《Water》：Gradient-Based Equation Adaptive Weighting in Physics-Informed Neural Networks for Water Hammer Analysis
编辑推荐：
为了解决传统物理信息神经网络（PINNs）在水力瞬变问题中优化不稳定和多控制方程贡献不平衡的问题，本研究提出了一种基于梯度的方程自适应加权策略。该策略被纳入PINN框架，称为GEAW-PINNs（基于梯度的方程自适应加权的物理信息神经网络），用于预测水锤事件中
为了解决传统物理信息神经网络（PINNs）在水力瞬变问题中优化不稳定和多控制方程贡献不平衡的问题，本研究提出了一种基于梯度的方程自适应加权策略。该策略被纳入PINN框架，称为GEAW-PINNs（基于梯度的方程自适应加权的物理信息神经网络），用于预测水锤事件中的压力和流速。在GEAW-PINNs中，与偏微分方程（PDE）约束中不同控制方程相关的损失项被动态加权，从而增强训练稳定性。在模型构建中，采用经典的水锤控制方程建立PDE约束，其中纳入了Brunone模型。同时，相应的模型系数被视为可训练参数，实现参数反演和压力与流速的同步预测。生成高精度数值解作为参考数据以验证所提框架。结果表明，GEAW-PINN有效提高了PINNs在水锤现象中压力预测的稳定性，从而提升了整体优化性能和预测精度。对于水库-管道-阀门系统，所提方法在压力上实现了仅0.00742的相对误差，在流速上为0.0183。所提方法还能在复杂管网系统中提供准确预测。对于管网系统，压力的绝对预测误差约为15，流速约为0.05。最后，在不同随机种子和25 dB噪声下评估了所提方法的鲁棒性。预测误差在不同随机种子下变化很小，方差仅为 和 。在25 dB噪声下，预测误差仅略微增加到 和 。本研究为在多物理场耦合问题中实现稳定的PINN训练提供了一个实际示例。
水锤现象是管道系统运行中常见的瞬变流动过程，其产生的压力波动可能对管道安全构成威胁。传统数值方法如特征线法（MOC）、有限差分法（FDM）等依赖完整准确的初始条件、边界条件和系统参数，而实际工程中这些条件往往难以满足，限制了其应用。物理信息神经网络（PINNs）通过将物理方程嵌入网络训练，在数据稀疏条件下具有潜力，但多控制方程梯度不平衡导致训练不稳定和收敛困难。针对这一问题，研究人员在《Water》期刊发表论文，提出了一种基于梯度的方程自适应加权策略，并集成到PINN框架中（GEAW-PINNs），用于水锤过程中压力和流速的预测。该研究通过引入瞬时加速度型非定常摩擦模型（Brunone模型）作为物理约束，并将模型系数设为可训练参数，实现参数反演与预测同步。采用加权非定常摩擦模型结合MOC生成高精度参考数据，在单管水库-管道-阀门系统和复杂管网系统中验证了方法有效性。结果表明，GEAW-PINNs显著提升了训练稳定性和预测精度，在单管系统中压力相对误差为0.00742，流速为0.0183，管网系统中压力绝对误差约15，流速约0.05，且在不同随机种子和25 dB噪声下保持鲁棒。该研究为多物理场耦合问题中的稳定PINN训练提供了实用范例。
**关键技术方法**（不超过250字）：研究人员采用特征线法（MOC）结合加权非定常摩擦模型生成高精度参考数据，作为训练和测试标准。PINN以空间坐标x和时间t为输入，输出水头H和流速V。通过自动微分计算偏导数，使用Adam优化器（学习率1×10
-3）和L-BFGS算法进行两阶段优化。自适应加权策略基于梯度范数动态调整两个控制方程（连续方程和动量方程）的损失权重，并引入平滑操作和间隔更新（每100次迭代）以稳定训练。Brunone系数k作为可训练参数，初始值为0。网络结构为深度6、宽度40，PDE损失权重设为0.5。单管系统采用水库-管道-阀门模型，在x=500 m和x=250 m处收集训练与测试数据，共2001个时间步（时间步长0.005 s），30个配点沿管道均匀分布。管网系统采用Yan等[39]的案例，每个管道设置3个均匀分布的观测点。
**研究结果**：
**3.1. 系统设置**：通过超参数分析，研究人员比较不同网络深度、宽度、PDE损失权重和更新频率的影响。结果表明，网络深度6、宽度40、PDE权重0.5、更新频率100的组合在压力和流速预测中取得最低误差（压力相对误差0.0277）。该设置被用于后续消融和对比实验。
**3.2. 超参数分析**：通过单变量变化实验，发现网络宽度增加能有效降低压力误差，深度6和8在宽度40时误差相近，因此选择较小宽度以减少计算量。更新频率过高或过低均增加误差，综合考虑压力和流速，选择100次迭代更新一次权重。
**3.3. 自适应加权策略的消融研究**：消融实验比较标准PINN、固定权重PINN（权重分别为1、0.1、0.01）和GEAW-PINN。标准PINN训练几乎失败，预测误差压力0.211、流速0.629；固定权重PINN对权重敏感，误差变化大；GEAW-PINN自动调整权重，训练时间仅增加0.05秒，预测误差压力0.00742、流速0.0183。此外，移除平滑操作导致训练失败，说明平滑对稳定性至关重要。GEAW-PINN成功识别Brunone系数为0.01437（参考值0.0128），接近真实值，偏差源于训练数据使用高阶加权非定常模型而PINN采用瞬时模型。全局流场预测显示，压力波传播与参考解高度一致，峰值附近平均相对误差0.0044，最大相对误差0.1107。沿管道误差分析表明，水库和中部误差小（平均绝对误差0.25，相对误差0.008），阀门附近误差增大至0.35和0.01，方差较大，归因于强瞬变行为。不同随机种子（1234、5678、7890）下预测误差方差极小（压力方差 、流速方差 ），加入25 dB高斯噪声后误差仅略微增加（压力方差 、流速方差 ），表明GEAW-PINNs对噪声鲁棒。
**3.4. 管网系统验证**：采用Yan等[39]的管网案例，保持网络架构与单管一致，PDE损失权重设为0.001。每个管道设置3个均匀分布观测点作为训练数据，应用界面损失约束水头连续和流量守恒。预测结果显示，GEAW-PINN能准确重建管网中所有管道的压力水头和流量，证明其在复杂系统中的泛化能力。
**3.5. 基于梯度的自适应加权策略对比**：与学习率退火（LRA）和神经正切核（NTK）方法比较，三种方法采用相同网络和超参数，仅权重更新策略不同。LRA使用最大梯度导致训练损失剧烈振荡，改用均值梯度后稳定；NTK与GEAW均能自适应调整权重，最终权重值相近。GEAW-PINN在压力和流速预测误差上均低于LRA和NTK，表明其梯度平衡策略更优。
**讨论与结论**：总结讨论部分指出，梯度平衡策略通过动态调整方程权重，使两个控制方程的损失和梯度维持在相同量级，显著减少振荡，提升训练稳定性。与Xu等[22]采用自适应激活函数的PINN相比，GEAW-PINN在前6秒内压力误差降低56%，流速误差降低49%。参数反演分析表明，在稀疏观测下，自适应加权策略使Brunone系数稳定收敛至接近参考值，验证了参数反演能力。研究结论翻译如下：本研究探讨了水力瞬变问题中PINNs的训练不稳定问题，表明不同控制方程之间的梯度不平衡会导致优化偏向某一方程，降低预测精度和物理一致性。为此，提出基于梯度的方程自适应加权策略并集成到PINN框架中。通过动态调整损失函数中不同控制方程的权重，该方法确保训练中梯度贡献更均衡，实现多物理约束的协同优化，从而准确预测水锤过程中的压力和流速。该方法不仅适用于单管水锤问题，还可有效扩展至复杂管网系统。实现上，采用自动微分计算各控制方程梯度，构建自适应加权更新策略，并引入平滑机制稳定权重更新。此外，网络能识别Brunone模型参数，为参数反演提供可行途径。综合数值实验验证了GEAW-PINN框架，主要发现如下：与固定权重法、LRA和NTK相比，GEAW-PINN通过自动平衡不同控制方程梯度，在高度瞬变水锤问题中表现出更优适用性，相较于Xu等[22]采用自适应激活函数的PINN，提高了训练稳定性和预测精度，预测结果与参考解高度一致。GEAW-PINN能准确识别可训练参数，表明其不仅适用于压力和流速预测，还具有求解逆问题的潜力。总之，所提出的基于梯度的自适应加权策略为提高PINNs在水力瞬变问题中的稳定性和准确性提供了有效途径，并为多物理场耦合系统提供了有用范式。
