基于PINNs的CFRP层合板全场应变重建：克服边界条件与载荷条件不完整的挑战

《COMPOSITE STRUCTURES》：Full-field strain reconstruction of CFRP laminates via PINNs: Overcoming the challenge of incomplete boundary and loading conditions

　　•建立了一种基于PINNs的复合材料全场重建框架。•引入自适应加权机制，以缓解训练过程中的梯度异常问题。•通过硬约束和先验对称性映射，消除非物理性的位移现象。•即便在数据极度稀疏、边界条件及载荷未知的情况下，仍能实现高精度重建。

引言
碳纤维增强聚合物（CFRP）复合材料因其出色的比强度、比刚度以及优异的抗疲劳性能，被广泛应用于航空航天领域。随着航空技术及材料科学的快速发展，CFRP结构已从雷达罩、整流罩等次要承重部件，转变为机翼、机身等核心结构元件。然而，在复杂且恶劣的运行环境中，这些核心结构不可避免地会承受多源耦合载荷。由于CFRP层合板本身具有显著的各向异性与不均匀性，其内部应力与应变梯度分布极为复杂。在长期使用过程中，这类CFRP结构容易出现基体开裂、纤维断裂或分层等现象，进而对结构完整性构成严重威胁。因此，对在役的航空航天CFRP结构实施实时结构健康监测具有重要意义，这不仅有助于确保飞行安全，还能提升结构可靠性[1]、[2]、[3]。

应变信息是评估结构安全性与耐久性的关键指标。但由于航空航天结构的几何复杂性、传感器部署成本以及由此带来的重量增加问题，要在实际工程中为CFRP结构构建覆盖全面的密集传感器网络并不现实[4]、[5]、[6]。现有的监测方法（如应变片、光纤布拉格光栅）通常会产生空间离散度高、数据稀疏的问题[7]，这使得难以准确捕捉关键区域或局部损伤区域的应变集中情况[8]。因此，迫切需要开发出能够仅基于稀疏的离散测量数据，实现连续全局物理场高精度重建的先进技术。获取全场信息不仅能更精确地评估结构在服役状态下的损伤发展情况，还能为基于状态的维护提供可靠的数据支持。这有望显著延长CFRP结构的维护周期，降低运营成本，进一步提升新一代飞机的生命周期经济性及核心竞争力。

为从稀疏的离散测量数据实现到连续全局场的高精度重建，学术界与工业界主要探索了两种途径：逆有限元方法（iFEM）[9]、[10]以及数据驱动的机器学习方法。尽管这两种方法在特定场景下都取得了一定进展，但仍存在诸多局限。iFEM基于变分原理建立离散应变与位移场之间的映射关系，但该方法高度依赖于精确的边界条件、载荷信息以及高质量的网格离散化处理。在复杂的实际服役环境中，研究人员常常面临边界条件缺失或不确定性极高的问题，从而导致数值计算难以收敛。此外，传统数值方法也难以有效整合实际服役过程中积累的多源、高维的时空监测数据，使得宝贵的测量数据未能得到充分利用[11]。另一方面，传统的纯数据驱动型机器学习方法（如深度神经网络）虽然具备强大的非线性拟合能力，但依赖大量高质量的数据集进行模型训练[12]。对于复杂的物理系统而言，通过高精度有限元模拟为稀疏重建构建全面的数据集在计算上几乎不可行。更为关键的是，当面对缺失的边界条件或超出训练数据分布范围的未知工况时，纯数据驱动模型往往表现出较差的泛化能力。此外，这类“黑箱”模型缺乏物理可解释性，其重建结果也无法保证符合基本物理定律，常常产生非物理性的预测结果。

物理信息神经网络（PINNs）[13]的出现为克服上述瓶颈提供了全新的解决方案。通过将用偏微分方程表示的物理规律作为惩罚项直接纳入损失函数，PINNs实现了物理先验知识与观测数据之间的无缝融合[14]。该方法结合了传统数值方法在遵循物理定律方面的严谨性，以及机器学习在非线性近似方面的强大能力，展现出从稀疏数据实现高精度全场重建的独特潜力。在处理非稳态或欠定系统的重建问题时，PINNs在多个方面都具有显著优势。首先，其物理-数据双驱动机制能够建立内在约束，即使在监测数据极为稀疏的情况下，也能基于控制方程进行物理外推，从而有效减少对大规模数据集的依赖，同时解决纯数据驱动模型固有的泛化能力不足问题。其次，PINNs具有无网格的连续表示特性[15]，借助强大的非线性表达能力以及自动微分技术[16]，能够生成全局可分析且可微分的位移场。这避免了传统方法（如FEM、iFEM）在处理高梯度非稳态场时面临的网格细化敏感性及数值病态性问题。最后，该框架还支持参数识别与场重建的同时优化，使得未知的物理参数也能参与到迭代优化过程中。相比传统的逐步反演方法，这一特性使得PINNs在边界条件不完整或材料属性不确定的复杂工程场景中具备更高的稳健性与适用性。

目前，基于PINNs的全场重建研究主要集中在流体力学领域（如圆柱绕流[17]及机翼绕流[18]）。这些研究探讨了不同传感器布局——包括全场布置[17]、[19]、边界布置[20]、[21]以及内部布置[22]、[23]——对重建精度的影响，证明了PINNs在极低采样率下仍能实现高精度重建的能力。然而，在固体力学领域，尤其是针对CFRP结构，利用PINNs从离散测量数据实现全场应变重建的研究相对较少。尽管Noh等人[24]以及Go等人[25]在2025年进行了初步研究，但这两种方法均依赖于商业求解器生成的训练数据集，本质上是将PINNs作为替代模型，用于建立从观测数据到全场物理量的非线性映射关系。实际上，这些方法仍未脱离数据驱动的训练范式，依然高度依赖预先构建的多条件数据集。此外，由于全程物理量被用作显式的监督信号，稀疏观测数据对重建的实际贡献被大大掩盖，因此难以真正评估模型在极端稀疏测量条件下的性能。因此，构建一种能够在固体力学中减少对大规模训练数据集依赖、直接利用稀疏实验数据进行全场重建的PINNs框架，对于结构健康监测而言具有重要的理论意义与实用价值。

然而，在复杂服役条件下对CFRP结构进行逆向重建时，运动学约束的不完整性以及多目标优化中的固有失衡问题，依然是制约PINNs收敛稳定性与物理一致性的关键因素。一方面，高阶物理方程与低阶实验数据之间在梯度幅值上的巨大差异，容易引发梯度异常及梯度冲突[26]，从而导致在固定损失权重下的训练过程出现严重振荡，或收敛到非物理的局部最优解[27]、[28]、[29]、[30]、[31]、[32]。另一方面，由于监测数据较为稀疏且缺乏边界条件，物理系统往往处于运动学欠定状态。在这种约束不足的情况下，重建结果容易出现非物理性的平面外刚体旋转现象，进而降低重建精度。现有的“软约束”惩罚机制不仅增加了超参数调优的难度[33]、[34]，也无法从根本上解决由虚假刚体运动引起的先验对称性破坏问题，从而导致重建结果出现物理失真与场异常。

为应对复杂服役环境下的边界条件缺失及数据极度稀疏等问题，本文提出了一种用于正交各向异性CFRP层合结构全场重建的物理信息神经网络框架。首先，通过一个具有完全指定边界条件的适定正问题，验证PINNs的物理近似能力。随后，逐步减少实际边界条件的数量，并将稀疏测量数据作为残差项加入，以弥补信息不足的问题。为缓解训练过程中不同损失分量之间的梯度流动异常及梯度冲突，本文引入了一种全局-局部自适应加权策略，以实现多目标优化的动态平衡。此外，还创新性地将先验对称性约束嵌入网络架构中，从数学层面消除逆向重建过程中的非物理刚体旋转现象，从而确保重建场的物理一致性。通过两个基准数值试验——分别针对承受面内拉力的开孔板以及承受面外弯曲的夹持板——评估了该框架在极端稀疏测量条件及数值扰动数据情况下，捕捉严重局部应变集中现象以及处理高阶空间导数能力方面的适用性与稳健性。本研究旨在提供一种兼具物理一致性与时效性的重建范式，通过将物理规律与数据分析相结合，实现对航空航天CFRP结构的安全监测，且无需依赖大规模训练数据集。

方法部分：用于复合层合材料的PINN框架
图1展示了所提出的PINN框架的整体计算流程图。首先，对输入的空间坐标进行对称映射变换，从而将结构对称性这一先验知识直接嵌入输入特征中。随后，通过输出变换构建硬边界约束，确保网络在训练过程中严格满足指定的边界条件，同时实现连续的近似表达。

正问题建模
为验证所提框架的性能，本文研究了两个基准问题：一个是承受面内拉力的开孔板，另一个是承受面外弯曲的夹持板。这两个问题分别用于评估该框架捕捉严重局部应变集中现象以及处理高阶空间导数能力，同时也为后续的稀疏重建任务提供数值扰动数据。本研究中考虑的层合板采用对称的堆叠顺序。

不完全边界条件下的问题建模
在涉及大型复杂结构的工程实践中，真实的边界约束与初始激励往往伴随着无法量化的缺陷，因此很难建立完整且适定的物理边界条件。为解决现实场景中的这类欠定问题，将域内稀疏的观测数据D=L(k)u(x)|x∈Xdata,k∈{0,1,…,n}转换为关于真实边界条件的等价弱形式，以此引导求解过程。

结论
本文构建了一种基于物理信息神经网络（PINNs）的框架，用于从稀疏测量数据实现CFRP层合材料的全场重建。该框架同时考虑了面内与面外变形问题，将经典层合理论的控制方程作为物理约束通过损失函数嵌入神经网络中。通过硬约束施加狄利克雷边界条件，并引入自适应加权策略以缓解……

作者贡献声明
安泽军：撰写——原始稿件、方法论、形式分析、概念构思。夏俊康：可视化、形式分析、数据整理。段庆丰：方法论、形式分析、概念构思。胡海晓：可视化、方法论、形式分析。曹东风：撰写——审阅与编辑、验证、监督、概念构思。李华：监督。李书欣：撰写——审阅与编辑、监督、形式分析、数据整理。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。

致谢
作者衷心感谢中国国家重点研发计划（2024YFF0508400）、国家自然科学基金（编号52273080和12302481）、佛山仙湖实验室项目（XHD2024-12134142-02）、湖北省重点研发计划（202401gx0108）以及中国博士后科学基金会（2024?M760458）提供的资金支持。

安泽军|夏俊康|段庆丰|胡海晓|曹东风|李华|李书欣