方差矩阵的IFSBL方法不同，该方法通过结构化的低秩增强方式恢复主导的耦合结构，从而在抑制虚假成分的同时保留IFSBL的计算优势。为自适应确定所恢复的耦合项的秩，我们引入了一种数据驱动的低秩子空间选择策略，该方法不依赖信号的结构性先验信息，因此在不同的环境噪声强度下都具有更高的灵活性和鲁棒性。此外，为弥补网格频率与真实频率之间的差异，我们还进一步开发了一种基于Brent一维搜索的局部网格校准技术，该技术结合了抛物线插值法和黄金分割搜索法的优点。由于该校准技术无需计算导数，具有超线性收敛特性且数值行为稳定，因此无需在每次迭代中都进行，就能高效地纠正离网格误差，从而保持整体的计算复杂度较低。最后，大量的数值模拟和实验验证结果表明了SLR-IFBE在BTT信号处理中的优异性能。

本文的其余结构如下：第2节介绍BTT测量的原理、信号模型以及稀疏贝叶斯学习的基本理论。第3节阐述核心内容——低秩增强型无逆贝叶斯估计。第4节介绍基于Brent的局部网格校准策略。第5节进行数值验证，第6节开展BTT实验。最后，第7节对全文进行总结。

BTT测量原理
BTT测量的基本原理如图1所示。首先，我们在机壳上环形布置多个BTT传感器，同时在旋转轴上安装一个每转一次采集一次数据的传感器，作为时间参考。根据BTT传感器的安装角度以及OPR传感器与每片叶片之间的相对角度，以第i片叶片和第p个传感器为例，不考虑振动情况下的预期到达时间可通过以下公式计算：
ti,pexp[g]=αp?βi2πfr+tOPR[g]
其中αp≥βi2π+αp?βi2

基础理论
在继续讨论之前，我们先简要回顾一下变分贝叶斯推理方法（详细过程请参考[45]）。设Ξ?{x,α,ζ}表示隐藏变量，基于平均场理论，我们可以定义如下形式的近似后验分布：
q(Ξ)=q(x)q(α)q(ζ)
接着，对p(d)取对数并拆分为两项：
lnp(d)=DKL(q∥p)+L(q)
其中DKL(q∥p)表示p(x,α,ζ∣d)与q(Ξ)之间的卡尔巴克-莱布勒散度，而L(q)则被称为……

基于一维搜索的网格校准技术
在第3节中，我们提出了一种无逆贝叶斯估计方法，该方法通过低秩恢复策略来抑制因忽略原子间相关性而产生的虚假峰值，从而得到一组支撑集为S的稀疏表示系数。但由于Φ是一个离散的频率表示字典，基函数不匹配的问题依然存在。为了解决这个问题，我们开发了一种网格校准后处理方法，用于补偿离网格误差。

仿真设置
在本节中，我们通过数值仿真来验证SLR-IFBE的有效性和性能。首先，我们使用方程(3)所定义的MSS模型来模拟叶片尖端的振动，同时采用经过圆形最小稀疏规则布局（CMSRL）[46]优化的五传感器布置来采集信号样本。此外，我们还在测试中加入了环境噪声和转速波动，以模拟实际运行条件，其中转速波动假定遵循某种分布……

实验设置
在本节中，我们通过实际的BTT实验来验证SLR-IFBE的有效性。本文中的测试装置如图9所示，它由一台三相异步电机直接驱动一个12叶片的旋翼组件。本实验中采用的传感器布置与第5节一致，为了便于安装和测量，我们将角度取为{0,19,38,114,171}°。测试时的旋转频率设定在160–170 Hz之间，加速度为1 Hz/s，同时……

结论
在本文中，我们提出了一种用于BTT信号处理的混合式“粗到细”方法，即带有轻量级网格校准技术的SLR-IFBE方法，该方法能够实现高精度、高鲁棒性且高效的振动参数监测。首先，我们基于传统的IFSBL方法提出了结构化的低秩增强机制，随后又采用了自适应的低秩子空间选择策略，以此获得初步的频谱估计结果。该方法不仅保留了IFSBL的低计算复杂度优势，还能够有效弥补……