基于自适应模糊控制方法的对某类混沌系统的全预定义时间同步控制

《Mathematics and Computers in Simulation》：Predefined-time synchronization control of a class of chaotic systems via adaptive fuzzy control approach

　　•针对一般非线性系统，本文提出了一种新的预定义时间稳定性准则。•引入了预定义时间的滑模面，从而确保混沌系统能够实现同步。•通过将模糊控制与鲁棒控制有效结合，以应对系统不确定性和外部干扰，进而提升了系统的稳定性、鲁棒性及适应性。

引言
作为复杂非线性系统的主要分支之一，随着科学技术的不断发展，混沌系统因其对初始条件的敏感性、有界性、不可预测性等特性而逐渐受到学者们的广泛关注[1]、[2]。与此同时，混沌系统并不仅限于理论研究领域，其在保密通信、图像加密、信号处理以及控制工程等诸多领域都有广泛应用[3]、[4]、[5]。混沌同步的概念最早由Pecora-Carroll在1990年提出[6]，此后相关理论控制研究已成为控制工程领域的热门课题[7]、[8]、[9]。混沌同步问题本质上是通过设计性能良好的控制器，使混沌系统的状态变量在动态过程中能够实现渐近一致，从而实现驱动系统与响应系统之间的有效耦合。近年来，随着对各类混沌系统深入研究，为更好地解决混沌同步问题，人们开发出了多种控制算法，如反步法、自适应控制法、线性反馈法等[9]、[10]、[11]，这些算法进一步丰富了混沌同步的理论体系。此外，混沌同步在信号加密和安全通信等关键领域也发挥着不可或缺的作用[10]、[11]。因此，开展混沌同步研究显得十分紧迫且必要。

一方面，系统的收敛速度往往是评估所设计控制方案的有效指标，这便引出了有限时间这一概念，因为无限时间分析往往无法满足实际控制需求[12]、[13]、[14]、[15]、[16]。例如，Ni等人[15]提出了基于滑模的有限时间控制算法来解决混沌同步问题；Beyhan等人[16]则设计了基于滑模控制的自适应方案来处理鲁棒混沌同步控制问题。然而，现有的有限时间方案存在一个较为明显的缺陷，即所有的控制设计都需要已知系统的初始值[17]、[18]，这在实际应用中带来了诸多限制。为解决这一问题，Polyakov[17]首先为一般非线性系统引入了固定时间概念。此后，学者们不断在固定时间框架下开发出各种控制方法来处理混沌同步问题[19]、[20]、[21]。当然，与有限时间控制不同，固定时间控制不再需要知道系统的初始状态，但对系统收敛时间的估计仍然相对保守。因此，人们提出了预定义时间这一概念[22]、[23]、[24]，其主要通过调整控制方案设计的参数，有效预设系统稳定时间的上限，从而克服有限时间控制和固定时间控制存在的问题[25]、[26]、[27]。例如，Gijón等人[26]设计了自适应滑模控制策略，在预定义时间框架下研究混沌同步问题；Peng等人[27]则为多智能体系统的预定义时间群二分共识问题设计了自适应神经网络控制方法。

另一方面，由于非线性系统在控制过程中会受到外部环境的影响，因此不可避免地会存在模型不确定性和干扰，这些因素往往会影响系统的控制性能，最终导致无法实现最终的控制目标。面对这一挑战，学者们研究了多种控制方法，包括自适应滑模控制[28]、[29]、[30]、神经网络控制[31]、[32]、模糊逻辑系统[33]、[34]、[35]、[36]、[37]等等。作为典型的智能控制算法，模糊逻辑系统因其强大的自适应能力和良好的非线性逼近效果而备受关注[36]、[37]、[38]、[39]、[40]。例如，Keerthana等人[38]提出了一种自适应模糊鲁棒观测控制策略，用于解决非线性系统的容错控制问题；Zhang等人[39]设计了自适应模糊有限时间PID反步控制算法，用于研究非线性混沌系统的稳定控制问题。因此，可以通过合理设计，将模糊逻辑系统与现有算法相结合，以应对混沌系统的不确定性，从而实现最终的控制目标。

基于上述背景，本文旨在提出一种新的自适应模糊控制策略，用以解决存在模型不确定性和外部干扰的混沌系统在预定义时间内的同步问题。本文首先基于所提出的新预定义时间稳定性准则设计了预定义时间的滑模面，然后通过将模糊控制与鲁棒控制相结合，有效应对模型不确定性和干扰，确保混沌系统的误差能在预定义时间内得到稳定。与现有的控制策略[15]、[18]、[19]、[20]、[26]、[27]相比，本文具有以下三大创新点：
•为一般非线性系统提出了新的预定义时间稳定性准则，并利用李雅普诺夫理论对其进行了严格证明，从而在更一般的条件下拓展了现有的预定义时间稳定性研究成果[26]、[27]。
•基于所提出的预定义时间稳定性准则，构建了双阶段预定义时间控制框架。通过引入新的滑模函数，可确保系统在预定义时间内到达滑模面；随后再设计基于滑模的控制方案，以确保系统误差在预定义时间内收敛到原点。与现有的有限时间和固定时间方法[15]、[18]、[19]、[20]相比，所提出的方法无需额外的保守估计，能够更直接地实现预定义时间控制，进而提升了其适用性。
•利用模糊逻辑系统的特性对模型不确定性进行估计，同时运用鲁棒控制方法来补偿近似误差和外部干扰，相较于现有的自适应方案[1]、[14]，这提升了整个系统的稳定性、自适应性和鲁棒性。

本文的其余结构如下：第2节介绍本研究的主题及相关理论；第3节提出新的预定义时间稳定性准则，并根据该准则设计自适应模糊控制方法，同时通过选择合适的李雅普诺夫函数来验证理论的正确性；第4节通过大量数值仿真与现有控制算法进行比较，以体现本文所提算法的优越性；第5节对全文的研究内容进行总结。

问题描述
考虑存在模型不确定性和干扰的m维混沌系统，将其视为主从系统，其动力学方程分别为：
x?1=f1(x,t)+Δf1(x,t)+d1(m)(t)
x?2=f2(x,t)+Δf2(x,t)+d2(m)(t)
?
x?m=fm(x,t)+Δfm(x,t)+dn(m)(t)
以及
y?1=g1(y,t)+Δg1(y,t)+d1(s)(t)+u1(t)
y?2=g2(y,t)+Δg2(y,t)+d2(s)(t)+u2(t)
?
y?m=gm(y,t)+Δgm(y,t)+dm(s)(t)+um(t)
其中，x=(x1,x2,…,xm)T∈Rm和y=(y1,y2,…,ym)T∈Rm表示系统的状态向量，fi(x,t):Rm→R和gi(y,t):Rm→R（i=1,2,…,m）均为连续且光滑的函数。

预定义时间稳定性的新准则
对于一般的非线性系统（9），预定义时间稳定性的新准则在定理1中给出。
定理1
考虑非线性系统（9），若存在李雅普诺夫函数V(x)，其微分满足以下条件：
V?≤?παabTp(a2V1?α2+2abV+b2V1+α2)
则可以证明系统（9）是预定义时间稳定的，此处TP>0为预定义时间，α∈(0,1)，a、b为正常数。
证明
对于方程（12），可将其转化为：
?παabTpdt≥dVa2V1?α2+2abV+b2V1+α2
假设……

仿真结果
本节将通过大量的数值仿真以及与其他算法的仿真对比，充分验证所开发控制算法的有效性与优越性。此处主要以Chen系统和Lorenz系统作为主从系统进行研究。首先，主系统的动力学方程为：
x?1=35(x2?x1)+x4+Δf1(x)+d1(m)(t)
x?2=7x1+12x2?x1x3+Δf2(x)+d2(m)(t)
x?3=x1x2?3x3+Δf3(x)+d3(m)(t)
x?4=x2x3+0.4x4+Δf4(x)+d4(m)(t)
其次，从系统的……

结论
本文提出了一种新的自适应模糊预定义时间控制策略，用于实现混沌同步。首先，为一般非线性系统提出了新的预定义时间稳定性准则；其次，基于该稳定性准则构建了预定义时间的滑模面，并将模糊控制与鲁棒控制有效结合，以应对系统中的不确定性和干扰，从而确保混沌同步能够成功实现。

作者贡献说明
彭润龙：撰写原始稿件、指导工作、确定方法论、进行形式分析。
段培勇：负责验证工作、协调资源、开展研究、争取资金支持。
郭荣伟：参与论文审阅与编辑、提供指导、负责软件相关工作、管理项目事务。
郑斌：承担指导工作、负责软件相关事务、协调资源。
刘丽霞：参与论文审阅与编辑、确定方法论、开展研究、争取资金支持。

致谢
本研究部分得到了齐鲁工业大学（山东省科学院）科教产融创新试点重大专项（项目编号2024ZDZX11和2025ZDZX12）、科教融合试点工程项目（项目编号2025ZDSZ04）、济南市校地融合发展战略工程项目（项目编号JNSX2024044）的支持，同时还得到了福建省自然科学基金（项目编号2026J008254）的资助。感谢彭润龙、段培勇、郭荣伟、郑斌、刘丽霞各位老师的支持。