基于半解析方法的Cross流体非线性轴对称流动与热传输分析

《International Journal of Thermofluids》：Analysis of nonlinear axisymmetric flow and thermal transport in cross fluids using a semi-analytical approach

　　

该研究提出了一项半解析研究，涉及Cross流体在径向拉伸片上的非线性轴对称流动与热传递，该构型在热流体与聚合物加工应用中具有重要重要性。通过引入Cross非牛顿流体特有的黏弹性与剪切稀化效应，建立了控制非线性动量与能量方程。研究人员对Rajendran–Joy方法进行了创新性应用，以推导耦合输运方程的精确近似解析解。系统分析了幂律指数（power-law index）、局部魏森伯格数（local Weissenberg number）和普朗特数（Prandtl number）对速度与温度分布的影响。还研究了局部表面摩擦系数（skin-friction coefficient）和传热速率（heat-transfer rate）的变化，以阐明潜在的输运机制。所获得的解析解通过与Matlab数值模拟及已发表结果的对比进行了验证，结果显示高度一致。该研究强调了所提出方法在求解高度非线性热流体输运问题中的效率、鲁棒性和预测能力。

**论文解读：基于半解析方法的Cross流体非线性轴对称流动与热传输研究**

**研究背景与问题**

在工程与工业应用中，拉伸表面上的边界层流动与传热至关重要，涉及塑料与聚合物片材拉伸、铜线挤压、玻璃纤维生产、食品加工、热轧及地热能提取等过程。这些过程包含复杂的输运机制，其中拉伸表面起着关键作用。非牛顿流体由于其剪切依赖黏度，增加了额外的复杂性，需要更先进的模型来准确描述流动动力学与热特性。Cross流体模型因其能够表征流体在不同剪切速率下同时展现剪切稀化与牛顿行为的能力而受到广泛关注。与幂律模型等简单模型不同，Cross模型引入了时间依赖的松弛参数，使其特别适用于模拟工业环境中的高性能流体。然而，对于Cross流体在径向拉伸片上的轴对称流动与传热问题，以往研究多依赖数值方法（如打靶法或同伦分析法），缺乏精确的解析解。此外，现有研究未能充分揭示幂律指数、魏森伯格数及普朗特数等关键参数对流动与传热特性的综合影响机制。因此，开展该研究旨在开发一种高效、稳健的半解析方法，以获取耦合非线性方程的解析解，并深入理解非牛顿流体在轴对称拉伸几何中的热流体输运行为。

**研究内容与结论**

研究人员采用半解析的Rajendran–Joy方法（RJM），对Cross流体在径向拉伸片上的稳态、层流、轴对称流动与传热问题进行了理论研究。通过相似变换，将控制偏微分方程简化为关于流函数与温度的非线性常微分方程，并利用RJM方法推导出显式解析解。研究系统分析了幂律指数（n）、局部魏森伯格数（We）和普朗特数（Pr）对速度分布、温度分布、表面摩擦系数及传热速率的影响。结果表明：随着n增加，流函数与速度降低，温度升高，热边界层增厚；随着We增加，流动强度减弱，温度升高，弹性效应促进热扩散；随着Pr增加，温度降低，热边界层变薄，传热效率增强。解析解与Matlab数值模拟及已有文献结果（如Khan等人[2]的数值数据）对比，平均偏差仅为0.0174，验证了方法的准确性。该研究还推导了极限情况（牛顿流体，We=0；纯黏弹性流体，n=1）下的解析解，进一步确认了方法的可靠性。研究结论表明，RJM方法在求解高度非线性非牛顿流体输运问题中具有高效、鲁棒和预测能力强的特点，对能源高效热系统、工业冷却技术及材料加工等领域具有实际意义，并与可持续发展目标（SDG 7、9、13）相关联。

**关键技术方法**

研究人员采用了以下主要关键技术方法：首先，利用相似变换将控制偏微分方程简化为非线性常微分方程组；其次，应用Rajendran–Joy半解析方法（RJM），通过指数试探函数逼近，推导流函数f(η)与温度θ(η)的显式解析表达式（如f(η)= (1-e^{-aη})/a，θ(η)= e^{-bη}），其中参数a和b通过牛顿迭代法（利用WolframAlpha在线工具）求解代数方程确定；最后，通过Matlab数值模拟（打靶法）与已有文献结果进行对比验证。该研究未涉及具体实验队列或样本来源，纯属理论分析。

**研究结果**

**3.1 使用Rajendran–Joy方法确定f(η)和θ(η)**
研究人员通过RJM方法获得了f(η)和θ(η)的近似解析解，表达式为f(η)= (1-e^{-aη})/a和θ(η)= e^{-bη}，其中a和b由参数We、n和Pr决定。通过给定具体参数值（We=2, n=0.1, Pr=3），得到a=1.845, b=2.738，从而得出速度与温度分布的闭式解，展示了边界层内指数衰减行为。

**3.2 局部努塞尔数与表面摩擦系数的表达式**
研究人员推导了无量纲局部努塞尔数（Nu）和表面摩擦系数（Cf）的解析表达式：Re^{-1/2}Nu = -θ'(0)= b，以及(1/2)Re^{1/2}Cf = f''(0) / [1+|(We f''(0))^n|] = -a / [1+|(-aWe)^n|]。这些闭式解有助于参数敏感性分析与数值方法基准测试。

**3.3 验证、新颖性与数值研究比较**
通过对比分析（表1-5），解析解与Matlab数值结果及Khan等人[2]的数值数据高度一致，平均偏差仅0.0174。研究还分析了极限情况（We=0牛顿流体与n=1纯黏弹性流体），验证了方法的准确性。

**3.3.1 幂律指数n的影响**
通过固定We=2, Pr=5，改变n值（n=0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5），研究发现：随着n增加，流函数f(η)与速度f'(η)降低，表明剪切稀化效应减弱了流动强度；温度θ(η)升高，热边界层增厚，表明n增强了热扩散。

**3.3.2 魏森伯格数We的影响**
通过固定n=0.2, Pr=5，改变We值（We=1, 2, 3, 4, 5），研究发现：随着We增加，流函数与速度降低，表明流体弹性抑制了流动；温度升高，热边界层增厚，表明弹性促进了热传递。

**3.3.3 普朗特数Pr的影响**
通过固定We=2, n=0.2，改变Pr值（Pr=0.7, 1, 2, 3, 10），研究发现：随着Pr增加，温度降低，热边界层变薄，表明高Pr流体热扩散慢，表面温度梯度更陡，传热效率更高。

**3.3.4 极限情况分析**
**情况1：牛顿流体（We=0）**：方程简化为经典Blasius方程，解析解f(η)≈1-e^{-η}，温度解通过积分形式给出，与数值结果吻合。
**情况2：纯黏弹性流体（We≠0, n=1）**：解析解f(η)≈(1-e^{-aη})/a，a=1-0.3We，温度解通过积分形式给出，与数值结果一致。

**讨论与结论**

**讨论**：研究通过解析方法揭示了Cross流体在径向拉伸片上轴对称流动与传热的关键参数影响机制。幂律指数n、魏森伯格数We和普朗特数Pr对速度与温度分布具有显著调控作用。解析解与数值结果的高度一致性证明了RJM方法的可靠性与预测能力。该方法不仅减少了计算成本，还为非线性非牛顿流体输运问题提供了更深入的理论洞察。研究结果对聚合物加工、热管理、地热系统等工业应用具有指导意义，并与可持续发展目标（SDG 7、9、13）相关联。

**结论**：在本研究中，研究人员利用半解析的Rajendran–Joy方法，对Cross流体在径向拉伸片上的非线性轴对称流动与传热行为进行了分析研究。Cross流体模型有效捕捉了非牛顿流变特性，而所采用的解析方法提供了不同流动条件下速度与温度分布的显式表达式。研究人员深入考察了关键无量纲参数（包括幂律指数、局部魏森伯格数和普朗特数）对表面摩擦的影响。研究结果不仅揭示了流动与热特性对这些参数的敏感性，还通过与现有文献的对比验证了Rajendran–Joy方法的可靠性。该方法在求解复杂非牛顿流动中常见的耦合非线性方程时展现出强准确性与鲁棒性。本研究的实际意义与相关可持续发展目标（SDG 7：经济适用的清洁能源、SDG 9：产业、创新和基础设施、SDG 13：气候行动）相关联。所提出的Cross流体传热模型在节能热系统、工业冷却技术及先进材料加工中具有潜在应用。

**未来工作**：该方法可扩展至更复杂的流动与热场景，如非定常流动、混合对流、磁流体动力学（MHD）Cross流体流动、瞬态热行为，以及纳米流体和混合纳米流体模型，以增强其在工业与生物医学系统中的应用。