《Mechanism and Machine Theory》：Efficient rigid-body contact approach by incorporating sparse signed distance fields into a curvature-aware LCP framework
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•本文提出了一种基于SDF和LCP方法的新型刚体接触算法。•该算法能够在活跃接触区域内高效查询接触信息。•通过在LCP中引入考虑曲率的间隙，提升了算法的精度。•针对不同接触场景，提出了基于面片的双模处理方法。•通过构建稀疏SDF，大幅降低了仿真过程中的存储需求。引言刚体接触在机器
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本文提出了一种基于SDF和LCP方法的新型刚体接触算法。
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该算法能够在活跃接触区域内高效查询接触信息。
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通过在LCP中引入考虑曲率的间隙，提升了算法的精度。
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针对不同接触场景，提出了基于面片的双模处理方法。
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通过构建稀疏SDF，大幅降低了仿真过程中的存储需求。
引言
刚体接触在机器人仿真[1]、计算机图形学[2]以及工程多体动力学[3]领域有着广泛应用。与连续系统[4]不同，碰撞、间歇性接触、冲击响应以及接触状态转换等现象需要以稳定且高效的方式进行处理。为实现有效的接触仿真，有许多有用的接触建模方法，包括顺应性接触模型[5]、基于惩罚或位置级约束的公式[6]以及非光滑时间步进方案[7]。在现有的公式中，线性互补问题（LCP）是一种很好的接触问题解决方法，因为单边不穿透和冲击响应可以通过互补条件来表示[8]，而摩擦接触也可以纳入离散时间互补框架中[9]。因此，基于LCP的接触建模为刚体接触仿真提供了简洁且具有物理意义的框架，但其实际精度仍取决于输入到接触约束中的局部几何信息。
基于这种互补结构，基于LCP的接触方法已被广泛用于非光滑刚体及多体动力学研究。传统的非光滑接触动力学为单边接触和冲击提供了无需显式事件检测的时间步进框架[7]，而Stewart-Trinkle方案则将刚体接触和摩擦视为一个隐式时间步进问题[8]。Anitescu-Potra公式进一步为具有接触力和库仑摩擦的刚性多体系统建立了速度级的LCP处理方法[9]。后续研究通过约束稳定化[10]、迭代和无矩阵互补求解器[11]、[12]以及向柔性体非光滑接触的扩展[13]，进一步改进了这类方法。最近的研究还推动了接触动力学的灵敏度分析[14]、空间摩擦接触预测[15]以及多尺度接触力评估[16]的发展。这些研究表明，基于LCP的接触问题的代数处理和时间步进方面已经相当成熟；然而，当接触发生在高度弯曲或变化迅速的边界上时，计算得到的响应仍会受到局部间隙、法向方向以及接触界面更新精度的影响。
由于这种对局部间隙和法向信息的依赖，几何建模成为接触仿真中的核心问题。传统的刚体接触处理流程通常依赖于多边形网格和边界距离查询[17]、用于碰撞检测的包围体层次结构[18]、基于网格的接触处理中的最近特征跟踪[19]，以及如GJK之类的凸距离算法[20]。这些方法既成熟又灵活，基于接触面片的表示方式也被用来改善刚体接触问题中的局部界面建模[21]。然而，对于持续滑动接触、贴合接触或发生在高度弯曲表面上的接触，基于网格的最近特征查询可能会导致特征切换、局部几何不一致以及额外的查询开销[22]、[23]。相比之下，隐式表面表示通过标量场来描述几何形状，其零等值面代表边界[24]，而带符号距离场则可通过局部场查询提供距离值、内外分类以及表面法向信息[25]。稀疏体积数据结构通过仅组织活跃区域或接近表面的区域，进一步降低了距离场的存储成本[26]、[27]。因此，SDF为接触仿真提供了天然的几何接口，因为接触约束需要反复查询接触区域附近的距离、法向方向以及表面变化情况。
得益于这一几何优势，基于SDF的接触方法已在不同应用场景中得到研究。在计算机图形学中，SDF被用于处理复杂形状之间的局部碰撞[28]，以及基于通用带符号距离场的实时碰撞检测[29]。在计算力学领域，基于SDF的接触公式已被用于梁-固体接触问题[30]，以及具有不规则边界的可变形或重构几何体的接触问题[31]。最近，Dai等人提出了一种SDF重建方法，用于实现可变形物体的高效接触动力学模拟[32]。在颗粒和粒子力学中，SDF被用于在DEM接触建模中表示任意粒子形状[33]，并用于支持涉及复杂粒子的CFD-DEM仿真[34]。在机器人学和几何碰撞检测领域，SDF被用于凸体碰撞查询[35]，以及灵巧操作中的多接触点建模[36]。在多体相关接触动力学研究中，You等人提出了一种在SE(3)群局部坐标系下，用于描述旋转梁与刚性固体之间接触的移动SDF接触公式[37]，而Zhang等人则研究了基于带符号距离场、结合SDF插值、OBB全局检测以及八叉树辅助局部检测的多体系统接触动力学问题[38]。这些研究表明，SDF在需要大量接触计算的仿真中具有巨大潜力，但如何将基于稀疏SDF得到的距离、法向和曲率信息直接整合到传统的刚体LCP框架中，目前仍有待深入研究。
为填补这一空白，本文提出了一种名为SSLCP的稀疏带符号距离场LCP框架，用于刚体接触仿真。该方法保留了传统的Moreau-Jean时间步进方案[7]以及基于LCP的接触求解流程[9]，同时引入稀疏SDF作为几何表示和近接触查询接口。通过这种表示方式，只有在与接触相关的活跃区域内才会查询距离、法向和曲率相关量。活跃的SDF样本还会被进一步整理成面片级的接触表示，从而为接触模型提供空间上连贯的局部几何信息。在此基础上，二阶SSLCP公式被定义为了一阶公式的曲率感知扩展形式，其中通过对方向法向间隙进行显式曲率修正，将局部曲率信息纳入接触更新过程中。这样既提升了局部间隙预测的准确性，又保持了LCP的系数矩阵以及底层求解流程的不变性。
本研究的主要贡献如下：
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通过将稀疏SDF几何结构引入传统的刚体接触LCP框架，提出了SSLCP策略，从而降低了几何查询的开销，提高了计算效率。
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通过在对有效法向间隙进行显式曲率修正，将局部曲率信息纳入接触更新过程，发展出了一种经过曲率增强改进的SSLCP公式，从而在保持原有求解器效率的同时提升了接触响应的精度。
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为了将活跃的SDF样本整理成连贯的局部接触表示，从而用于刚体接触仿真，本文提出了基于面片级的接触构建和双模处理策略。
本文的其余部分结构如下：第2节详细阐述了SSLCP的公式设计，其中介绍了作为几何基础的稀疏SDF；说明了如何从SDF中构建带符号距离、法向量和曲率张量；还介绍了如何通过二阶展开得到的曲率感知修正项，将其纳入法向LCP方程的右侧。第3节通过多个数值测试验证了该方法的准确性和效率，这些测试结果要么与解析解进行比较，要么与Chrono软件以及商业软件的仿真结果进行对比。第4节总结了研究结果，分析了该方法的优点、局限性，并指出了未来研究的方向。
章节要点
SSLCP的方法与公式设计
本节介绍了所提出的用于刚体接触仿真的稀疏带符号距离场LCP（SSLCP）框架。该方法的目的是并非取代传统的Moreau-Jean时间步进方案或基于LCP的刚体接触公式，而是通过引入稀疏带符号距离场作为几何接口，并利用从SDF中获取的局部信息来提升法向接触间隙的预测精度。由此产生的几何修正效果为
数值算例
通过几个数值算例来评估所提出的SSLCP方法的效率和准确性，具体算例如下：
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通过将SSLCP的仿真结果与解析后的冲击后解进行比较，验证了不等质量球体碰撞测试中冲量传递的正确性。
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通过将稀疏SDF存储方式与密集的同量级存储方式在内存使用方面进行对比，并将结果与其他方法的仿真结果相比较，验证了该方法的准确性和效率。
结论
本文提出了一种能够感知局部几何结构的刚体接触方法，该方法将稀疏SDF几何结构以及考虑曲率的接触更新机制整合到了传统的LCP公式中。通过将距离、法向和曲率查询限制在活跃的接触区域内，所提出的SSLCP方法在保留现有基于互补性的刚体接触公式优势的同时，减少了传统密集体积表示方式带来的几何开销。在各项测试中，
CRediT作者贡献说明
王立京：概念构思、研究实施、初稿撰写。周平：方法设计、验证工作、审稿与编辑。范伟：研究实施、项目监督。任辉：资金筹集、审稿与编辑。
利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益冲突或个人关系。
Lijing Wang|Ping Zhou|Wei Fan|Hui Ren
