具有随机函数扰动的延迟布尔网络的强稳定性：基于块逻辑动力系统的方法

《Nonlinear Analysis: Hybrid Systems》：Robust stability of delayed Boolean networks with stochastic function perturbations: A block logical dynamical system approach

　　摘要：本文研究了在随机函数扰动作用下的延迟布尔网络的整体稳定性。通过构建扰动后的块逻辑动态系统，提出了一种新方法。将布尔网络的动态特性转化为等价的块逻辑动态系统，并将随机函数扰动的信息纳入这些系统的动态描述中。通过构建合适的参数化集合，得出了新构建的块逻辑动态系统具有整体稳定性的充分必要条件。基于布尔网络与块逻辑动态系统之间的等价性，提出了考虑随机函数扰动的布尔网络的整体稳定性判据。最后，通过两个实例说明了本文的研究成果。

引言：在过去的几十年里，布尔网络的理论框架已在生物学[1]、数学、物理学[2]以及工程学等多个领域得到广泛应用。尤其是，布尔网络作为描述细胞网络和基因调控网络的理想模型[3]。考夫曼率先将布尔网络用作分析基因调控动态的框架[4]，此后基于这一框架又取得了许多有意义的研究成果[5]、[6]。程提出了半张量积方法，为布尔网络的研究带来了革命性变化[7]，并发展出一种新的代数状态空间表示方法。目前，半张量积方法已被应用于逻辑动态系统[8]、有限演化博弈[9]以及压缩感知[10]等多个研究领域。后续应用表明，该方法在解决这类网络所固有的各种控制理论问题方面具有实用价值[11]、[12]、[13]。利用半张量积方法，布尔网络可以以代数形式进行等价表示，其动态行为和控制设计技术则是通过离散时间线性系统理论建立起来的[14]、[15]。

在复杂网络中，延迟是一种常见现象，在建模基因调控网络时起着至关重要的作用[16]、[17]。由于生化反应缓慢而产生的显著延迟可能会导致对基因调控结果的错误预测[18]。时间延迟有多种类型，如恒定时间延迟、时变延迟、状态依赖型延迟等。鉴于细胞过程本身就存在延迟现象，研究延迟布尔网络具有重要的意义[19]。近年来，已有部分研究基于半张量积方法对延迟布尔网络的分析与控制进行了探讨[20]、[21]。李和王[22]分析了具有状态和控制两方面多时间延迟的布尔控制网络的可控性。针对恒定时间延迟问题，李等人[23]、[24]利用半张量积方法研究了具有状态延迟的布尔网络的可控性与可观测性。尽管这些结果有助于理解恒定时间延迟对布尔网络的影响，但由于计算复杂度会随着延迟程度的增加而呈指数级上升，这促使我们寻求新的方法来研究具有恒定时间延迟的布尔网络的整体稳定性。

在处理延迟布尔网络时，可参考[22]、[23]中的方法，将状态?(t?π)与?(t?π+1)、?、?(t)相乘，从而构建一个扩展系统。然而，这种扩展系统中矩阵的维度会随着时间延迟和状态数量的增加而呈指数级上升。为减轻传统扩展系统的计算负担，[21]中提出了一类新的非线性系统——块逻辑动态系统。将延迟布尔网络转化为等价的块逻辑动态系统后，其矩阵维度远远低于扩展系统。借助块逻辑动态系统，[25]研究了具有恒定时间延迟和确定性干扰的布尔网络的整体稳定性，[26]探讨了随机块逻辑动态系统的有限时间稳定性，[27]则研究了块逻辑动态系统的集稳定性，并通过构建吸引子集提出了新的判据。不过，关于存在随机干扰的块逻辑动态系统，其理论研究仍存在诸多不足，未来还有很大的研究空间。

基因表达过程中常常会出现自发基因突变现象。基因突变的发生可能导致某些基因位点上的原有基因被替代。因此，这些扰动所带来的影响值得进一步研究[28]。肖和多尔蒂率先建立了函数扰动理论框架，用于描述基因突变及其对布尔网络吸引子的影响[29]。值得注意的是，基因突变通常由随机过程引发[30]。在随机逻辑网络的分析方面已取得了一些进展[31]，研究表明随机过程可能会破坏网络的动态行为和控制性能。因此，研究随机函数扰动对布尔网络的影响具有重要意义[32]。李等人研究了在一般随机函数扰动作用下概率布尔网络的整体集稳定性[33]，王等人则研究了概率布尔控制网络的整体集稳定性与集镇定问题[34]。至于块逻辑动态系统方法的应用，现有研究仅限于确定性延迟布尔网络的稳定性分析[21]。据我们所知，针对随机延迟布尔网络的研究成果相对较少。基于现有的研究成果，我们运用随机块逻辑动态系统来研究存在随机函数扰动的延迟布尔网络的整体稳定性。

本文通过块逻辑动态系统框架，研究了存在随机函数扰动的延迟布尔网络的整体稳定性。我们将随机函数扰动的信息纳入块逻辑动态系统的动态描述中，通过构建合适的参数化集合，为存在随机函数扰动的延迟布尔网络制定了整体稳定性判据。与传统的扩展系统[22]、[23]相比，块逻辑动态系统中的矩阵维度要低得多，且随机函数扰动仅会影响系统矩阵中的一列（见备注1）。

本文的其余部分结构如下：第2节介绍一些必要的符号和预备知识；第3节通过块逻辑动态系统框架研究存在随机函数扰动的延迟布尔网络的整体稳定性；第4节给出两个示例加以说明；最后第5节对全文进行总结。

预备知识：本文将使用的一些常用符号列举如下。对于给定的矩阵Y∈Rs×t，Yk,l表示Y的(k,l)元素。对于实矩阵Y，Rowa(Y)表示第a行，Colb(Y)表示第b列。定义Ds:={0,…,s?1}, s≥2, s∈Z+，且D2:=D。记Δs=δsk:k=1,…,s，其中δsk=Colk(Is)，?Δ2?Δ，Is为s阶单位矩阵。矩阵Y=[δsk1?δskt]表示一个逻辑矩阵。s×t阶逻辑矩阵可表示为δs[k1?kt]。用Ls×t表示所有s×t阶逻辑矩阵的集合。

主要结果：延迟布尔网络具有如下描述：Φ1(t+1)=f1(Φ(t?π)),?Φn(t+1)=fn(Φ(t?π))，其中fj:Dn→D,j=1,…,n为逻辑函数，π∈Z+表示恒定时间延迟，Φ(k)=(Φ1(k),…,Φn(k))∈Dn表示时间k时的系统状态。

定义3：若存在整数T，使得对于任意满足t≥T的整数t以及任意初始状态轨迹Φ(?π),…,Φ(0)∈Dn，都有Φ(t;Φ(?π),…,Φ(0))=Φe成立，则称系统(4)在Φe∈Dn处是稳定的。

设?(t)=?i=1n?i(t)∈Δ2n，其中?i(t)∈Δ为对应于Φi(t)∈D的向量形式，i=1,…,n。由此我们可以推导出等价的表达形式。

示例：示例1：考虑如下延迟布尔网络：?1(t+1)=?2(t?1)∨?3(t?1),?2(t+1)=?1(t?1)∨?2(t?1),?3(t+1)=??1(t?1)。该系统具有以下代数形式：?(t+1)=V?(t?1)，其中V=δ8[22261137]。显然，当?e=δ82时，系统(32)是稳定的。在受到随机函数扰动后，假设V的第三列从δ82变为扰动后的集合Ψ=δ81,δ84,δ85,δ86，其中各元素的概率分别为p1=0.3, p2=0.4, p3=0.2, p4=0.1。我们可以按照如下方式构建一个存在随机函数扰动的概率布尔网络：?(t+1)=Vp?(t?1)，其中Vp属于L8×8，且Vp是从集合V1、V2、V3、V4中选取的。

结论：本文将随机函数扰动引入确定性延迟布尔网络的动态描述中，进而运用块逻辑动态系统方法研究了受此类扰动影响的延迟布尔网络的整体稳定性。通过比较扩展系统方法与块逻辑动态系统方法，可以看出块逻辑动态系统不仅维度更低，而且在处理单列随机函数扰动时，其结构矩阵受到的影响也更小。通过构建合适的参数化集合，我们得出了若干新的研究成果。

CRediT作者贡献说明：唐浩欣：撰写——初稿；李海涛：撰写——审阅与编辑、资源准备、方法设计；孔向山：撰写——审阅与编辑、方法设计。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。

唐浩欣|李海涛|孔向山
中国山东省聊城市聊城大学数学科学学院，邮编252000