《Computers and Electronics in Agriculture》：A mathematical model for land reform planning: A cutting and packing approach with regular plots
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•一种用于农业改革中实现公平、可持续土地分配的数学模型。•在农业改革中采用规则形状的地块以降低基础设施成本。•通过实际实验评估地块形状、覆盖度及生产力指标。引言土地管理决策是实现可持续发展的关键瓶颈，因为它涉及复杂的经济、社会和环境因素（Fran?a等人，2022；Milare等
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一种用于农业改革中实现公平、可持续土地分配的数学模型。
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在农业改革中采用规则形状的地块以降低基础设施成本。
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通过实际实验评估地块形状、覆盖度及生产力指标。
引言
土地管理决策是实现可持续发展的关键瓶颈，因为它涉及复杂的经济、社会和环境因素（Fran?a等人，2022；Milare等人，2024；Jürgenson，2016）。在此背景下，农业土地改革是促进社会公正和区域规划的重要策略（Powelson，1987；Tarisayi，2014）。在巴西，农业土地改革被定义为一系列旨在将土地重新分配给无地家庭或小农的政治和社会措施。
通过为无地受益者提供在更广阔的区域市场生产和销售产品的机会，农业土地改革旨在促进社会公平并推动当地经济增长。在巴西，土地改革主要由国家殖民与农业改革研究所（INCRA）负责管理。然而，有效的区域规划面临着平衡土地生产力和基础设施可行性方面的巨大挑战。土地生产力与农业适宜性、地形和水文条件相关，而基础设施可行性则很大程度上受地块几何形状的影响。尤其是矩形或正方形等规则形状的地块，往往能降低边界标记成本，简化围栏建设，并便于道路和基础设施规划。
一些研究者指出，目前由INCRA等机构进行的土地规划存在缺陷，因为所使用的地块形状常被称为“呆板正方形”（即角度很少的地块）。虽然这类地块能确保基础设施建设的可行性，但却没有考虑到土地生产力的平衡问题。为了解决生产力平衡问题，Ferreira Neto等人（2011）提出了农业改革项目与环境规划中的区域组织问题（PROTERRA）模型。PROTERRA方法利用土地单元的农业适宜性值来确定地块形状，旨在通过基于河流通道和面积比例来确保各户之间的地块价值均衡，从而减少潜在冲突。尽管这一策略提升了地块生产力的平衡性，但它导致的非规则形状却使得边界标记成本上升，围栏建设更加复杂，且土地利用效率低下。因此，这种方法影响了基础设施的可行性。
本文旨在探讨如何开发一种优化的计算工具，将该土地划分为矩形地块，从而在确保公平的生产力分配的同时，维持操作的可行性和经济性。为此，我们将土地细分问题建模为二维切割与填充问题——这是一种传统上应用于工业制造领域的优化方法（W?scher等人，2007；Le?o等人，2020；Neuenfeldt Júnior等人，2022）。我们将土地视为“棋盘”，地块视为需要放置的“棋子”，进而运用空间优化技术来解决PROTERRA问题。
关于土地分配的计算方法研究已取得了显著进展。空间优化能够整合多种标准，以确保土地分配能够适应当地需求（Li和Parrott，2016；Gliesch等人，2017）。其他方法还包括用于农村区域划分的基于人口的算法（Porta等人，2013）、规则地块的重新分配模型（Uyan等人，2015），以及将主观幸福感作为定居点重构的考量因素（Tian等人，2017）。在二维填充领域，人们还探索了通过划分管理区域来提高作物产量（Cid-Garcia等人，2013；Albornoz等人，2015；Cid-Garcia和Ibarra-Rojas，2019）。最近，又提出了土地地块的选择与分配问题（SA-LPP）（Gil等人，2023），该问题属于NP难问题，因为它是对经典一维装箱问题的扩展。尽管有了这些进展，仍存在一个不足：目前的PROTERRA模型并未明确优先考虑矩形地块形状，而这种形状对于降低基础设施建设成本和便于农业作业而言至关重要（Oksanen，2013；Libecap和Lueck，2009）。
本研究的主要目标是开发一种数学方法，用于将土地划分为矩形地块，从而提升土地管理的效率，并有助于土地价值评估（Oksanen，2013；Libecap和Lueck，2009）。具体而言，我们的模型旨在将不同地块之间的生产力差异控制在20%以内，以此促进公平与社会稳定。我们的贡献在于将PROTERRA问题建模为二维切割与填充问题，提供了一种兼具可扩展性和灵活性的方法，能够同时兼顾技术和经济因素。与以往允许非规则形状存在的模型不同，我们的方法强制要求使用矩形地块，从而提升操作的可行性及土地的利用率。
本文的其余部分结构如下：第2节阐述问题，并详细介绍为最大化土地覆盖率和平衡生产力而开发的数学模型。第3节通过人工案例进行计算分析，以调整模型参数，尤其是土地离散化程度和地块生成策略。第4节则应用这些参数解决实际场景问题，以便与现有的手工规划方法和基于元启发式的分配方案进行直接性能对比。最后，第5节总结研究结果，并提出未来研究的方向。
章节要点
问题定义与数学模型
农业改革规划问题在于将可用土地划分为若干地块，以便在农村地区安置家庭。图1(a)展示了巴西政府（INCRA）在农业改革项目中使用的Veredas地区的土地情况（Gliesch等人，2017）。这片土地被一个矩形边界所环绕，其中黑色和白色区域分别表示不可使用或需保留的土地，蓝色区域则表示河流。图1(b)则展示了Veredas地区的土地规划情况
二维填充方法的分析
在本节中，我们利用Gliesch等人（2017）提供的人工案例来评估和调整我们的方法，包括土地离散化方式以及用于生成地块的启发式算法。随后，我们会分析该方法的优点与局限性。
我们的计算实验是在配置有2.9 GHz频率的Intel i7–10700F处理器、64 GB内存以及Ubuntu 22.04.02 LTS 64位操作系统的环境中进行的。该模型是用Julia 1.7.3语言和JuMP v1.21.0框架实现的。每一个
基于实际案例的研究
在本节中，我们运用所提出的方法对实际的农业改革案例进行了分析。这些案例反映了农业改革政策实施过程中的各种约束条件和复杂性，代表了真实的土地分配场景。这些实际案例与Gliesch等人（2017）研究中使用的案例相同，因此我们可以将我们的方法与他们的分配方案直接进行比较。
每一个实际案例都代表了一个特定的定居区域，其中包含了土地
结论
本研究推动了土地分配的数学建模发展，弥补了农业改革规划中计算效率与实际可行性之间的差距。我们提出了一种基于二维切割与填充模型的创新方法，用于在离散化的土地区域内划分矩形地块。
该模型包含了一系列约束条件，这些条件能够确保生成出的地块在生产力系数方面的差异较小
CRediT作者贡献说明
Kleber de Santana Souza：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，可视化，验证，软件，方法论，研究，形式分析，数据整理，概念构建。Mayron César O. Moreira：写作——审阅与编辑，验证，监督，方法论，研究，资金获取，形式分析，概念构建。Franklina Maria Bragion Toledo：写作——审阅与编辑，验证，监督，资源协调，项目管理，方法论，
关于手稿准备过程中使用生成式AI和AI辅助技术的声明
在撰写本文档的过程中，作者们使用了OpenAI的生成式AI工具ChatGPT以及Google的 Gemini，仅用于提升文档中某些部分的清晰度、可读性和语言质量。这些工具并未被用于生成研究假设、数学模型、计算结果、数据分析、图表、表格或科学结论。在使用这些工具之后，作者们对内容进行了必要的审阅和修改，并对其真实性承担全部责任
利益冲突声明
作者声明，他们不存在任何可能影响本文研究成果的已知财务利益关系或个人关系。
致谢
我们的研究得到了以下资助机构的支持：CNPq（项目编号420348/2016-6和309161/2022-3）、FAPEMIG（项目编号TEC-APQ-02694-16）、CAPES以及FAPESP（项目编号2013/07375-0）。同时，我们也要感谢FUNDECC/UFLA的支持。
Kleber de Santana Souza|Mayron César O. Moreira|Franklina Maria Bragion Toledo|Luciano Cavalcante de Jesus Fran?a|Andreza Cristina Beez?o Moreira
