基于增强近似对偶凝聚的混合NURBS等几何板单元静力凝聚方法及任意开放节点向量与多片离散化的最优收敛率

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：An enhanced approximate dual lumping procedure for static condensation in mixed NURBS-based isogeometric plate elements with optimal convergence rates for arbitrary open knot vectors and multi-patch discretizations

　　

等几何分析（Isogeometric Analysis, IGA）旨在通过采用几何表示的形函数作为分析中的基函数来统一计算机辅助设计与有限元分析。然而，锁死现象在有限元分析和等几何分析中均可能发生，并因各种特定效应而降低结果的精度。为缓解剪切锁死，研究人员提出了一种基于位移-剪力混合的等几何Reissner-Mindlin板公式化方法。本研究的核心在于开发一种高效的静力凝聚程序，以消除额外的剪切参数。为降低凝聚方程组计算中所需矩阵求逆的计算成本，将相应矩阵部分凝聚为对角矩阵最为高效。然而，数值算例表明，对基于标准NURBS插值的子矩阵执行行和凝聚会引入巨大误差并降低收敛速率。为尽量减少这些影响，本研究提出采用（增强）近似对偶基函数作为试验函数。此外，研究还考察了初始几何表示中存在内部节点时对单片和多片离散化的影响，通过两个具有解析解的基准算例进行分析。研究结果表明，采用最近引入的增强近似对偶基函数能够有效规避收敛速率的退化。同时，研究还表明，用于附加剪切参数插值的NURBS基函数所关联的权重可在精度损失极小的情况下省略，从而支持更高效的实现。该研究为具有内部节点及多片结构的等几何板单元提供了一种鲁棒且高效的静力凝聚策略。

**论文解读：基于增强近似对偶凝聚的混合等几何板单元静力凝聚方法**

**一、研究背景与问题陈述**

等几何分析（Isogeometric Analysis, IGA）自提出以来，旨在通过统一计算机辅助设计（Computer-Aided Design, CAD）与有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）的几何表示与分析框架，采用NURBS基函数作为分析中的形函数。尽管IGA在几何精确性和高阶连续性方面具有显著优势，但在实际应用中，锁死现象（Locking Phenomena）——包括剪切锁死、膜锁死和体积锁死——仍然严重影响分析的精度与效率。特别是在Reissner-Mindlin板理论框架下，当板厚跨高比（slenderness ratio）较小时，标准位移型有限元或等几何公式化方法会因剪切锁死而产生过度刚化的结果，导致位移解严重偏离精确解。

为缓解剪切锁死，学界已提出了多种策略，包括假设自然应变法（Assumed Natural Strain, ANS）、增强应变法、减缩积分法以及位移-应力混合公式化方法等。其中，混合公式化方法通过引入独立的剪切力参数，能够有效缓解锁死现象，但代价是增加了系统未知量，导致计算成本显著上升。静态凝聚（Static Condensation）技术应运而生，旨在消除附加的混合参数，保留混合公式化的精度优势，同时降低求解规模。然而，传统静态凝聚需要对剪切子矩阵求逆，其计算成本取决于矩阵的带宽和结构。为提高效率，一种思路是将该子矩阵凝聚为对角矩阵，从而避免显式求逆。但直接将NURBS插值对应的子矩阵进行行和凝聚（row-sum lumping）会引入不可接受的误差，导致收敛速率严重退化。

在此背景下，本研究旨在开发一种基于（增强）近似对偶基函数的高效静力凝聚程序，在保持最优收敛速率的同时，显著降低混合等几何板公式化的计算成本。研究特别关注初始几何表示中具有内部节点（internal knots）的单片和多片离散化情形，因为这些在实际CAD模型中极为常见，但现有研究对这类情况的处理尚不完善。

**二、研究内容与主要结论**

本研究在前期提出的位移-剪应力混合等几何Reissner-Mindlin板公式化方法（见文献[72]）基础之上，针对其中的剪切锁死缓解与计算效率问题展开深入研究。研究人员提出了一种基于增强近似对偶基函数的静力凝聚程序，并系统验证了其在多种离散化情形下的收敛性与计算效率。

研究得出以下核心结论：第一，采用近似对偶基函数对虚拟剪切参数进行插值时，耦合剪切子矩阵具有对角优势，进行行和凝聚后引入的误差极小，从而在保证计算效率的同时维持了最优收敛速率。第二，对于初始几何表示中具有内部节点的情形，仅仅采用近似对偶基函数仍会导致收敛速率退化，必须结合节点插入（knot insertion）来降低内部节点处的连续性，并采用增强近似对偶基函数，方能恢复最优收敛速率。第三，用于剪切力插值的NURBS基函数所关联的权重可以在精度损失极小的情况下省略，从而简化实现并提高计算效率。研究还发现，凝聚后的系统矩阵条件数相对于未凝聚的混合公式化方法有所改善，且求解时间显著降低，尤其对于粗网格和中细网格。该研究为等几何板单元的高效分析提供了一种鲁棒且通用的解决方案，相关成果发表于《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》。

**三、关键技术方法**

为验证所提出方法的有效性，研究者采用两个具有解析解的基准算例：一个为承受复杂载荷的四边形板（Quadratic plate with complex loading），其解析解由制造解方法（Method of Manufactured Solutions, MMS）推导；另一个为含圆孔的L形板（L-shaped plate with circular holes），同样采用制造解方法构造解析解。研究中系统比较了五种公式化变体：（1）标准纯位移型等几何公式化（std.）；（2）不进行任何凝聚的等几何位移-应力混合公式化（mxd.）；（3）基于NURBS行和凝聚的混合公式化（lmp.）；（4）采用近似对偶基函数的凝聚混合公式化（AD）；（5）采用增强近似对偶基函数的凝聚混合公式化（eAD）。研究涵盖了多种离散化类型，包括无扭曲均匀网格、扭曲NURBS网格、内部C¹连续网格、内部C⁰连续网格、多片线性界面网格、多片C¹连续网格以及多片多连续度网格，旨在全面评估所提出方法的鲁棒性和通用性。

**四、研究结果与讨论**

**4.1 无扭曲网格（Undistorted mesh）**

对于最简单的无内部节点均匀网格，标准混合公式化（mxd.）提供了最精确和稳定的结果，且具有预期的收敛速率。纯位移公式化（std.）在薄板情形下出现严重锁死，误差比混合公式化高数个数量级。基于NURBS行和凝聚的变体（lmp.）产生严重的误差平台，表明该简单凝聚方法不可靠。而基于近似对偶基函数的两种变体（AD、eAD）均获得了最优收敛速率，且对于中薄板，其误差与未凝聚的混合公式化（mxd.）几乎一致。对于最薄板（跨高比L/t=10000），在极细网格下出现了数值不稳定，但误差量级仅略高于混合公式化，总体上AD和eAD变体可推荐用于所有厚度情况。

**4.2 扭曲NURBS网格（Distorted NURBS mesh）**

对于具有完全内部连续性的扭曲NURBS网格，验证了网格扭曲对收敛性的影响以及NURBS及其对偶基函数实现的正确性。结果与无扭曲网格类似：AD和eAD变体均获得最优收敛速率，且对于薄板，其误差与mxd.几乎一致。值得注意的是，对于p=2情形，由于剪切力离散化采用近似线性网格，导致了几何映射误差和积分点不一致，在极薄板情形下出现了异常收敛行为。此外，研究还评估了省略NURBS权重的影响，结果表明用B样条代替NURBS进行剪切力插值不会引入明显误差，从而支持简化的实现方案。

**4.3 内部C¹连续度（Internal C¹-continuity）**

该离散化类型是研究的关键部分，证明了初始内部节点处进行连续性降低的必要性。若不对初始节点向量进行修改（即保持C¹连续），AD和eAD变体在细网格极限下均出现次优收敛速率，且该效应随近似阶数提高而加剧。仅当采用节点插入将内部节点连续性从C¹降低至C⁰，并同时采用增强近似对偶基函数（eAD）时，方能恢复最优收敛速率。图中清晰表明，仅进行连续性降低（AD变体）可降低误差水平，但收敛速率仍趋于退化；只有eAD变体才能在所有考察厚度比下保持最优收敛速率。这一发现对于实际CAD模型意义重大，因为内部C¹连续节点在真实工程几何中极为常见。

**4.4 内部C⁰连续度（Internal C⁰-continuity）**

对于具有内部C⁰连续的扭曲网格，采用标准近似对偶基函数（AD）的凝聚变体收敛速率显著受损，无论厚度和近似阶数如何，收敛速率降至约1.5。这与此前在mortar方法中的观察一致。相比之下，增强近似对偶基函数（eAD）变体在所有厚度比下均能获得最优收敛速率。即便对于t=0.01m的薄板情形且p=5，AD与eAD之间的精度差异仍达约两个数量级。该结果再次确认，当初始网格中存在内部节点时，必须采用eAD变体才能保证分析的可靠性。

**4.5 多片线性界面（Multi-patch geometry with linear interface）**

对于无内部节点的简单多片网格，AD和eAD变体提供相同结果，均获得最优收敛速率，表明所提出的双凝聚方法可适用于多片设置。尽管最薄板在p=5且极细网格时出现轻微数值不稳定，但整体结果证明了该方法在多片耦合中的适用性。

**4.6 多片C¹连续度（Multi-patch geometry with C¹-continuity）**

对于扭曲的多片C¹连续网格，与单片情形不同，AD和eAD变体的结果非常接近，两者均获得最优收敛速率。这归因于该多片离散化仅轻微扭曲，而单片情形具有高度扭曲和中心节点处二阶导数的较大跳跃。该结果表明，对于轻微扭曲的C¹连续网格，标准近似对偶基函数可能已足够，但eAD变体在高厚度情形下仍提供略低的误差水平。

**4.7 多片多连续度（Multi-patch geometry with various continuities）**

对于包含多种内部连续度的扭曲多片网格，对于两个最厚情形，仅eAD变体在p=5时保持最优收敛速率，而AD变体发生退化。这进一步验证了eAD在处理复杂多片几何时的必要性。此外，省略NURBS权重的研究再次确认，采用B样条插值剪切力不会引入显著误差，可在两个最厚情形中实现更高效的实现。

**4.8 L形板含圆孔实例（L-shaped plate with circular holes）**

该实例旨在验证所提出方法在更复杂、更具工业相关性问题（17个补片，两个弯曲界面）中的表现。结果显示，AD变体在厚板情形下收敛速率显著受损，而eAD变体在所有厚度比下均保持最优收敛速率。对于剪切力误差，采用近似对偶基函数（AD）时，收敛速率同样受损，但eAD变体在薄板情形下甚至优于未凝聚的混合公式化方法。特别地，对于t=0.01m的薄板情形且p=5时，AD和eAD之间的剪切力误差差异接近两个数量级。该实例还专门研究了求解时间，结果显示所提出的双凝聚程序在所有厚度、近似阶数和细化步骤下的求解时间均低于原始混合系统，表明该方法具有显著的计算效率优势。

**五、讨论与结论总结**

本研究证明了基于增强近似对偶基函数的静力凝聚方法能够有效消除混合等几何板公式化中的附加剪切参数，同时保持最优收敛速率和精度。该方法的核心优势在于，通过使剪切子矩阵具有对角优势并凝聚为单位矩阵，完全避免了静态凝聚中所需的矩阵求逆操作，从而大幅降低了计算成本。研究还明确指出了处理初始几何中内部节点的必要性：对于包含内部C¹或C⁰连续节点的网格，必须采用节点插入降低连续性，并结合增强近似对偶基函数，方能恢复最优收敛速率。此外，省略NURBS权重的简化方案在精度上几乎无损，为实际实现提供了便利。该研究为等几何分析中混合公式化的高效计算开辟了新的途径，尤其适用于包含复杂多片几何与内部节点的工业应用场景。然而，研究也指出，在极细网格和极薄板情形下出现的数值不稳定现象仍需进一步探究，且将方法扩展至非线性及壳公式化将是未来有意义的研究方向。