一种用于半经典非线性薛定谔方程正问题与反问题的深度学习WKB-PINNs框架

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A deep learning WKB-PINNs framework for forward and inverse problems of semiclassical nonlinear Schr?dinger equations

　　摘要：我们提出了WKB-PINNs框架，这是一种用于半经典非线性薛定谔方程的建模方法，它将温策尔-克拉默斯-布里渊相位-振幅分解方法融入到物理信息神经网络中。在这种方法中，解被分解为快速振荡的实数相位和复数包络，随后利用完整的强形式残差以及初始条件和边界数据来训练两个耦合的替代模型。在无色散定律适用时，目标函数中包含一个艾科纳正则化项，用以将学到的相位与几何光学联系起来；而在量子压力不可忽略的情况下，则通过温和的导数约束来对相位进行正则化。这种表示方式能够改善条件数，降低每波长所需的配置密度，并减少相位误差传递到包络中的可能性。该框架无需网格，可在常见的深度学习环境中高效实现，同时支持从部分观测数据中进行正向解算和逆向参数估计。我们通过五个二维研究对这一方法进行了验证。正向研究包括基于基准相位引导的配置、具有真正非仿射相位和空间变化势场的问题、在周期性边界条件下检验同一半经典框架的周期性问题，以及包含O(?)阶内部层的相干结构问题。此外，我们还研究了逆向问题，旨在从包含终端数据的混合观测中恢复半经典参数和非线性相互作用强度。通过用5%和10%的噪声干扰观测数据，我们评估了方法的鲁棒性，发现复杂场、恢复的参数以及相关的物理量都具有稳定的精度。结果表明，WKB-PINNs为小?值下以波动为主的动力学提供了一种实用且能适应不同场景的方法，在高度振荡的半经典非线性薛定谔方程体系中也能保持稳定性能。

引言：偏微分方程是物理学、工程学、力学、化学和金融等领域用于建模复杂现象的数学基础[1]、[2]。在这一广阔领域中，非线性薛定谔方程起着核心作用，它描述了固体物理学、非线性光学、玻色-爱因斯坦凝聚态以及流体力学中的色散波动力学，尤其是在标度化的普朗克常数满足0??0为标度化的普朗克常数。算子Δ=???+?yy为二维拉普拉斯算子，代表线性色散效应。函数V(?, y)表示实值势场，用于描述外部驱动力或约束效应。参数α?>?0决定了三次非聚焦非线性的强度。映射v0(?, y)规定了初始状态，而g(?, y, t)则给出了空间边界上的狄利克雷条件。从波场v出发，可以计算出一些重要的物理量，这些量能够体现非线性薛定谔动力学中的守恒律和规范不变结构。质量密度由ρ=|v|2定义，它描述了波场的局部强度。相应的概率流由J=?Im(v￣?v)，其中?=(??,?y)给出，它代表了由于相位空间变化而产生的通量。我们还考虑了哈密顿密度h=?22|?v|2+V|v|2+α2|v|4，它通过色散、势能和非线性成分记录了局部的能量分布。这些诊断量具有规范意识，与非线性薛定谔演化的不变量相关联，同时也能补充场级误差范数，因此它们能够为半经典体系中的相位精确度、传输准确性和能量一致性提供可靠的检验标准[6]。方程(1.1)中的表述涵盖了应用中出现的几种标准薛定谔型模型。当V?≡?0且f(|v|2)v=α|v|2v时，就得到了三次非线性薛定谔方程，此时若α?>?0则为非聚焦型，而α?
WKB-PINNs框架
我们现在介绍用于半经典区域二维NLS的WKB-PINNs方法。我们开发了一种具有相位感知能力的PINN，它将半经典相位-振幅分解与训练目标相结合，该训练目标不仅依据初始条件和边界条件来强制满足强形式约束，还在适当的情况下引入渐近先验来处理相位问题，同时在无色散定律不成立的区域内则使用轻量级的导数锚点。

2.1 半经典WKB分解与神经网络参数化，正向问题：立方NLS的二维平面波传播
我们首先研究WKB-PINNs在半经典平面波区域中对去聚焦立方NLS的求解性能。该示例将方法置于一个完整的时空配置中，涉及两个空间变量和一个时间变量，相位在所有坐标上都会发生变化，且控制方程同时包含了非线性相互作用和多维微分结构。这一设置非常适合用来评估渐近引导的稳定作用。

正向问题：存在谐振阱的二维去聚焦立方NLS
接下来，我们在存在谐振陷阱势场的条件下，研究基于所提框架的正向基准测试。与之前的案例相比，此示例旨在测试该方法在具有真正非仿射相位的平滑预焦散区域中的表现。限制势场明确依赖于空间变量，这会导致相位出现空间变化的梯度，从而使验证范围超出之前研究的线性相位几何结构。

随时间演化的物理一致性
现在我们研究所学到的解是否能在整个演化过程中保持主要的物理量不变。我们在每个保存的时间点评估相对质量与哈密顿量的误差，然后报告它们的时间平均值和时间最大值。这种做法能够系统地从守恒角度评估所学动力学行为，从而使得验证不再仅局限于最终时刻的场误差。表13显示，整个演化过程中的守恒误差都保持较小水平。

正向问题：二维周期性非仿射半经典NLS
接下来，我们考虑在一个周期性空间域上设置的二维半经典NLS基准测试，以此来判断当前的WKB-PINNs框架是否能够拓展到之前研究的狄利克雷型环境之外。新的测试案例具有平滑的非仿射精确相位以及周期性势场，因此虽然仍属于二维去聚焦半经典区域，但属于完全不同的边界条件类别。

正向问题：二维斜向传播的暗孤子
接着，我们将WKB-PINNs框架应用于移动且斜向传播的暗孤子所对应的半经典NLS问题。与二维平面波示例不同，此场景涉及一个具有非零恒定空间梯度和非平凡时间斜率的线性相位，同时振幅部分呈现出厚度为O(?)的相干暗凹陷结构。这种相干结构为表示能力和逆向问题的解决提供了严格的考验。

逆向问题：二维移动斜向暗孤子
现在我们研究与二维斜向传播暗孤子相关的逆向识别问题。我们选择这种斜向传播的暗孤子作为测试案例，因为它提供了一个具有丰富但受控结构的封闭形式参考模型，包括斜向分布、可调节的传播速度，以及能够同时考验振幅和相位重建能力的局部过渡层。此外，该案例还提供了具有物理意义的可观测量。

含噪声数据实验
为了评估对测量噪声的鲁棒性，我们在越来越复杂的观测模式下，对正向和逆向半经典NLS场景下的所提WKB-PINNs框架进行了测试。在正向平面波基准测试中，我们在保持规定的初始条件和边界数据精确不变的情况下，研究存在噪声的内部时空观测数据，这样就可以将受污染的场测量效应与初始边界约束分开来分析。在逆向斜向传播暗孤子场景中，则进行了相关测试。

不同随机种子的统计变异性
我们进一步研究了在独立随机种子下WKB-PINNs主要结果的重复性。为此，我们使用了1234、2345和3456这三个独立种子重复进行了三个具有代表性的实验，并报告了主要误差指标和参数估计值的平均值±标准差。所选的实验包括二维谐振阱正向问题、在完整观测条件下的逆向斜向传播暗孤子问题，以及另外一项逆向实验。

计算成本、可训练参数及收敛行为
现在我们总结一下所提出的WKB-PINNs框架在主要正向和逆向研究中的计算开销。所有测试均在Windows 10系统上的TensorFlow环境中运行，使用的Python版本为3.11.0，TensorFlow版本为2.18.0。所有计算都在Intel(R) Core(TM) i7-10870H CPU @ 2.20GHz处理器上进行。由于在这些测试中后台没有检测到GPU设备，因此无法获取直接的GPU内存峰值统计数据。正因如此，这里只能给出计算开销的近似值。

结论与未来展望
我们开发了一种基于物理信息的半经典NLS学习框架，该框架通过结合现代神经网络技术与经典的WKB结构来融入相位信息。WKB–PINNs方法包含三个组成部分：首先，相位-振幅表示法将快速振荡与更平滑的包络分离，从而改善基于残差的训练条件；其次，通过在实际适用的阶段激活渐近先验，以符合该阶段的特性来对相位进行正则化处理。

未引用参考文献
缺失引用[40]

CRediT作者贡献说明
Shubham Kumar：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，软件工具，方法论，研究工作，形式分析，概念构建。Himanshu Kumar Dwivedi：写作——审阅与编辑，可视化，方法论，研究工作，形式分析，概念构建。R. Rajeev：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，指导监督，方法论，研究工作，形式分析，概念构建。

利益冲突声明
作者声明他们不存在任何可能影响本文所述工作的已知财务利益或个人关系。

Shubham Kumar | Himanshu Kumar Dwivedi | R. Rajeev
印度瓦拉纳西，BHU印度理工学院数学科学系，邮编221005