功能扰动下马尔可夫跳跃布尔网络的强有限时间稳定性与渐近稳定性

《Neural Networks》：Robust finite-time and asymptotic stability of Markovian jump Boolean networks under functional perturbations

　　摘要：本文研究了在具有状态独立扰动概率的模态依赖函数扰动作用下的马尔可夫跳变布尔网络的整体有限时间稳定性与渐近稳定性。通过半张量积表示法来构建扰动条件下的增强型马尔可夫动力学模型。对于那些能够保持目标态到瞬态态结构且瞬态态到瞬态态误差块为非负的结构性单调扰动类，本文建立了目标集可达性概率关于扰动向量的单调性性质。结合边界目标不变性条件，这一性质使得可以在连续超矩形扰动集上通过检查上界向量来确定稳定性。随后本文提出了一种两阶段二分法，通过逐次更新坐标来计算满足整体有限时间稳定性与渐近稳定性的可行模态依赖扰动范围。文中以一个10节点的类神经布尔网络作为示例来说明所提出的方法。

引言：具有离散状态和开关拓扑结构的系统在生物学和人工智能领域极为常见。自Kauffman于1969年提出相关理论以来，布尔网络便作为一种典型工具被用于通过将基因表达抽象为二元状态来建模基因网络；近年来，该技术还进一步推动了通过布尔建模和特征选择来实现复杂基因网络的数据驱动推断。除了系统生物学领域外，布尔网络还与多种神经网络模型具有离散状态和阈值更新特性，比如霍普菲尔德型联想记忆以及二元或量化神经网络。这类离散时间动态系统由于在建模联想记忆方面的应用、与在资源受限的神经形态硬件上实现量化神经网络的关联，以及其在离散吸引子动力学中的应用，而受到了神经网络研究领域的广泛关注。

为了解决网络连接性和突触传输中存在的固有不确定性，人们提出了概率布尔网络。这类随机模型的稳定性分析仍是一个重要的研究方向，由此也催生了诸如网络聚合等技术，用以有效应对大规模概率布尔网络中的状态空间爆炸问题。然而，复杂系统往往会在调控逻辑或任务要求方面发生与上下文相关的变化——例如神经回路在不同认知任务之间的切换，或是细胞内的表型转换。为模拟这些现象，人们提出了马尔可夫跳变布尔网络，该模型将离散布尔动力学与随机马尔可夫链相结合。这种混合模型有助于描述生物学中的表型可塑性，以及神经计算中由于操作模式变化而导致网络参数突然改变的非稳态动态环境。

虽然矩阵的半张量积为马尔可夫跳变布尔网络的分析与控制提供了有效的代数框架，推动了其在可控性、稳定性和故障检测方面的发展，但现有方法在鲁棒性表征和时间约束稳定性分析方面仍存在明显局限。一方面，许多鲁棒性研究采用标量或均匀扰动描述方式，即对所有操作模式赋予相同的误差水平，这种方式无法反映生物网络中不同的突变率，也无法体现神经形态硬件和二元神经网络中存在的异质性功能干扰，如随机比特翻转和突触噪声。尽管最近有研究开始考虑随机函数扰动，但大多数结果仅关注定性特性，如簇同步性和集合可控性，未能给出在异质模态依赖扰动概率下的明确稳定性界限。这类统一处理方式往往会导致过于保守的“最弱环节”约束，低估了复杂神经回路的恢复能力。另一方面，神经系统通常既需要快速收敛到目标吸引子，也需要长期保持所需的模式特征：前者对于实时模式识别、有限时段控制以及硬件同步至关重要，而后者则是持续噪声环境下实现联想记忆的基础。尽管已有研究涉及无限时段最优控制、鲁棒干预、有限时段跟踪以及无需遍历性假设的集合稳定性分析，但目前仍缺乏一种统一的代数准则，以便在连续异质函数扰动作用下高效验证整体有限时间稳定性与渐近稳定性。此外，基于随机李雅普诺夫的验证方法往往难以适应网络规模的扩大，也很少能给出不同模式下的明确可行界限。近期的一些相关研究则着眼于延迟复杂动力网络的有限时间同步、具有时变延迟和脉冲的分数阶模糊忆阻神经网络的指数同步，以及具有脉冲效应的开关延迟系统的有限时间稳定性分析。

为解决这些问题，本文提出了基于半张量积的框架，用于在模态依赖函数扰动作用下分析马尔可夫跳变布尔网络的整体有限时间稳定性与渐近稳定性。本文为一般目标集制定了稳定性分析目标，并将鲁棒性分析限制在那些能够保持目标集的结构性单调扰动类范围内。当目标集由周期轨道上的状态组成时，所提出的准则能够保证目标集的可达性与维持性，而非针对特定相位的轨道跟踪。本文的主要贡献如下：1）针对存在模态依赖函数扰动的马尔可夫跳变布尔网络，构建了增强型半张量积模型。每个受扰动的逻辑矩阵都由特定的错误布尔更新规则定义，而可行的扰动类则表现为能够保持目标态到瞬态态的结构，且瞬态态到瞬态态的误差块为非负。2）对于这类扰动，本文证明了目标集可达性概率关于扰动向量是单调的。这一结论为简化连续超矩形扰动集上的稳定性验证提供了充分条件，只需检查其上界向量即可。3）本文进一步提出了两阶段二分法，用于计算可行的模态依赖扰动范围。该方法首先估算各个模式的极限值，然后按照选定的稳定性目标对应的坐标更新顺序交替更新坐标，从而得到可行的超矩形鲁棒性界限。

本文的其余结构如下：第2节介绍相关预备知识及基本符号；第3节详细阐述主要研究成果；第4节展示仿真结果；第5节对全文进行总结。

预备知识与问题表述：本节建立了对逻辑网络进行代数分析所需的数学基础，并定义了存在扰动的马尔可夫跳变布尔网络模型。首先给出一些必要的符号说明：•R和N+分别表示实数集和正整数集；•Rn和{0, 1}s分别表示n维实欧几里得空间和s维布尔空间；•[m: n]和[a, b]分别表示从m到n的整数集合以及从a到b的实数集合。

主要研究成果：本节我们研究了在模态依赖函数扰动作用下，马尔可夫活性模式σ(t)与网络状态的共同演化规律。设增强后的状态为ζ(t)=δsσ(t)?x(t)∈ΔN，其中N=s2n，同时定义联合概率向量为z(t)=E[ζ(t)]，这里的期望值是对马尔可夫模式切换和随机函数扰动同时取的。利用标准基eij=δsi?δ2nj，可将z(t)表示为∑i=1s∑j=12npij(t)eij，其中pij(t)=Pr{σ(t)=i,x(t)=δ2nj}。

仿真示例1：本节以一个具有2种马尔可夫模式的10节点布尔同步网络为例，这一模型的设计灵感来源于对类神经布尔开关系统中同步模式的研究。这两种马尔可夫模式代表了同一布尔网络两种不同的正常节点耦合配置。扰动是通过错误的映射Fkp引入的，而这两种模式则对应着不同的正常更新结构。设x(t)=(x1(t),x2(t),…,x10(t))。

结论：本文研究了在模态依赖函数扰动作用下马尔可夫跳变布尔网络的整体有限时间稳定性与渐近稳定性。通过针对目标集制定稳定性要求，本文为正常状态和受扰动状态的系统都建立了基于半张量积的增强型表示方法。对于那些符合结构性单调条件的扰动类，本文推导出了足够的边界准则，可用于在超矩形扰动集上验证网络的整体有限时间稳定性与渐近稳定性。随后，本文又采用了两阶段二分法来计算满足这些稳定性的可行扰动范围。

作者贡献声明：吴佳豪负责原文撰写及正式分析工作；齐文波负责审稿与编辑以及软件相关工作；李千一负责方法论研究及审稿与编辑工作；钟杰负责审稿与编辑以及资金申请工作；郑艳玲负责审稿与编辑以及实验研究工作。

利益冲突声明：作者们声明不存在任何可能影响本文研究工作的已知财务利益或个人关系。

致谢：本研究部分得到了浙江省自然科学基金的资助，项目编号为LQN26F030042。

吴佳豪|齐文波|李千一|钟杰|郑艳玲