基于光谱的二维探针逆热传导问题表面温度预测：一种基于校准的数据驱动方法

《International Communications in Heat and Mass Transfer》：Spectral based surface temperature prediction for a two-probe inverse heat conduction problem by a calibration based data-driven approach

　　摘要：本文提出了一种基于校准积分方程方法的非线性逆热传导估算技术，用于确定瞬态表面温度。通过在不同深度嵌入两个热电偶，所提出的双探针方法无需指定背面的边界条件。该方法的优点在于不受宿主材料的热物理性质以及探针精确空间位置的影响；这些参数可通过频域分析消除，从而降低系统误差。为处理非线性问题，首先利用变换函数进行线性化处理，再应用拉普拉斯变换得到传递函数表达式。该校准积分方程方法被表述为第一类沃尔泰拉积分方程，其中未知的变换函数通过第一类切比雪夫展开来近似，其展开系数通过三种不同的实验校准测试确定。为稳定本质上不适定的沃尔泰拉积分方程，采用了未来时间正则化方法，最优参数通过互相关分析和相平面分析确定。以不锈钢作为宿主材料进行的数值模拟表明，该方法能够高度准确地预测表面温度，与线性模型相比，预测表面温度的均方根误差可降低约31%。

引言：在热传递应用中，逆热传导问题被广泛用于根据已知的内部温度测量值来确定未知的热物理性质或表面温度状况。这类问题在热系统设计与优化、各类制造工艺、航空航天热评估、生物医学温度预测以及电子冷却技术中发挥着重要作用。因此，逆热传导问题是系统分析、性能提升及无损检测技术中的重要工具。此外，在研究高超音速再入[1]、制动器[2][3]、燃烧[4][5]、凝固[6]以及淬火[7]等过程时，往往会出现表面安装传感器不可行的测试环境，因此人们提出了基于内部测量的替代方法。Beck等人[8]指出，逆热传导问题本质上是不适定的，这意味着在投影过程中会产生较大的误差放大效应。如参考文献[9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19][20][21]所述，已有许多技术被用于解决逆热传导问题。其中最常用的方法是基于梯度的优化方法。例如，Zhou等人[21]研究了有限厚度板中的一维逆热传导问题，通过共轭梯度法，利用测得的背面热流和温度数据反演出了正面表面的热流，而正面表面温度也可作为逆热传导问题算法的副产品被高精度计算出来。然而，这些方法都属于“需要参数”的类型，必须输入精确的参数，包括探针位置、热物理参数以及传感器的动态响应参数。这类方法可能存在较大不确定性，从而导致错误的表面温度预测。另一种方法是系统校准法[22][23]，它是一种“无需参数”的方法，无需预先输入上述系统参数，而是通过将主动侧的表面温度状况与其测得的内部温度配对，从而得到输入输出传递函数关系。校准积分方程方法是一种数据驱动的方法，用于解决逆热传导问题，以确定未知的表面热流或表面温度。它将逆热传导问题转化为积分形式，并结合正则化策略以确保解的稳定性。由于能有效减小参数不确定性的影响并提高精度，该方法非常适合处理不适定问题。所提出的校准积分方程方法既可以采用单探针配置[24]，也可以采用双探针配置[25]。在单探针方案中，重建测试与校准测试之间的背面边界条件必须保持不变，这限制了其实际应用范围。而双探针方案则消除了对背面边界条件的限制。单探针[24]和双探针[25]方法的有效性已通过实验得到验证[26][27]。对于存在较大温度变化的情况，逆热传导问题的解决通常需要考虑由温度依赖的热物理性质引入的非线性效应。另有研究表明，有一种替代的校准积分方程方法，虽然需要热物理性质参数，但不需要知道探针的位置，这一方法已通过理论推导[28][29]并经过实验验证[30][31]。本研究的目的是建立一种完全“无需参数”的双探针校准技术，基于具有未知背面边界条件的非线性逆热传导问题，通过在不同深度嵌入两个热电偶来预测边界温度。此外，还提出了三种校准测试“c1”“c2”和“c3”，用于确定切比雪夫展开系数a0、a1、a2、…、aN。

章节节选：用于表面温度预测的双探针非线性校准积分方程方法的数学推导。图1展示了沿理想化的表面温度传感器以及两个位于内部的探针的一维热传导方程。为了便于分析，假设温度传感器位于x=0处，而两个热电偶分别位于厚度为L的板体中x=b和x=w的位置。为简化问题，假定表面温度是使用标准化的薄膜热电偶测量的。“TC1”“TF”和“TC2”代表三个热电偶，它们分别对应于……的净边界热流。

针对不适定问题的正则化策略及数值计算流程：为保持符号一致性，未来时间技术[24][40][41]以及用于在重建测试中计算转换后的正面表面温度的数值流程，用方程(7a)、(7b)、(7c)所示的简洁形式表示。这些方程可写为：∫?? K(t?u)u?r?udu = F(t)。其中F(t)和K(t?u)可表示为：F(t)=∫?? ?rbu∫???u ?c?wt?u?z ?c?(0z)??c?(wt?u?z)?c?(0z)dzdu ? ∫?? ?rwu∫???u ?c?bt?u?z ?c?(0z)??c?(bt?u?z)?c?(0z)dzdu，而K(t?u)=∫???u ?……

通过互相关分析和相平面分析确定最优未来时间参数：通过互相关分析以及表面温度及其变化率的相平面图，可以估算出最优的未来时间参数。相平面图是通过将离散化的边界温度变化率(dT/dt)与边界温度T相对应来构建的。边界温度T的互相关系数可按以下公式计算[42][43][44]：RTTr,γmTr,γm+1=∑?=???? SmfTr,γm?tiTr,γm+1?ti∑?=???? SmfTr,γm?ti2∑?=???? SmfTr,γm+1?ti2，其中i=1,2,3,…,M??Sm；m=s,s+1,…

反演过程的数值结果获取：通过在重建测试和校准测试中施加辅助边界条件和初始条件，对非线性热方程进行模拟，从而获得用于反演分析的人工数据。这种模拟分析可生成内部探针的数据。本次模拟分析所选的宿主材料为304不锈钢，其温度相关的物理性质[45]以及模拟分析中使用的几何参数见表2。图2(a-c)为……

讨论：研究结果表明，当热物理性质随温度变化时，所提出的非线性双探针校准积分方程方法非常适合用于逆热传导分析。通过考虑材料的非线性行为，该模型能比传统的线性方法更准确地预测正面表面温度。五阶切比雪夫展开得到的系数具有一致性，且残差项之间也较为接近，这说明该阶数能够有效描述实际情况。

结论：本研究开发了一种非线性双探针校准积分方程方法，并通过数值仿真对其进行了验证，该方法可用于解决需要高精度表面温度重建的非线性逆热传导问题。第二个探针消除了在校准测试和重建测试之间匹配背面条件的需求，同时通过变换技术实现了问题的线性化。该非线性双探针校准积分方程方法是基于包含未知变换函数的线性化热方程发展而来的。

作者贡献说明：Hongchu Chen负责文章的撰写、审阅与编辑工作，以及概念构思与总体监督；Muhammad Naveed Khan负责原始稿件的撰写、软件应用、方法设计以及数据整理工作。

利益冲突声明：本文的发表不存在任何利益冲突。

致谢：本研究得到了中国国家自然科学基金（项目编号12402394）的支持。

Hongchu Chen | Muhammad Naveed Khan