一种基于正交残差物理引导型神经网络与卡赫宁-洛夫展开方法，用于反演非均质土壤水力参数

《Journal of Hydrology》：An orthogonal residual physics-informed neural network with Karhunen-Loève expansion for inversion of heterogeneous soil hydraulic parameters

　　•在不确定的初始条件/边界条件信息下，进行联合异质VGM反演。•在准确和有偏的地质统计先验下，比较了五种PINN/KLE参数化策略。•共享输出DNN与简单加性混合模型表现出不同的失效模式。•相关长度误差比方差误差导致的偏差更大。•正交残差KLE-PINN能提升参数重建的稳健性。

引言
土壤水力参数的空间变异性会显著影响非饱和带中的水流与物质传输，进而影响入渗、蒸散及地下水补给的预测（Mualem, 1976; Nielsen等，1986; Sophocleous, 2002; van Genuchten, 1980）。因此，准确估算这些参数，尤其是van Genuchten-Mualem（VGM）参数（Mualem, 1976; van Genuchten, 1980），至关重要。然而，由于其对应的Richardson-Richards方程具有很强的非线性特性，且不同的参数组合可能产生相似的系统响应，从而导致明显的多解性（Richards, 1931; Richardson, 1922; Russo等，1991），使得这类参数的反演十分困难。当多个水力参数同时存在空间变化时，问题会变得更加复杂。

物理信息神经网络近年来被证明是用于非饱和流正向建模与逆向建模的有效工具，因为它能够将控制方程直接融入训练损失函数中，同时结合观测数据（Raissi等，2019）。针对基于RRE的非饱和流问题，已有研究表明PINN能够恢复水力状态、推断本构关系，并降低对完整初始条件或边界条件的依赖。Bandai和Ghezzehei（2021）利用带有单调性约束的PINN，根据体积含水量观测数据来估算土壤水力本构关系与土壤水分通量。Depina等（2022）将PINN应用于由RRE和VGM模型描述的非饱和流逆向问题。Bandai和Ghezzehei（2022）进一步将PINN扩展到具有不连续水力传导性的分层土壤中的非饱和流问题，发现即便边界条件未明确给出，也能通过稀疏的土壤含水量测量数据来推断出相应边界条件。Chen等（2023）强调了在PINN建模非饱和水流时合理设计损失函数的重要性。最近，Oikawa和Saito（2024）利用包含非饱和水流模型的PINN，估算了分层土壤剖面中的VGM参数分布。这些研究都展示了，在观测数据有限且边界条件不全的情况下，PINN在基于RRE的逆向建模中具备巨大潜力。不过，当多个VGM参数在空间上连续变化时，逆向问题的目标不仅是重现观测到的水力响应，还要获得具有物理意义且可靠的参数场，这一要求使得如何表示和规范异质参数场成为核心问题。

近期还有研究将PINN的应用从单纯的水流分析拓展到非饱和带中的耦合过程建模。Haruzi和Moreno（2023）利用基于地球电学数据训练的PINN，对非饱和土壤中的水流与溶质传输进行了建模，表明间接的地球物理信息也可以纳入基于PINN的建模体系中。Kamil等（2025）比较了多种PINN策略，用于处理受RRE方程以及对流-扩散方程控制的非饱和土壤中的水氮耦合传输问题。Sakar等（2026）进一步开发了一种基于PINN的工作流程，利用水文地球物理数据对非饱和流及根系吸水过程进行正向与逆向建模。总体而言，这些研究表明，PINN为整合稀疏观测数据、物理约束条件以及非饱和带中的耦合过程信息提供了灵活的框架，同时也再次印证了：PINN在逆向问题中的表现很大程度上取决于未知状态、通量及参数场的表示方式与约束程度。因此，尽管基于PINN的非饱和带建模已取得一定进展，但如何在联合反演过程中表示并规范多个连续变化的异质VGM参数场，仍是一个亟待解决的关键问题。

描述此类异质参数场空间结构的一种常用方法是Karhunen-Loève展开（KLE），该方法将随机场表示为由特定协方差模型生成的若干正交模式的截断之和（J. Yang等，2004；D. Zhang & Lu，2004）。本质上，KLE是协方差算子的特征展开。一旦确定了协方差结构，其主导特征模式就能为该随机场定义出一个有限维的、受先验约束的子空间。通过协方差结构来体现稳态假设与空间相关性，KLE能够提供明确的低维先验，因此在贝叶斯反演与数据同化框架中被广泛使用（Chang & Zhang，2014；H.-Q. Yang等，2019）。对于高维反演而言，这种基于先验的参数化方法颇具优势，因为它能在保留可解释的空间结构的同时减少未知量的数量。近期，人们还将基于KLE的参数化方法引入PINN中，用以共同估算系统状态与异质参数（Li & Tartakovsky，2022；N. Wang等，2024；Sun等，2026；Tang and He，2026）。

然而，基于KLE的反演效果在很大程度上取决于所假设的地质统计先验是否正确。特征函数与特征值是由预定的协方差模型及其超参数决定的，其中包括方差与相关长度（Ghanem & Spanos，2003）。在实际应用中，尤其是当多个水力参数同时存在异质性时，这些量往往很难被准确估计。而要估算相关长度，通常需要大量的空间观测数据来构建经验变异图，而这在常规的野外调查中极为少见（Van Leer等，2023）。此外，传统的稳态协方差模型往往无法体现天然地下介质中存在的非稳态结构（B. Wang等，2024）。如果所假设的先验有误，截断后的KLE基函数可能无法覆盖真实场中的主要结构，从而引入表示误差，进而影响反演结果。

另一种思路是放弃预先设定的地质统计先验，直接利用深度神经网络对异质场进行参数化。这种方法提高了灵活性，因为参数场不再受限于特定的协方差结构（Tartakovsky等，2020）。但这种灵活性也意味着空间正则化作用较弱。由于缺乏明确的结构先验，网络必须探索更广阔的参数场范围，而这无疑会阻碍优化过程，甚至导致得到的解虽然符合观测数据，但在物理上却不可行（Shen等，2023）。在多个VGM参数的联合反演中，这一问题尤为突出，因为这些参数在数值大小与空间变异性方面存在差异，且会对RRE方程产生不同的非线性影响。因此，当多个参数场需要同时学习时，仅基于DNN的参数化方法可能只能重现水力响应，却无法得到可靠且具有物理意义的参数场。

上述分析表明，单独使用KLE或纯DNN都无法完全满足需求：KLE虽然结构清晰，但对先验的错误设定十分敏感；而DNN虽然灵活，但约束力度不足。一种自然的折中方案是采用加性混合模型（Cho & Kim，2022；L. He等，2023；Q. Zhang等，2019），即让KLE提供粗略的先验表示，再由DNN来学习剩余部分。不过，这样的混合模型并不一定总是具有良好的数学性质，因为高度灵活的DNN几乎可以拟合任何函数，包括那些已经被截断KLE基函数所表示的函数（Cybenko，1989；Hornik等，1989）。因此，KLE部分与DNN残差部分之间的分解通常并非唯一确定，相同的空间模式可能被归因于KLE部分或DNN残差部分，从而导致两者之间存在表示重叠。这种重叠会降低训练的可靠性：当先验准确时，DNN可能会不必要地干扰有效的KLE表示；而当先验有误时，DNN则既要弥补有偏的基准值，又要重新构建那些未被明确表达的空间结构。

为了解决这种表示上的冲突，我们提出了一种正交残差KLE-PINN方法，它将KLE与DNN的参数化方法结合起来，同时明确区分二者在表示中的作用。我们的核心假设是：通过将DNN的残差限制在截断KLE子空间之外的范围内，可以使混合模型既能保留有效的、受先验支撑的模态，又能为其他补充性的空间结构赋予神经网络的灵活性。在我们之前关于在不确定边界条件下单参数反演的研究基础上（Gong & Zha，2025），本研究将该框架扩展到了多个异质VGM参数的联合反演。具体而言，本研究：（i）提出了一种用于在不确定边界条件下联合反演多个异质参数的正交残差KLE-PINN方法；（ii）在可控的数值实验中，将该模型与四种代表性替代模型进行对比，这些替代模型包括仅使用KLE的方法、纯DNN方法以及加性混合模型；（iii）在存在方差和相关长度误差的准确与有偏KLE先验条件下，评估这几种方法的表现，以此阐明何时以及为何正交残差学习方法具有优势。

本文的其余结构如下：第2节介绍控制方程与所提出的网络架构；第3节阐述实验设置；第4节报告并分析反演结果；第5节总结主要结论。