用于计算基于Koopman的Lyapunov函数的RKHS方法

《European Journal of Control》：RKHS method for computing Koopman-based Lyapunov functions

　　摘要：Koopman算子是一种用于非线性系统全局稳定性分析的强大工具，它为李雅普诺夫函数的设计提供了系统化的方法。在该框架下，李雅普诺夫函数是通过与平衡点处雅可比矩阵特征值相对应的Koopman算子特征函数来获得的。在实际应用中，这些特征函数是通过算子的有限维表示来近似的，而无法保证近似得到的谱与真实谱完全一致。本文提出了一种基于核的方法来计算Koopman特征函数，并保留雅可比矩阵的谱。得益于核技巧，该方法适用于高维系统的稳定性分析。此外，还通过基于场景的优化技术对候选李雅普诺夫函数进行验证，从而可靠地估计系统的吸引域。

引言：动态系统的全局稳定性分析在众多科学领域中具有重要意义。例如，对于飞行控制或医疗应用等关键安全系统而言，估算系统的吸引域至关重要。众所周知，系统的全球稳定性特性可以由李雅普诺夫函数完全描述（Khalil，2002）。对于非线性系统，李雅普诺夫函数的设计颇具挑战性，因此在过去几十年里引起了广泛关注。目前已发展出了多种李雅普诺夫函数设计方法，比如平方和法（Papachristodoulou和Prajna，2005）、Zubov方程的解法（Liu等人，2025；Vannelli和Vidyasagar，1985），以及基于配置核的方法（Giesl等人，2019；Giesl和Wendland，2007）等。关于现有李雅普诺夫函数设计方法的概述，可参考Giesl和Hafstein（2015）的研究。

Koopman算子在全局稳定性分析中起着重要作用，因为它能够通过与平衡点处雅可比矩阵特征值相关的Koopman特征函数来系统地设计李雅普诺夫函数（Mauroy和Mezi?，2016）。尽管这一框架很有吸引力，但它依赖于特征函数的数值近似[Mauroy等人，2020，第2章]。实际上，无限维的Koopman算子是通过将可观测量空间限制在有限维子空间中来近似为有限维算子的。在这方面已经有多种方法被提出，包括多项式展开法（Mauroy和Mezi?，2016；Yadav和Mauroy，2025），以及基于核的方法（Das和Giannakis，2020；Klus等人，2020；Lee等人，2025；Williams等人，2014）等。与受维度灾难影响的多项式子空间相比，这些基于核的方法近年来越来越受到重视，且由于核技巧的存在，它们更适用于高维系统。另一个相关问题是，通常无法保证用于计算李雅普诺夫函数的特征值子集能在近似过程中得到保留。不过，通过在求解特征值方程时指定所需的特征值，就可以解决这一谱污染问题，例如可参考Mauroy和Mezi?（2016）的研究，或是更近期的Lee等人（2025）的研究。

本文设计了一种新的基于Koopman的方法，该方法借助再生核希尔伯特空间理论来估计Koopman特征函数并构建李雅普诺夫函数。得益于Lee等人（2025）提出的某种特殊正交投影，在恰当选择的再生核希尔伯特空间中，该方法不仅能保留平衡点处雅可比矩阵的谱，而且也非常适合处理高维系统。此外，通过Campi等人（2015）提出的基于场景的方法，进一步对该方法所得到的候选李雅普诺夫函数进行了验证。数值测试表明，该方法在估算低维和高维系统的吸引域方面具有高效性。

本文的结构如下：第2节回顾了通过Koopman算子框架进行全局稳定性分析的基本原理。第3节给出了本文的主要成果，我们在此开发了一种基于核的方法，用于在保留雅可比矩阵谱的同时近似计算Koopman算子的特征函数。第4节通过基于场景的技术进一步验证了由该近似得到的候选李雅普诺夫函数，以此估算平衡点的吸引域。第5节提供了针对不同系统的数值实验，第6节则给出了结论与展望。

章节节选：

基于Koopman的李雅普诺夫函数：本节回顾了通过Koopman算子进行全局稳定性分析的基础知识。考虑如下系统：x˙=F(x)，x∈X，其中X?Rn是一个包含原点的紧致集合，且F在X上是利普希茨连续的且具有解析性。我们将φt:R+×X→Rn，x?φt(x)=x(t)称为系统(1)的流映射，并假设该系统在原点处存在一个局部稳定的双曲平衡点，其吸引域记为R，即R={x∈X∣limt→∞φt(x)=0}。众所周知，R可以通过基于RKHS的Koopman生成元的谱近似来完全刻画。

基于RKHS的Koopman生成元近似：本节构建了一种适用于高维系统的Koopman生成元近似方法，同时确保能够较好地近似L的特征值。为此，我们将借助再生核希尔伯特空间理论。

通过基于场景的优化验证候选李雅普诺夫函数：接下来，我们将采用基于场景的优化方法来验证从近似特征函数得到的候选李雅普诺夫函数。在下一节中，我们将简要总结Campi等人（2015）所发展的关于非凸型基于场景优化的主要成果。

数值示例：本节使用我们的方法计算并验证了一个李雅普诺夫函数，同时还得到了几个具有稳定平衡点的动态系统的吸引域近似值。在所有示例中，我们都使用了示例1中给出的核k2，其中η=1。在示例1和2中，我们求解的场景问题中的N值为104，而在示例3中N值为5×105。

示例1（范德波尔系统）：考虑反向范德波尔振荡器{x˙1=?x2，x˙2=?μ(1?9x12)x2+x1，其中μ=1，x∈X=[?1,1]2}。

结论与展望：Koopman算子通过其特征函数为李雅普诺夫函数的设计提供了系统化方法。本文中，我们开发了一种基于核的方法，通过在解析型再生核希尔伯特空间上进行有限维近似来计算Koopman特征函数。我们利用该空间的解析性质，得到了一个既能保留线性化系统谱又能适用于高维系统的算子近似。最后，我们还提出了一种基于场景的优化方法。

CRediT作者贡献声明：
Fran?ois-Grégoire Bierwart：概念构思、初稿撰写、审稿与编辑。Alexandre Mauroy：监督、验证、审稿与编辑、概念构思。

利益冲突声明：作者声明没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。

Fran?ois-Grégoire Bierwart | Alexandre Mauroy
比利时那慕尔复杂系统研究所（naXys），数学系，那慕尔，5000