基于解码转发中继通信信道的弹性执行器故障估计：一种递归方法

《Journal of the Franklin Institute》：Resilient Actuator Fault Estimation Subject to Decode-and-Forward Relay Communication Channels: A Recursive Method

　　摘要：本文研究在中继辅助通信通道出现控制效果损失时，离散时间变化系统的故障估计问题。在中继辅助通信的作用下，系统与远程故障估计器之间的信号传输需通过三种通信过程实现，即传感器到估计器、传感器到中继以及中继到估计器的通信。为便于数字通信，这三种通信过程分别采用不同的编码器与解码器组，而由于信道噪声的影响，可能会出现比特翻转现象。本文使用三个服从伯努利分布的随机变量来描述此类比特翻转的发生情况。为减轻比特翻转带来的不良影响，本文提出了一种新型的解码转发中继技术，通过精心设计的机制来确定转发信号。同时提出了两个耦合差分方程来界定相应估计误差协方差的上下界，进而通过最小化该上界来计算理想的估计器增益矩阵。最后通过一个数值示例验证了所提中继技术与故障估计方案的有效性。

1. 引言
数十年来，得益于基于网络的通信优势，网络化系统在工业领域得到了广泛应用[1][2][3]。与传统点对点通信不同，基于网络的通信是通过共享信道来传输数据。这种通信方式显著降低了布线成本并简化了安装流程，但同时也不可避免地影响了信号的传输特性，从而产生了所谓的网络诱导效应。这些网络诱导效应对网络化系统的分析与设计带来了新的挑战[4][5][6][7][8][9][10]。因此，越来越多的研究致力于解决受网络诱导效应影响的控制与状态估计问题。作为状态估计问题的重要延伸，故障估计也因其能够准确描述故障的幅度与形态而备受关注，已成为信号处理与控制领域的关键研究课题[11]。目前，已有许多基于各种先进状态估计器或观测器的典型故障估计方案被开发出来，如自适应状态估计器[12]、滑模状态估计器[13]以及描述符观测器[14]等。

对于典型的动态系统，根据故障发生的位置，其所面临的故障大致可分为传感器故障[15]和执行器故障两大类。传感器故障会严重影响传感器的测量精度，导致测量结果出现一定程度的失真；而执行器故障则会导致“错误”的控制输入，进而影响系统的控制性能。相较于传感器故障，执行器故障的估计难度要大得多。这是因为故障估计是基于现有的测量结果来进行的，而执行器故障与测量结果之间的关系往往并不明显。一般来说，执行器故障可分为偏差故障和控制效果丧失两类[16]。前者通常表现为执行器的某种偏差，已有不少研究致力于在统一框架下同时估计系统状态与执行器偏差[17][18][19]；后者则表现为执行器参数的异常变化。当这类故障发生时，执行器将无法准确输出所需的控制信号，进而威胁闭环系统的稳定性。目前，在解决执行器控制效果丧失问题上已取得了显著进展，出现了多项代表性研究。例如[20]中探讨了在存在执行器控制效果丧失可能的复杂网络中的抗故障估计问题。

在各种网络诱导效应中，信号量化是最基本的现象之一[21]。利用量化技术可以在通信容量有限的情况下提升信息传输效率[22]。具体而言，它通过将信号转换为由有限比特数表示的离散值，能够在带宽受限的情况下实现数据包的高效压缩，从而支持更高的采样率或更多的网络节点。总体而言，量化模型可分为确定性模型[23][24]和概率模型[22]两类。确定性模型会产生未知但有界的量化误差，从而导致量化信号出现偏差；而概率模型则将量化信号的各分量视为随机变量，其期望值与原始信号的真正值相符，因而能够保证信号的无偏性。近年来，结合概率量化的网络系统远程估计已成为工业领域的前沿研究方向。例如[25]中就提出了一种用于远程状态估计的概率量化方案。

在通信网络的信号传输过程中，需要通过二进制编码方案将待传输的信号转换为特定的二进制串。这种信号转换通常在信号量化之后进行[26]。值得注意的是，大多数关于二进制编码方案的研究都假设量化数据能够准确传输，忽略了实际信道中噪声带来的通信误差。但在大多数实际应用中，这一假设并不成立。由于信道噪声的存在，信号在传输过程中会频繁出现比特翻转现象，其发生的概率可由交叉概率来描述，从而导致传输信号失真。这种现象被称为比特翻转。目前，已有不少研究针对存在比特翻转现象的各种系统进行了二进制编码方案的研究[8][25][26][27][28][29][30]。例如[8]中就针对带有二进制编码方案的离散时间变化系统，研究了分布式递归故障估计问题；而[25]则针对具备能量收集技术的网络系统研究了状态估计问题。

无线通信是许多实际网络系统中常用的通信方式。无线通信的传输性能在很大程度上取决于通信容量和传输距离。因此，如何确保长距离无线通信的可靠性是信号处理领域的一个关键问题。中继技术是一种提升长距离无线通信可靠性的有效手段。目前大多数中继协议为放大转发型[31]和解码转发型[32]。与放大转发型中继协议相比，解码转发型中继避免了放大接收信号中的噪声，从而防止了传输信号的失真[33]。迄今为止，已有部分研究从信息论的角度对解码转发型中继进行了探讨（参见[32][34][35][36][37]及其中的参考文献）。

从信号传输的角度来看，采用解码转发型中继协议会进一步增加信号传输的复杂性。对于具有解码转发型中继通信通道的状态估计问题，解码转发型中继技术所带来的复杂性会显著影响估计性能[33][38][39]。因此，研究人员深入探讨了各类估计器的设计方法，以应对这一复杂性。例如[33]中系统研究了解码转发型中继协议对网络性能的影响。然而，受中继引入的复杂性影响的故障估计问题至今尚未得到足够多的研究关注，更不用说考虑二进制编码方案的问题了，这也成为了本文研究的动机之一。

基于上述讨论，本文研究了一类离散时间变化系统在存在比特翻转误差时的抗故障递归滤波问题，并采用一种新型解码转发型中继协议来抑制此类误差。在同时考虑解码转发型中继和二进制编码方案的前提下，本文面临以下两个挑战：（1）如何在存在比特翻转误差和量化误差的情况下设计解码转发型中继方案？（2）如何在存在比特误差的中继辅助通信环境中设计故障估计器？为解决这些挑战，本文的主要贡献如下：（1）研究了一种新型解码转发型中继技术，用以减轻比特误差和量化误差对信号传输的影响；（2）设计了一种能够综合考虑执行器故障、比特误差以及解码转发型中继技术影响的抗故障估计器。

本文的其余结构如下：第2节介绍系统模型、包含解码转发型中继与二进制编码方案的无线通信机制以及估计器的构建方法；第3节进行性能分析并设计估计器增益；第4节通过仿真示例验证所提算法的有效性；第5节给出结论。

符号说明：除特别说明外，本文所用的符号均为常规符号。Rn和Rn×m分别表示n维欧几里得空间以及所有n×m实矩阵的集合。符号X≥Y（X>Y）表示X和Y为实对称矩阵时，X?Y为半正定（或正定）矩阵。AT表示矩阵A的转置。矩阵A的最大特征值和最小特征值分别记为λmax{A}和λmin{A}。tr{A}表示矩阵A的迹。I为与之维度相匹配的单位矩阵。‖A‖表示矩阵的谱范数，‖a‖表示向量a的欧几里得范数。diag{?}表示块对角矩阵。Pr{·}表示事件·发生的概率。I表示所有元素均为1的向量。

2. 问题建模

2.1 具有执行器故障的系统模型
本文主要研究存在执行器故障的离散时间变化系统，其模型如下：
(1) {xt+1 = Atxt + BtΥtut + ωtyt = Ctxt + νt}
其中xt∈Rn表示状态向量，yt∈Rm表示测量输出，ut?[u1,t,u2,t?,ul,t]T∈Rl表示控制输入。ωt和νt分别表示过程噪声和测量噪声。At、Bt和Ct为已知矩阵，其维度与系统动力学相匹配。Υt?diag{γ1,t,?,γl,t}为表征控制效果可能丧失的参数，其中每个元素的取值满足0≤γi,t≤1。

为描述执行器故障的动态特性，首先定义执行器故障向量γt[0]?γt=[γ1,t,γ2,t?,γl,t]T，其一阶差分定义为γt[1]?γt+1[0]?γt[0]。参照[20]中的方法，γt的演变规律由下式描述：
(2) γt+1[1] = γt[1] + λt
其中λt为均值为零、协方差为Λt的随机偏差故障。假设λt、ωt和νt之间相互独立。

初始状态x0、过程噪声ωt和测量噪声νt也相互独立，它们的统计特性如下：
E{x0} = x￣0，E{(xt?x￣0)(xt?x￣0)T} = P0|0，E{ωt} = 0，E{ωtωjT} = Wtδtj，E{νt} = 0，E{νtνjT} = Vtδtj
其中δtj为克罗内克δ函数，定义为：δtj={1,if t=j,0,if t≠j}。

为便于后续的故障估计，定义扩展状态向量xˉt?[xtTγtT(γt[1])T]T，该向量包含了式(1)至式(2)所描述的动态特性。此时系统可改写为如下扩展形式：
(3) {xˉt+1 = Aˉtxˉt + ωˉtyt = Cˉtxˉt + νt}
其中Ut?diag{u1,t,?,ul,t}，Aˉt?[AtBtUt00II00I]，Cˉt?[Ct00]，ωˉt?[ωtT0λtT]T。

值得注意的是，扩展后的过程噪声ωˉt为均值为零的随机向量，其协方差矩阵定义为E{ωˉtωˉtT}?Wˉt?diag{Wt,0,Λt}。

备注1：本文研究的是一类存在执行器控制效果丧失的离散时间变化系统的故障估计问题。所提出的方法基于式(2)中的故障模型，该模型在假设故障的二阶差分为分段零的条件下，能够描述包括突变故障和渐变故障在内的多种故障类型[20]。该模型可作为基础模型，通过结合关于故障行为的先验知识进行推广。具体而言，通过对故障的高阶差分做出假设，可以更准确地描述故障的动态特性，从而更好地反映实际工程场景。

2.2 结合解码转发型中继与二进制编码方案的信号传输
在实际情况中，长距离无线通信不可避免地会遭受信号衰减的影响，从而导致传输性能严重下降。中继辅助通信可以通过将长距离传输链路分割为多个短路径来有效解决这一问题。本文考虑了一种中继辅助的无线信号传输架构，如图1所示。从传感器到远程估计器的整体通信过程由三条并行路径组成：传感器到中继、中继到估计器以及直接的传感器到估计器传输[40]。为了实现中继辅助的数据传输，本文采用了在[40]中已研究过的二进制编码方案（BES），同时运用解码转发型（DF）协议来设计中继策略。

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图1. 结合解码转发型（DF）中继与二进制编码方案（BES）的估计方案示意图。

原始测量输出yt首先通过二进制编码器被编码为有限长度的二进制序列，随后通过二进制对称信道（BSCs）进行传输。具体而言，会采用概率量化器Qt:yi,t→?1,t对测量值进行预处理，其中yi,t为测量值yt的第i个分量。假设在时刻t时，yi,t的取值范围为[?Mi,Mi]。该量化函数的表达式为?1,t=Q(yt)?[Q1(y1,t)Q2(y2,t)?Qm(ym,t)]T。为便于二进制传输，每个yi,t会被转换为长度为L的二进制序列。定义δi?2Mi/(2L?1)。当lδi≤Qi(yi,t)≤(l+1)δi，且l=?Qi(yi,t)/δi?时，量化器的输出以概率形式确定，即：{Pr{Qi(yi,t)=lδi}=1?αi,t，Pr{Qi(yi,t)=(l+1)δi}=αi,t，其中αi,t=(yi,t?lδi)/δi，且0?≤?αi,t?ηt，其中Q(Cˉtzt)=Cˉtzt+f2,t，y?t表示中继节点的输出，f2,t=Q(Cˉtzt)?Cˉtzt则表示额外的量化误差。内部中继状态zt则通过以下方式更新：(5)zt={zt?+Lt(yˉt?Cˉtzt?)，若∥Cˉtzt??yˉt∥≤ηt；zt?，若∥Cˉtzt??yˉt∥>ηt。此处Lt为后续需设计的估计器增益矩阵。备注3：中继信号y?t由内部中继状态zt决定。当∥Cˉtzt??yˉt∥<ηt时，比特翻转干扰可以忽略，此时中继节点会直接将重构后的测量值yˉt转发给远程估计器。而当∥cˉtzt??yˉt∥≥ηt时，接收到的信号会因比特翻转而严重失真，此时中继节点会放弃这些损坏的数据，转而发送预测值cˉtzt?。备注4：本文采用了解码转发（df）协议来实现中继辅助传输。与简单地将带有信道噪声的接收信号直接转发的放大转发（af）协议不同，df协议会在转发之前对接收信号进行解码和重新编码，从而有效防止噪声在中继路径上的累积和传播。这一特性使得df协议特别适用于本研究中所考虑的数字通信框架，因为在该框架中采用了二进制编码和解码，且传输过程中可能会出现比特翻转错误。此外，由于中继节点转发的是已解码的符号而非带噪声的模拟信号，远程估计器无需进行额外的模数转换即可直接使用重构得到的测量值。我们定义?t作为df中继节点的模式选择指标：(6)?t={1，若∥cˉtzt??yˉt∥≤ηt；0，若∥cˉtzt??yˉt∥>ηt。内部状态zt可表示为：(7)zt=?tz1,t+(1??t)zt?，其中z1,t=zt?+Lt(yˉt?Cˉtzt?)。同时，中继节点的输出可重新表述为：(8)y?t=?tyˉt+(1??t)Q(Cˉtzt)。中继节点的输出y?t会再次被编码为二进制序列：B(y?t)=D2,t?{D2,t1D2,t2?D2,tm}，其中D2,tj?{ξ1,tjξ2,tj?ξL,tj}，ξi,tj?mod(?(y?j,t+Mj)/2i?,2)∈{0,1}，y?j,t表示y?t的第j个元素。同样，在中继节点到估计器的传输链路中也存在比特翻转现象，估计器接收到的则是带有噪声的序列Dˉ2,t：Dˉ2,t?{Dˉ2,t1Dˉ2,t2?Dˉ2,tm}，其中Dˉ2,tj?{ξˉ1,tjξˉ2,tj?ξˉL,tj}，ξˉi,tj∈{0,1}。此处，ξˉi,tj=μ?i,t(1?ξi,tj)+(1?μ?i,t)ξi,tj，而该链路上的比特翻转概率为Pr{μ?i,t=1}=p2。估计器会将Dˉ2,t解码为b2,t?[b2,t1b2,t2?b2,tm]T，其中b2,tj=?Mj+∑i=1Lξˉi,tj2i?1δj。最终从中继路径获得的重构测量值为：(9)gt=11?2p2b2,t=y?t+ρ2,t，其中ρ2,t?gt?y?t，表示中继节点到估计器传输过程中因比特翻转而产生的误差。此外，原始的二进制序列D1,t会直接通过带有比特翻转概率p3的无记忆双工信道从传感器传输给估计器。估计器接收到的序列为Dˉ3,t：Dˉ3,t?{Dˉ3,t1Dˉ3,t2?Dˉ3,tm}，其中Dˉ3,tj?{??1,tj??2,tj???L,tj}，??i,tj∈{0,1}，此处??i,tj=μ^i,t(1??i,tj)+(1?μ^i,t)?i,tj，且Pr{μ^i,t=1}=p3。通过将Dˉ3,t解码为b3,t?[b3,t1b3,t2?b3,tm]T，其中b3,tj=?Mj+∑i=1L??i,tj2i?1δj，即可得到直接传输的信号：(10)st=11?2p3b3,t=yt+ρ3,t+f1,t，其中ρ3,t?st??1,t，表示传感器直接到估计器传输过程中的比特翻转误差。最终，远程估计器会将来自两条路径的信号进行融合：(11)dt=[gtTstT]T。备注5：在中继辅助传输技术中，这是一种常用的方法，可用于提升协作通信的质量并扩展无线传输的距离。在该框架下，远程估计器会整合中继节点转发的数据以及传感器直接测量的数据，从而充分利用多路径信息的多样性。由于比特翻转发生的概率较低，所设计的DF中继方案能够有效抑制由此带来的误差。具体而言，如果直接传输链路和中继链路同时出现比特错误，精心设计的中继策略可以有效减少数据损坏，从而保持估计精度；而仅当中继链路出现错误时，直接传输的信号可以弥补失真，进一步提升整体估计性能。2.3 滤波器结构为减少因设备分辨率有限和固定字长所带来的计算误差，我们设计了如下结构的稳健估计器：(12)x^t+1|t=Aˉtx^t|t，(13)x^t+1|t+1=x^t+1|t+(Kt+1+Δt+1)(dt+1?I2Cˉt+1x^t+1|t)，其中I2=[II]，x^t|t∈Rn+2l为xˉt的估计值。初始条件设置为x^0|0=[xˉ0TIT0]T。此外，x^t+1|t∈Rn+2l表示一步预测后的状态，Kt+1则为需设计的估计器增益。Δt+1用于描述增益实现过程中出现的计算和实现偏差。该偏差项满足E{Δt}=0且E{ΔtΔtT}≤δtI，其中δt为已知的正标量。备注6：本文研究的是在存在执行器性能下降和比特错误的离散时间变系统下的中继辅助通信问题。由于执行器故障难以直接检测，因此采用增强状态策略来实现状态估计与故障检测的同步进行。在后续章节中，将详细阐述与DF中继协议相关的阈值ηt。此外，由于存在参数偏差，精确计算估计误差协方差Pt+1|t+1是一项复杂任务。为解决这一问题，我们首先给出误差协方差的上下界，再通过优化算法进一步改进该上界。3. 主要结果本节给出了一步预测误差协方差和估计误差协方差的上下界。随后，通过矩阵运算设计估计器增益，以最小化上述上界的迹值。在进入本节主要内容之前，先介绍以下几个引理。引理1[41]：设pi? (i=1,2,3)分别表示传感器到中继节点通信、中继节点到估计器通信以及传感器直接到估计器通信过程中的比特错误率。这些错误率彼此独立且无关联。因此，相应的比特翻转误差ρi,t? (i=1,2,3)也相互独立，其统计特性可表示为：(14)E{ρi,t}=0，E{ρi,tρi,tT}?Ψi,t?pi(1?pi)(1?2pi)24(22L?1)3(2L?1)2×diag{M12,M22,?,Mm2}。引理2[31]：对于任意两个向量x,y∈Rn，只要ε?>?0为常数，就有以下不等式成立：xyT+yxT≤εxxT+ε?1yyT，其中ε?>?0为常数。引理3[42]：量化误差fi,tj (i=1,2)满足E{fi,tj|yi,t}=0，E{(fi,tj)2|yi,t}≤0.25δj。因此，将fi,t表示为fi,t?[f1,t1f1,t2?f1,tm]T后，可得出E{fi,t|yt}=0，E{fi,tfi,tT|yt}?Fi,t≤Fˉi,t，其中Fˉi,t?14diag{δ1,?,δm}。备注7：需要指出的是，即使在存在比特翻转误差的情况下，所提出的滤波器依然保持无偏性。这一结论可直接从引理1和引理3中得出，因为这两个引理表明比特翻转误差ρi,t和量化误差fi,t均为零均值，因此不会在估计过程中引入任何偏差。根据引理3可知，E{f1,t|yt}=0，进而可推出E{f1,tνtT}=0。同时，通过公式(5)中的递推关系展开zt??xˉt，可证明E{(zt??xˉt)f1,tT}=0。同理，由于ωt和νt相互独立，因此E{(zt??xˉt)νtT}=0。由此可见，Cˉt(zt??xˉt)、f1,t和νt都是相互独立且均值为零的随机变量。引理4：一步预测误差协方差Qt??E{(zt??xˉt)(zt??xˉt)T}满足以下方程：(15)Qt?=Aˉt?1Qt?1Aˉt?1T+Wˉt?1。内部状态估计误差协方差Qt?E{(zt?xˉt)(zt?xˉt)T}的递推关系为：(16)Qt={Qt?，若?t=1；Q1,t，若?t=0，其中Q1,t?E{(z1,t?xˉt)(z1,t?xˉt)T}=(I?LtCˉt)Qt?(I?LtCˉt)T+Lt(Vt+Ψ1,t+F1,t)LtT。此外，内部状态估计误差协方差还可表示为Qt=?tQ1,t+(1??t)Qt?，初始条件为Q0=P0|0。证明：根据一步预测误差协差的定义，有Qt?=E{(zt??xˉt)(zt??xˉt)T}=Aˉt?1Qt?1Aˉt?1T+Wˉt?1。根据公式(5)，当接收到的信号满足∥Cˉtzt??yˉt∥>ηt时，内部状态估计误差协方差可简化为Qt=Qt?。而当∥Cˉtzt??yˉt∥≤ηt时，内部状态会更新为zt=z1,t=zt?+Lt(yˉt?Cˉtzt?)。将这一结果代入误差定义后可得：zt?xˉt=(I?LtCˉt)(zt??xˉt)+Lt(νt+ρ1,t+f1,t)。进而可推导出误差协方差Qt的表达式：Qt=(I?LtCˉt)Qt?(I?LtCˉt)T+Lt(Vt+Ψ1,t+F1,t)LtT。利用公式(6)，可将内部状态估计误差协方差表示为Qt=?tQ1,t+(1??t)Qt?。至此证明完毕。引理5：考虑由公式(16)给出的状态估计误差协方差。定义Q?1,t为Q1,t的上界，它满足以下差分方程：(17)Q?1,t?(I?LtCˉt)Q?t?(I?LtCˉt)T+Lt(Vt+Ψ1,t+Fˉ1,t)LtT，其中Q?t?=Aˉt?1Q?t?1Aˉt?1T+Wˉt?1，且Q?t=?tQ?1,t+(1??t)Q?t?，初始条件为Q?0=P0|0。对于估计器增益Lt，其表达式为(18)Lt=GtTYt?1，其中Gt=CˉtQ?t?，Yt=Vt+Ψ1,t+Fˉ1,t+CˉtQ?t?CˉtT。因此，对于所有t?≥?0，矩阵Q?1,t均可作为Q1,t的上界，即Q1,t≤Q?1,t。证明：由于F1,t≤Fˉ1,t，将其代入公式(16)后可得：Q1,t≤(I?LtCˉt)Qt?(I?LtCˉt)T+Lt(Vt+Ψ1,t+Fˉ1,t)LtT。结合公式(16)和引理1，可通过归纳法证明对于所有t?≥?0，都有Qt≤Q?t成立。接下来，我们将探讨估计器增益Lt的设计方法。为最小化Q?t，需对公式(17)中迹值关于Lt求偏导，并令其等于零：?tr(Q?t)?Lt=?2(I?LtCˉt)Qt?+2Lt(Vt+Ψ1,t+Fˉ1,t)。求解该方程即可得到最优增益，其表达式为公式(18)。将公式(18)代入公式(17)后，可简化得到最小的Q?1,t表达式：Q?1,t=Q?t??Q?t?CˉtTYt?1CˉtQ?t?=((Q?t?)?1+CˉtT(Vt+Ψ1,t+Fˉ1,t)?1Cˉt)?1。证明至此结束。接下来，我们将详细介绍中继节点阈值ηt的设定方法。在本文所建立的递归滤波框架中，由于量化误差和比特翻转干扰的相互作用，状态的精确后验分布无法通过解析方法得出。因此，我们借鉴状态估计领域常用的工程简化方法，将远程估计器的状态xˉt?1近似为均值为zt?1、协方差为Qt?1的高斯分布。具体而言，当DF中继节点判断接收到的测量值yˉt不存在比特翻转错误时，其后验分布仍近似为高斯分布，此时可通过卡尔曼滤波递推公式计算出更新的均值zt和协方差Qt。而当接收到的信号被判定为有误时，中继节点会依赖预测状态zt?，并直接使用对应的预测协方差Qt?。另一方面，量化误差f1,t的精确分布是未知的，目前仅知道其条件期望E{f1,t|yt}=0以及其协方差的上界Fˉ1,t。为便于设定阈值，可将f1,t近似为均值为零的高斯分布。同时，测量噪声νt也是均值为零、协方差为Vt的高斯分布。因此，组合误差ψt?Cˉt(zt??xˉt)?f1,t?νt可近似为均值为零、方差为σt2?CˉtQt?CˉtT+Fˉ1,t+Vt的高斯分布。引理6：在不存在比特翻转的情况下，若将阈值设定为(19)ηt?2tr(CˉtQt?CˉtT+Fˉ1,t+Vt)，则在正常传输条件下，接收信号超过该阈值的概率小于0.05。证明：在上述高斯近似下，ψt～N(0,σt2)。根据正态分布的2σ原则，有Pr{?2σtηt，则说明该信号已因比特翻转而出现错误。引理7：考虑DF中继节点的阈值设定，其取值具有下界θˉt，该下界可表示为：(20)θˉt?∏i=1mqi≤θt，其中qi?∑a=1L+1qi,a。定义Va?{(ιa,1,ιa,2,?,ιa,a)|ηˇt?(2ιa,1δi+2ιa,2δi+?+2ιa,aδi)2>0}，则qi,a+1={0，若Va=?；Ξa+1，若Va≠?，其中qi,a+1=p1a(1?p1)L?a×∑ιa,1,…,ιa,a∈Va∫?ηˇt?(∑k=1a2ιa,kδi)2ηˇt?(∑k=1a2ιa,kδi)2Nσi,t(x)dx，且ηtˇ?ηt22m。证明：该证明通过列举传感器发送到中继节点的L位二进制流中所有可能的比特翻转次数来实现。为此，我们首先定义ψt?Cˉt(zt??xˉt)?f1,t?νt。触发条件∥Cˉtzt??yˉt∥≤ηt可改写为∥ψt?ρ1,t∥2≤ηt2。利用基本不等式∥a?b∥2≤2(∥a∥2+∥b∥2)，可得到充分条件2(ψtTψt+ρ1,tTρ1,t)≤ηt2。等价地，对于每个分量i，都有(ψti)2+(ρ1,ti)2≤ηˇt，其中ηˇt?ηt2/(2m)。因此，给定ρ1,ti的值时，ψti的取值范围为?ηˇt?(ρ1,ti)2≤ψti≤ηˇt?(ρ1,ti)2，前提是(ρ1,ti)2≤ηt；否则该条件无法满足。首先考虑传感器到中继节点的传输过程中不存在比特翻转的情况，即ρ1,t=0。此时ψti的取值范围为?ηˇt≤ψti≤ηˇt。由于ψti为方差为σi,t2的高斯随机变量，因此对应的概率为qi,1=(1?p1)L∫?ηˇtηˇtNσi,t(x)dx。而对于存在比特翻转的情况，ρ1,ti的值由L位二进制序列中的翻转模式决定。假设恰好有a位发生了翻转，且它们的位置分别为ιa,1,…,ιa,a，那么ρ1,ti的数值为∑k=1a2ιa,kδi。条件(ρ1,ti)2≤ηt等价于ηˇt?(∑k=1a2ιa,kδi)2>0。集合Va包含了所有满足该不等式的索引组合。对于给定的模式，该特定翻转模式的概率为p1a(1?p1)L?a，而ψti落在允许范围内的条件概率则是其高斯密度在相应区间上的积分。因此，恰好发生a次比特翻转的总概率qi,a+1为qi,a+1=p1a(1?p1)L?a×∑ιa,1,…,ιa,a∈Va∫?ηˇt?(∑k=1a2ιa,kδi)2ηˇt?(∑k=1a2ιa,kδi)2Nσi,t(x)dx，当Va=?时qi,a+1=0。由于ψt的m个分量与ρ1,t相互独立，整体触发概率满足Pr{∥Cˉtzt??yˉt∥≤ηt}≥∏i=1m∑a=0Lqi,a+1。定义qi?∑a=0Lqi,a+1，可得下界Pr{∥Cˉtzt??yˉt∥≤ηt}≥∏i=1mqi，从而完成证明。引理8：考虑由(16)式给出的内部状态估计误差协方差和一步预测误差协方差。Qt的上界Qˉt可通过以下差分方程计算：(21)Qˉt?θˉtQˉ1,t+(1?θˉt)Qˉt?，其中Qˉ1,t=Qˉt??Qˉt?CˉtTYt?1CˉtQˉt?Qˉt?=Aˉt?1Qˉt?1Aˉt?1T+Wˉt?1，初始条件为Qˉ0=P0|0。对于所有t?≥?0，Qˉt都是Qt的上界，即Qt≤Qˉt。证明：采用归纳法进行证明。初始时，Q0≤Qˉ0，因此Qt?1≤Qˉt?1成立。假设对于某个t?≥?1有Qt?1≤Qˉt?1，则需要证明Qt≤Qˉt。根据引理4和引理6，内部状态估计误差协方差可表示为：Qt=E{E{(zt?xˉt)(zt?xˉt)T|zt?}}=E{?t2(z1,t?xˉt)(z1,t?xˉt)T+(1??t)2(zt??xˉt)(zt??xˉt)T}=θtQ1,t+(1??t)Qt?≤θˉtQ1,t+(1??t)Qt?。将Qˉ1,t和Qˉt?的定义代入后，即可得到Qˉt?θˉtQˉ1,t+(1?θˉt)Qˉt?。至此证明完毕。注9：由于DF中继策略带来的复杂性，远程估计器处的精确误差协方差Qt难以求解。因此，我们利用概率事件∥Cˉtzt??yˉt∥≤ηt的下界θˉt来计算上界Qˉt。3.1 滤波器设计：将一步预测误差和估计误差分别定义为et+1|t=xˉt+1?x^t+1|t以及et+1|t+1=xˉt+1?x^t+1|t+1。根据方程(3)和(12)，一步预测误差可表示为：(22)et+1|t=Aˉtet|t+ωˉt。根据方程(3)到(13)，估计误差可推导为：(23)et+1|t+1=(I?Kt+1I2Cˉt+1)et+1|t?Kt+1(I2νt+1+I1rt+1+ft+1+ρt+1)?Δt+1(I1rt+1+I2Cˉt+1et+1|t+I2νt+1+ft+1+ρt+1)。其中I1=[I0]，ft+1=[f1,t+1f1,t+1]，ρt+1=[ρ1,t+1+ρ2,t+1ρ3,t+1]，rt+1=y?t+1?yˉt+1。定理1：对于由方程(3)描述的时变系统，一步预测误差协方差Pt+1|t和估计误差协方差Pt+1|t+1满足以下递推关系：(24)Pt+1|t=AˉtPt|tAˉtT+Wˉt，(25)Pt+1|t+1=(I?Kt+1I2Cˉt+1)Pt+1|t(I?Kt+1I2Cˉt+1)T+Kt+1(I1rt+1rt+1TI1T+I2Vt+1I2T+Ft+1+Ψt+1+L1,t+1+L1,t+1T+L2,t+1+L2,t+1T+L3,t+1+L3,t+1T)Kt+1T+Δt+1(I2Cˉt+1Pt+1|tCˉt+1TI2T+I2Vt+1I2T+Ft+1+Ψt+1+L1,t+1+L1,t+1T+L2,t+1+L2,t+1T+L3,t+1+L3,t+1T)Δt+1T+(I?Kt+1I2Cˉt+1)et+1|trt+1TI1TKt+1T+Kt+1I1rt+1et+1|tT(I?Kt+1I2Cˉt+1)T，其中Ψt+1=[Ψ1,t+1+Ψ2,t+1T00Ψ3,t+1T]，Fi,t+1=E{fi,t+1fi,t+1}，Ft+1=[F1,t+1F1,t+1F1,t+1F1,t+1]，L1,t+1=E{I1rt+1νt+1TI2T}，L2,t+1=E{I1rt+1ρt+1T}，L3,t+1=E{I1rt+1ft+1T}，L4,t+1=E{I1rt+1et+1|tTCˉt+1TI2T}。证明：根据(22)，一步预测误差协方差可表示为Pt+1|t=E{et+1|tet+1|tT}=E{(Aˉtet|t+ωˉt)(Aˉtet|t+ωˉt)T}=AˉtPt|tAˉtT+Wˉt，由此得到(24)。根据(23)，估计误差协方差可计算为Pt+1|t+1=E{et+1|t+1et+1|t+1T}=E{(I?Kt+1I2Cˉt+1)et+1|tet+1|tT(I?Kt+1I2Cˉt+1)T+A1,t+1+A2,t+1+B1,t+1+B1,t+1T+B2,t+1+B2,t+1T+B3,t+1+B3,t+1T}，其中E{A1,t+1}=Kt+1(I2νt+1+I1rt+1+ft+1+ρt+1)×(I2νt+1+I1rt+1+ft+1+ρt+1)TKt+1T，E{A2,t+1}=Δt+1(I2Cˉt+1et+1|t+I2νt+1+I1rt+1+ft+1+ρt+1)(I2Cˉt+1et+1|t+I2νt+1+I1rt+1+ft+1+ρt+1)TΔt+1T，E{B1,t+1}=(I?Kt+1I2Cˉt+1)et+1|t(I2νt+1+I1rt+1+ft+1+ρt+1)TKt+1T，E{B2,t+1}=(I?Kt+1I2Cˉt+1)et+1|t(I2νt+1+I2Cˉt+1et+1|t+I1rt+1+ft+1+ρt+1)TΔt+1T，E{B3,t+1}=Kt+1(I2νt+1+I1rt+1+ft+1+ρt+1)×(I2νt+1+I2Cˉt+1et+1|t+I1rt+1+ft+1+ρt+1)TΔt+1T。通过利用协方差和交叉协方差的定义展开A1,t+1、A2,t+1和B1,t+1，可得A1,t+1=Kt+1(I2Vt+1I2T+I1rt+1rt+1TI1T+Ft+1+Ψt+1+L1,t+1+L1,t+1T+L2,t+1+L2,t+1T+L3,t+1+L3,t+1T)Kt+1T，A2,t+1=Δt+1(I1rt+1rt+1TI1T+I2Cˉt+1Pt+1|tCˉt+1TI2T+I2Vt+1I2T+Ft+1+Ψt+1+L1,t+1+L1,t+1T+L2,t+1+L2,t+1T+L3,t+1+L3,t+1T+L4,t+1+L4,t+1T)Δt+1T，B1,t+1=(I?Kt+1I2Cˉt+1)et+1|trt+1TI1TKt+1T。显然，B2,t+1=B3,t+1=0。将这些展开式代入Pt+1|t+1的表达式中，即可得到(25)。对于y?t+1=Cˉt+1zt+1+f2,t+1的情况，对应的协方差P1,t+1|t+1可通过将rt+1rt+1T替换为(Cˉt+1Aˉtzt?yˉt+1)(Cˉt+1Aˉtzt?yˉt+1)T并加上量化项F2,t+1来得到。对于y?t+1=yˉt+1的情况，协方差P2,t+1|t+1可简化为P2,t+1|t+1=(I?Kt+1I2Cˉt+1)Pt+1|t(I?Kt+1I2Cˉt+1)T+Kt+1(I2Vt+1I2T+Ft+1+Ψt+1)Kt+1T+Δt+1(I2Cˉt+1Pt+1|tCˉt+1TI2T+I2Vt+1I2T+Ft+1+Ψt+1)Δt+1T。至此证明完毕。注10：由于存在未知项Δt+1，无法直接得到精确的估计误差协方差Pt+1|t+1，从而无法设计估计器增益Kt+1。因此，我们先导出Pˉt+1|t+1的上界，再通过选择合适的Kt+1来使其最小化。定理2：设给定正标量ε1、ε2、ε3、ε4、ε5。一步预测误差协方差Pt+1|t和估计误差协方差Pt+1|t+1分别存在上界Pˉt+1|t和Pˉt+1|t+1，其表达式为：(26)Pˉt+1|t=AˉtPˉt|tAˉtT+Wˉt，(27)Pˉt+1|t+1=?1(I?Kt+1I2Cˉt+1)Pˉt+1|t×(I?Kt+1I2Cˉt+1)T+Kt+1(?2I1(Cˉt+1Qˉt+1Cˉt+1T+Vt+1+Ψ1,t+1+Fˉ1,t+1+Fˉ2,t+1)I1T+?3I2Vt+1I2T+?4Ψt+1+?5Fˉt+1)Kt+1T+δt+1λmax(?6I2Cˉt+1Pˉt+1|tCˉt+1TI2T+?7I1(Cˉt+1Qˉt+1Cˉt+1T+Vt+1+Ψ1,t+1+Fˉ1,t+1+Fˉ2,t+1)I1T+?3I2Vt+1I2T+?4Ψt+1+?5Fˉt+1)I，其中?1=1+ε5，?2=1+ε1+ε2+ε3+ε5?1，?3=1+ε1?1，?4=1+ε2?1，?5=1+ε3?1，?6=1+ε4，?7=1+ε1+ε2+ε3+ε4?1，λmax(?·?)表示矩阵a的最大特征值。初始条件为Pˉ0|0=P0|0，Pˉt|t是Pt|t的上界。此外，能在每个时间步最小化Pˉt+1|t+1的估计器增益为：(28)Kt+1=?1Pˉt+1|tCˉt+1TI2TΣt+1?1，其中Σt+1??1I2Cˉt+1Pˉt+1|tCˉt+1TI2T?2I1(Cˉt+1Qˉt+1Cˉt+1T+Vt+1+Ψ1,t+1+Fˉ1,t+1+Fˉ2,t+1)I1T+?3I2Vt+1I2T+?4Ψt+1+?5Fˉt+1。证明：采用归纳法进行证明。初始时，Pˉ0|0=P0|0，故P0|0≤Pˉ0|0成立。假设对于某个t?≥?0有Pt|t≤Pˉt|t，则需要证明Pt+1|t+1≤Pˉt+1|t+1。由Pt|t≤Pˉt|t以及归纳假设可知：Pt+1|t=AˉkPt|tAˉtT+Wˉt≤AˉtPˉt|tAˉtT+Wˉt=Pˉt+1|t。根据引理8，rt+1rt+1T满足：rt+1rt+1T=Cˉt+1Qt+1Cˉt+1T+Vt+1+Ψ1,t+1+F1,t+1+F2,t+1≤Cˉt+1Qˉt+1Cˉt+1T+Vt+1+Ψ1,t+1+F1,t+1+F2,t+1。利用引理2，交叉协方差项可被限定为：E{L1,t+1+L1,t+1T}≤ε1I1rt+1rt+1TI1T+ε1?1I2Vt+1I2，E{L2,t+1+L2,t+1T}≤ε2I1rt+1rt+1TI1T+ε2?1Ψt+1，E{L3,t+1+L3,t+1T}≤ε3I1rt+1rt+1TI1T+ε3?1Fˉt+1，E{L4,t+1+L4,t+1T}≤ε4I1rt+1rt+1TI1T,+ε4?1I2Cˉt+1Pt+1|tCˉt+1TI2T。此外，还可轻易得出(I?Kt+1I2Cˉt+1)et+1|trt+1TI1TKt+1T+Kt+1I1rt+1et+1|tT(I?Kt+1I2Cˉt+1)T≤ε5(I?Kt+1I2Cˉt+1)Pt+1|t(I?Kt+1I2Cˉt+1)T+ε5?1Kt+1I1rt+1rt+1TI1TKt+1T。将这些界限代入(25)式，并利用E{ΔtΔtT}≤δtI，可得：Pˉt+1|t+1=?1(I?Kt+1I2Cˉt+1)Pˉt+1|t(I?Kt+1I2Cˉt+1)T+Kt+1(?2I1(Cˉt+1Qˉt+1Cˉt+1T+Vt+1+Ψ1,t+1+Fˉ1,t+1+Fˉ2,t+1)I1T+?3I2Vt+1I2T+?4Ψt+1+?5Fˉt+1)Kt+1T+δt+1λmax(?6I2Cˉt+1Pˉt+1|tCˉt+1TI2T+?7I1(Cˉt+1Qˉt+1Cˉt+1T+Vt+1+Ψ1,t+1+Fˉ1,t+1+Fˉ2,t+1)I1T+?3I2Vt+1I2T+?4Ψt+1+?5Fˉt+1)I。为最小化Pˉt+1|t+1，需对tr(Pˉt+1|t+1)关于Kt+1求偏导并令其为零：?tr(Pˉt+1|t+1)?Kt+1=?2?1(I?Kt+1I2Cˉt+1)Pˉt+1|tCˉt+1TI2T+2Kt+1{?2I1(Cˉt+1Qˉt+1Cˉt+1T+Vt+1+Ψ1,t+1+Fˉ1,t+1+Fˉ2,t+1)I1T+?2I1Fˉ2,t+1I1T+?3I2Vt+1I2T+?4Ψt+1+?5Fˉt+1}=0。解此方程即可得到最优的估计器增益，如(28)式所示。当Kt+1满足(28)式时，显然Pˉt+1|t+1达到最小值，其表达式为：Pˉt+1|t+1=?1Pˉt+1|t??1Pˉt+1|tCˉt+1TΣt+1?1Cˉt+1Pˉt+1|t+δt+1λmax(?6I2Cˉt+1Pt+1|tCˉt+1TI2T+?7I1(Cˉt+1Qˉt+1Cˉt+1T+Vt+1+Ψ1,t+1+Fˉ1,t+1+Fˉ2,t+1)I1T+?3I2Vt+1I2T+?4Ψt+1+?5Fˉt+1)I。至此证明完毕。注11：定理2给出了预测误差协方差和估计误差协方差上界的递推形式。由于存在量化误差、DF中继估计误差以及时变估计器增益，精确的估计误差协方差难以求解。因此，通过这些未知项的上界来推导预测误差协方差和估计误差协方差的上界。此外，通过在每个采样时刻最小化估计误差协方差的上界，即可得到最优的估计器增益Kt+1。4. 仿真为了验证所提出的故障估计算法的有效性，我们基于[20]中描述的三容器系统配置进行了大量仿真。如[20]中所定义，两个泵独立地向容器T1和T2供液，从而导致液位在平衡点附近出现周期性波动。具体而言，在平衡点附近，T1和T2中的液位会周期性振荡，而T3中的液位则基本保持恒定。相应地，该离散时变系统的参数如下：At=[0.990800.009100.98560.00720.00910.00720.9836]+sin(t/10)×[00000?0.0001000.0001]，Bt=[2.66270.00070.00073.49080.29780.2358]+sin(t/10)×[000?0.00010?0.0003]，Ct=[100010]。参数At和Bt的时变特性源于实际三容器系统中液位的周期性变化。高斯分布ωt和νt的协方差均设为0.04I。假设Δt=[Δˉt0]T，其中Δˉt在[?0.01,0.01]区间内服从均匀分布，δt=1×10?4。初始状态向量[x1,0x2,0x3,0]T在[6,7]、[5,6]和[4,5]范围内分别服从均匀分布。对于BES，其参数取为L=6，δ=0.3。传输过程中的比特翻转概率分别为p1=0.01、p2=0.01和p3=0.02。控制输入为一个常数向量[0.020.02]T。还考虑了斜坡型执行器效率损失，其表达式为：Υt={diag{1,1},t≤20diag{1?t?2050,1},otherwise。图2展示了三容器系统的真实状态及其估计值。可以看出，尽管存在系统参数的时变性、随机噪声以及中继辅助通信通道引入的比特翻转错误，所设计的估计器仍能在整个仿真过程中紧密跟踪真实状态。估计误差始终保持在较低水平，这充分证明了所开发的状态估计算法具有较高的精度和快速的收敛速度。下载：下载高分辨率图像（159KB）下载：下载完整尺寸图像图2. 状态xt及其估计值。图3展示了该算法在识别时变执行器故障方面的性能。可以看出，即使在故障演变的瞬态阶段，估计得到的故障曲线也能准确跟随实际故障曲线的走势。这一结果表明，所设计的估计器能够有效捕捉执行器故障的动态特征，即便在通信约束较为严重的情况下依然如此。图4显示了实际的估计误差协方差及其理论上的上界。可以发现，在整个仿真过程中，实际误差协方差始终严格低于理论上的上界，这进一步证明了所设计的鲁棒估计器确实能够满足误差协方差的性能要求。下载：下载高分辨率图像（104KB）下载：下载完整尺寸图像图3. 斜坡故障及其估计值。下载：下载高分辨率图像（79KB）下载：下载完整尺寸图像图4. 估计误差及其上界。为了研究编码长度L对估计精度的影响，图5展示了不同编码长度L（从L=2到L=6）下估计误差协方差的变化情况。可以看出，对于所有的L值，由于中继辅助通信过程中不确定性的累积，误差协方差都会随时间上升。不过，较大的编码长度L能够显著降低整个仿真过程中的估计误差。这说明增加编码长度虽然会提升通信带宽的需求，但能有效减少量化误差，进而提高估计精度。在实际应用中，需要权衡这一利弊。下载：下载高分辨率图像（168KB）下载：下载完整尺寸图像图5. 不同编码长度L下的估计精度比较。5. 结论在本文中，我们研究了在存在控制效果衰减的条件下，离散时变系统的故障估计算题。我们将植物节点与远程故障估计器之间的通信过程划分为三个阶段：传感器到估计器、传感器到中继以及中继到估计器。在这三个通信环节中，分别采用了不同的编码器和解码器来实现数据的数字化传输。传输过程中可能出现的比特翻转现象，通过三个服从伯努利分布的随机变量来建模。此外，我们还提出了一种新的DF中继技术，通过精心设计的机制来减轻比特翻转带来的不良影响。同时，针对系统随机特性、比特翻转误差以及DF中继机制共同带来的影响，我们设计了一种高效的故障估计算法。通过优化估计器增益矩阵，使得估计误差协方差的上界达到最小。最后，通过具体的仿真案例验证了所提算法的有效性。在后续研究中，我们还将把目前的估计器设计方法拓展到多跳中继系统以及存在恶意网络攻击的网络环境中。未引用参考文献[43]CRediT作者贡献说明张浩毅：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，方法论，研究工作。沈博：撰写——审阅与编辑，指导，资金获取，概念构思。邹磊：撰写——审阅与编辑，指导，方法论。张浩毅|沈博|邹磊