耦合非线性长波-短波方程线性化BDF2方法的无条件最优误差估计

《Computers & Mathematics with Applications》：Unconditionally optimal error estimates of a linearized BDF2 method for coupled nonlinear long-short wave equations

　　摘要：本文设计并分析了一种高效的数值方法，用于求解二维耦合非线性长波-短波方程组。该方法通过将时间上的BDF2方法与空间上的Galerkin有限元方法相结合，构建出完全离散的数值格式。此外，还得到了无条件最优的L2范数误差估计，这一估计不依赖于网格比例，也不要求数值解有界。最后，通过一些数值算例来验证数值结果与理论分析的一致性。

引言：由于非线性微分方程能够描述各种复杂的物理现象，但往往难以得到解析解，因此发展相应的数值方法显得十分重要[1]–[7]。本文研究以下二维耦合非线性长波-短波方程组（CNLSEs）：
{iut?Δu=?uv, (x,y)∈Ω, t∈(0,T]},
{vt+βv?γΔv=(|u|2)x, (x,y)∈Ω, t∈(0,T]},
{u(x,y,t)=0, v(x,y,t)=0, (x,y)∈?Ω, t∈(0,T]},
{u(x,y,0)=u?(x,y), v(x,y,0)=v?(x,y), (x,y)∈Ω},
其中T>0，Ω?R2为具有边界?Ω的有界域，参数β≥0，γ∈R?。复值函数u表示短波的振幅，而实值函数v则表示长波的振幅。这些方程组最初由Djordjevic和Redekopp[8]提出，用于描述非线性色散介质中长波长（低频）波与短波长（高频）波之间的相互作用。这种相互作用促进了能量和动量的交换，从而产生放大、散射、调制以及孤子形成等复杂的动力学现象。因此，这类方程组广泛应用于电子等离子体与离子场相互作用[9]以及等离子体物理学[10]等领域。尽管这类方程组在众多物理现象中都有广泛应用，但无论是从理论分析还是数值计算方面来看，相关研究成果仍然相当有限。例如，相关的理论研究仅取得了以下成果：Wang等人[11]证明了CNLSEs的全局适定性，而Khater等人[12]则得到了新的孤立波解公式。与此同时，数值研究大多局限于一维情形。Amorim和Figueira[13]证明了某种有限差分半离散格式在能量意义下的收敛性，Chang等人[14]则比较了多种有限差分格式。Liu和Lú[15]构建了一种完全离散的谱逼近格式，并且在同一研究中证明了该格式的稳定性和收敛性，其依据是通过H1范数确定数值解的有界性，再利用嵌入定理（H1?L∞）来推导结果。然而，由于H1?L∞关系，这种方法不适用于高维非线性问题。对于高维非线性问题，若要获得误差估计，就需要要求数值解属于L∞(Ω)，这无疑是一个较高的要求。为确保数值解的有界性，通常有两种方法：一种是利用数学归纳法以及反向不等式[16]–[18]，即∥uhn∥L∞≤∥Phun∥L∞+∥uhn?Phun∥L∞≤∥Phun∥L∞+Ch?2∥uhn?Phun∥L2≤∥Phun∥L∞+Ch?2(τq+hp)，其中uhn和un分别表示tn时刻的数值解和精确解，d为空间维度，h为空间网格大小，τ为时间步长，q和p分别为时间和空间上的收敛阶数，Ph为投影算子。显然，此时网格比例τ=O(hd2q)是不可避免的。另一种方法是采用误差分解技术，该方法可以消除时间步长的限制，但需要一个辅助的时间离散系统，这无疑会增加分析的复杂性[19]–[21]。最近，Yang[22]提出了一种基于∥uhn?Phun∥H1范数界限来获取误差估计的新方法，这一条件比uhn∈L∞(Ω)更为宽松，因此可以避免或绕过两种传统方法中L∞范数所带来的限制。据我们所知，对于二维CNLSEs(1.1)，目前可用于模拟和逼近的数值方法还相当有限。因此，本文旨在解决这一难题，我们结合空间上的Galerkin有限元方法与时间上的BDF2方法来构建一种新的数值方法。在数值分析方面，为处理高维非线性问题，本文打算借鉴[22]中的技术，并严格证明所设计的数值方法是无条件收敛的。本文的主要贡献如下：
•针对二维CNLSEs，提出了一种线性化的BDF2有限元格式，该格式无需求解非线性方程组，而是得到系数矩阵为常数的线性方程组，从而提高了计算效率。
•在计算uh1和vh1时，通过充分利用CNLSEs(1.1)的时间导数信息对非线性项进行线性化，第一步即可实现O(τ2)的时间精度，这比[22]中通过外推技术获得二阶精度更为自然。
•通过对非线性项进行更精细的处理，在不依赖数值解有界性的前提下，得到了L2范数下的无条件最优误差估计O(τ2+h2)。
•与[22]中针对单个非线性方程的研究相比，复杂场中的耦合非线性方程能够描述更广泛的现象，其数值计算和理论分析也更为困难。面对这一挑战，本文首次成功地将[22]中的技术拓展应用于CNLSEs的数值分析。本文的其余结构如下：第2节介绍一些符号及对后续分析有用的已知事实；第3节介绍将时间离散化的BDF2格式与空间离散化的Galerkin有限元方法相结合而得到的完全离散数值系统；第4节详细证明该BDF2有限元格式的无条件最优误差估计，且不依赖于网格比例；第5节通过数值算例来验证理论结果；最后一部分为本文的结论。

符号与预备知识：本节回顾一些后续会用到的定义和引理。下文中的Ck（k∈N?）表示一个与离散化参数无关的正常数，但其具体数值在不同场合可能有所不同。记Wm,p(Ω)为具有范数‖·‖m,p和半范数|·|m,p的标准Sobolev空间，将Wm,2(Ω)记为Hm(Ω)，将H01(Ω)定义为{u∈H1(Ω):u(x,y,t)=0, (x,y)∈?Ω}。记Lp(Ω)为带有范数‖·‖p的Banach空间，将‖·‖2简记为...

BDF2有限元格式：设N为正整数，τ=T/N，tn=nτ，un=u(x,y,tn)，其中n≥0。定义δτu?=u??u?τ，u??=u?+u?2，u1=u?+τ2ut?，Dτun=3un?4un?1+un?2/4τ，n=2,3?,N。设Th为将Ω划分为R2中三角形Ki的准均匀划分，h=max{Ki∈Th}diamKi为网格大小。定义有限元空间Vh={vh∈C(Ω\{0\})∩H01(Ω):vh|Kj∈P1(Kj), ?Kj∈Th}，其中P1(Kj)为线性函数的空间。通过将时间上的BDF2方法与空间上的Galerkin有限元方法相结合，即可构建出完全离散的有限元格式。

无条件最优误差估计：在第3节中，通过线性化非线性项，并结合BDF2时间离散化与有限元空间离散化，构建出了线性化的BDF2 Galerkin格式(3.1)–(3.3)。此外，借助第2节和第3节引入的引理，以及CNLSEs(1.1)的解析解所具有的规律性假设：u, ut∈L∞([0,T];H2(Ω))，utt, uttt∈L∞([0,T];L2(Ω))，v, vt∈L∞([0,T];H2(Ω))，vtt, vttt∈L∞([0,T];L2(Ω))，我们开始严格探讨...

数值算例：本节通过一些数值算例来说明前几节中的理论分析。在计算空间收敛率时，将N设定为一个足够大的值；而在计算时间收敛率时，则令h=τ。

算例1：本例研究凸形区域，为简化问题，采用正方形区域，同时取常数β=0，γ=1。此时CNLSEs(1.1)变为{iut?Δu=?uv+f, (x,y)∈Ω, t∈(0,1]}, {vt?Δv=(|u|2)x+g, (x,y)∈Ω, t∈(0,1]}，其中Ω=[?1,1]...

结论：通过充分利用CNLSEs(1.1)的时间导数信息对计算uh1和vh1时的非线性项进行线性化，再结合空间上的Galerkin有限元方法与时间上的BDF2方法，提出了线性化的BDF2 Galerkin格式(3.1)–(3.3)。通过精心处理非线性项，得到了无条件最优的L2范数误差估计O(τ2+h2)，从而避免了传统方法中对数值解属于L∞空间的依赖。此外，该方法还得到了进一步扩展。
作者：Zhanlang Wang | Aiguo Xiao | Jiliang Cao
单位：湖南湘潭大学数学与计算科学学院，中国411105