立方非线性薛定谔方程的有限元方法双网格算法

《Computers & Mathematics with Applications》：Two-grid algorithms of the finite element method for the cubic nonlinear Schr?dinger equation

　　摘要：本文提出了针对二维定常立方非线性薛定谔方程的两种双网格有限元算法，并进行了误差分析。利用这些双网格算法，将在细网格上求解非线性薛定谔方程的问题转化为在较粗网格上求解原问题，同时在细网格上求解一个线性问题。这样一来，这些双网格算法不仅降低了整体计算成本，还保持了双网格解的最佳误差阶数。最后，通过两个数值实验来验证这两种算法的准确性与高效性。

引言：本文研究以下二维定常立方非线性薛定谔方程：{?Δu(x)+V(x)u(x)+|u(x)|2u(x)=f(x),?x∈Ω,u(x)=0,?x∈?Ω}，其中Ω?R2为凸多边形区域，函数u(x)和f(x)为复值函数，势能函数V(x)为实值且非负有界，且存在实数V0＞0使得V(x)≥V0,?x∈Ω。非线性薛定谔方程是一种经典的偏微分方程，广泛应用于流体动力学、非线性光学、等离子体物理、蛋白质化学等诸多领域。近几十年来，许多学者对薛定谔方程的数值方法进行了广泛研究，包括有限差分法[1]、[2]、[3]，谱方法[4]、[5]、[6]，局部离散伽辽金法[7]、[8]、[9]，混合有限元法[10]、[11]以及各种有限元方法[12]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]。廖等人[2]提出了适用于具有周期边界条件的二维线性薛定谔方程的四阶紧凑差分格式。鲍等人[4]研究了在普朗克常数ε较小的半经典区域中，时间分裂谱近似法求解一般非线性薛定谔方程的性能。郭和徐[7]通过用局部离散伽辽金法处理空间问题，再用Crank-Nicholson格式处理时间问题，提出了一种用于模拟含波算子的多维薛定谔方程的全离散格式。刘等人[10]探讨了一类二阶薛定谔方程的H1-伽辽金混合有限元方法。对于一维空间中的问题，人们已得到了半离散格式的最佳误差估计。Akrivis等人[12]提出了几种用于非线性薛定谔方程的隐式Crank-Nicolson伽辽金有限元方法，他们得到了当时间步长满足τ=o(hd4)，其中d=2,3时的最佳误差估计。史等人[19]采用了最简单的各向异性线性三角有限元来求解非线性薛定谔方程，并给出了半离散格式下的超收敛误差估计。

徐[26]、[27]提出了双网格方法，作为一种用于非对称、不定及非线性偏微分方程的离散化方法。该方法的基本思想是在尺度为H的粗网格上求解复杂问题，然后在尺度为h的细网格上求解简单、对称、正定或线性化的问题。这一理念已被应用于解决诸多问题，如椭圆型问题[28]、[29]、[30]，抛物型方程[31]、[32]、[33]、[34]，反应-扩散方程[35]、[36]、[37]，麦克斯韦方程组[38]、[39]、[40]、[41]以及其他问题[42]、[43]。也有少量论文研究薛定谔方程的双网格离散化方法[44]、[45]、[46]、[47]、[48]、[49]、[50]、[51]。金等人[44]首次运用双网格有限元方法求解了耦合的偏微分方程组。Chien等人[45]研究了带有两循环延续算法的高效双网格离散化格式，用于计算定义在单位正方形和单位圆盘上的双耦合非线性薛定谔方程的波函数。胡和陈[46]提出了二维非线性薛定谔方程的双网格有限元格式，并给出了误差估计。在[47]中，金等人构建了一些用于求解二维定常非线性薛定谔方程的双网格有限元格式。本文致力于研究方程(1.1)所表示的定常立方非线性薛定谔方程的有限元方法。我们分析了有限元解与精确解之间的误差，并设计了若干双网格算法。借助这些算法，原问题的求解可转化为在较粗网格上求解相同问题，同时在细网格上求解一个线性问题。如此一来，这些双网格算法不仅减少了总体计算量，还保持了双网格解的最佳误差阶数。

本文的其余结构如下：第2节给出一些符号说明及投影算子；第3节分析有限元解的误差；第4节介绍有限元方法的各种双网格算法并进行误差分析；第5节通过两个数值示例来展示这些双网格算法的准确性与高效性。在全文中，符号C表示一个正常数，其具体数值可能因上下文而异，但与网格尺寸h和H无关。

符号与预备知识：对于定义在Ω上的任意复值可测函数ψ(x)以及整数m≥0，记Wm,p(Ω)为标准索伯列夫空间，其范数定义为∥ψ∥m,p=(∑|α|≤m∥Dαψ∥Lp(Ω)p)1p，其中1≤p<∞，而∥ψ∥m,∞则定义为max|α|≤m∥Dαψ∥L∞(Ω)。当p=2时，我们也会用符号Hm(Ω)表示Wm,2(Ω)，用‖·‖m代替‖·‖m,2，用‖·‖代替‖·‖0,2。此外，定义H01(Ω)={v∈H1(Ω):v|?Ω=0}。对于任意两个属于L2(Ω)的复值函数φ(x)、ψ(x)，其内积(φ, ψ)定义为(φ,ψ)=∫Ωφ(x)ψˉ(x)dx，其中ψˉ(x)表示ψ的复共轭。

有限元方法的误差估计：对于问题(2.2)在网格Γh上的有限元解uh(x)，可定义为满足以下条件的函数uh(x)∈Sh：(?uh,?vh)+(Vuh,vh)+(|uh|2uh,vh)=(f,vh)，对所有vh∈Sh均成立。引理3.1[24]指出，若uh是问题(3.1)的解，则有∥uh∥≤C，∥uh∥∞≤C。引理3.2认为，若u和uh分别是问题(2.2)和(3.1)的解，且u∈H2(Ω)，那么有∥uh?Phu∥≤Ch2，∥uh?Phu∥1≤Ch2。证明过程如下：根据(2.2)和(3.1)，可得(?(u?uh),vh)+(V(u?uh),vh)+(|u|2u?|uh|2uh,vh)=0，对所有vh∈Sh均成立。令u?uh=ρ?ζ，其中ρ=u?Phu。

有限元方法的双网格算法：在本节中，我们研究用于非线性薛定谔方程(1.1)的双网格有限元方法。设ΓH为Ω的一个较粗的准均匀三角形划分，其网格尺寸H＞h，而SH?Sh则是定义在ΓH上的另一个有限元空间。基于此，我们可以构建有限元方法的双网格算法。通过该算法，原本需要在细网格上求解的非线性薛定谔方程问题，可转化为在更粗的网格上求解原问题，同时还需求解两个泊松方程。

数值示例：本节通过两个数值实验来验证理论结果以及双网格算法的高效性。所有模拟均在装有Intel Core i5-8265处理器、8GB内存、CPU主频1.60GHz的Windows服务器上，使用MATLAB R2011a软件完成。

示例5.1：我们考虑以下二维定常立方非线性薛定谔方程：{?Δu(x,y)+u(x,y)+|u(x,y)|2u(x,y)=f(x,y),?(x,y)∈Ω,u(x,y)=0,?(x,y)∈?Ω}，其中Ωˉ=[?1,1]×[?1,1]，函数f(x, y)的具体形式已给出。

结论：本文提出了两种针对二维定常立方非线性薛定谔方程的新的双网格有限元算法，并对其进行了误差分析。这些双网格算法不仅能够缩短计算时间，还能保持数值解的最佳误差阶数。最后，通过两个数值实验进一步证明了这些算法的准确性与高效性。未来，我们将继续研究双网格方法在更多问题中的应用。

利益冲突声明：作者声明不存在任何利益冲突。

田志坤 | 王建云
湖南工程学院计算科学与电子学院，中国湖南省湘潭市411104