具有时变延迟和分布式延迟的分数阶四元数值神经网络在时间尺度上的投影同步

《Neurocomputing》：Projective synchronization of fractional-order quaternion-valued neural networks with time-varying delays and distributed delays on time scales

　　摘要：本研究探讨了一类具有时变延迟和分布延迟特性的分数阶四元数值神经网络。在网络模型不可分离的情况下，本文提出了一种新的控制律，并通过构建李亚普诺夫-克拉索夫斯基函数并运用矩阵不等式技术，得出了以四元数值线性矩阵不等式表示的充分条件，从而确保了所研究神经网络的投影同步。通过数值算例验证了该理论结果的可行性。

引言：过去四十年来，神经网络已被广泛应用于各个领域[1]、[2]、[3]、[4]。为更好地将神经网络用于解决实际问题，分析其动态行为至关重要。因此，人们对神经网络的动态行为进行了广泛研究[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]。上述状态变量、连接权重、激活函数及外部输入均为实数的神经网络被称为实值神经网络。近年来，由于四元数值神经网络能够通过一个包含一个实部三个虚部的状态变量来有效编码三维空间旋转与缩放变换，它们越来越受到关注，这类神经网络已被广泛应用于彩色图像处理和机器人臂旋转等领域[11]、[12]、[13]、[14]。众所周知，分数阶导数由于其记忆性和遗传性而具备整数阶导数所没有的一些特性，因此其应用范围比整数阶导数更广[15]。基于这一事实，将分数阶导数与神经网络相结合，便形成了分数阶神经网络模型[16]。早期研究主要集中于分数阶实值神经网络，后来扩展到了分数阶复值神经网络。近年来，研究人员开始探索分数阶四元数值神经网络[17]、[18]、[19]。近来，对具有时间尺度的神经网络的研究日益增多，因为这类神经网络能够同时描述连续时间和离散时间下的系统行为，从而克服了传统上分别处理连续模型和离散模型的局限性[20]、[21]、[22]、[23]、[24]。两个或多个系统相互作用并最终形成共同动态行为的进程称为同步。一般来说，同步可分为准同步、渐近同步、指数同步、投影同步等。投影同步指的是驱动系统的动态行为通过适当的投影系数与响应系统同步。相比而言，由于投影系数的不可预测性，投影同步具有更好的通信安全性和更快的收敛速度。目前，有一些研究着眼于分数阶神经网络的投影同步问题[25]、[26]、[27]、[28]、[29]、[30]、[31]、[32]。从现有研究来看，重点主要是放在具有时间尺度的整数阶神经网络上，而具有时间尺度的分数阶神经网络尚未被研究。在本研究中，我们在现有成果的基础上，探讨了具有时变延迟和分布延迟特性的分数阶四元数值神经网络在时间尺度上的投影同步问题。其主要贡献如下：(i)本文首次研究了具有时变延迟和分布延迟的分数阶四元数值神经网络在任意时间尺度上的投影同步问题，将连续时间和离散时间动力学统一在同一个理论框架之下。(ii)与现有将四元数系统分解为实子系统或复子系统的方法不同，我们直接在四元数斜域中设计控制器并推导同步准则，这不仅保持了代数完整性，还降低了线性矩阵不等式的维度，使得所得条件更为宽松。(iii)通过构建李亚普诺夫-克拉索夫斯基函数并应用时间尺度上的分数阶乘积法则，我们得到了一个以单个四元数值线性矩阵不等式形式表达的新的投影同步充分条件，该条件便于数值计算，并已通过仿真得到验证。

符号说明： 表示四元数斜域。 和 分别表示维四元数值向量集合和维四元数值矩阵集合。 表示维四元数矩阵的转置， 表示其共轭， 表示其共轭转置。四元数向量 可表示为 ，其中 、 、 是满足 、 、 、 的虚数单位。向量 的模表示为 ，其中 的共轭记为 。如果 ，则矩阵 称为厄米矩阵。用 和 分别表示矩阵A的最小特征值和最大特征值。此外，设 表示时间尺度，即 的非空闭子集。:= 表示集合 。

模型描述与预备知识：具有时变延迟和分布延迟的分数阶四元数值神经网络在时间尺度上的框架如下：其中， 表示时间 时的维神经状态向量； 是神经元的激活函数向量； 是时变延迟， 是分布延迟； 表示具有 的自反馈连接矩阵； 、 、 表示连接权重矩阵； 是外部输入向量。方程(1)的初始条件为，其中 是在 和 上有界且连续的函数。

主要结果：定理1：在假设(H1)成立的前提下，如果存在常数 、 ，五个正定厄米矩阵 、 、 、 以及两个正对角矩阵 、 ，使得满足以下线性矩阵不等式，则系统(1)和(3)可以实现渐近投影同步：其中， 、 、 、 、 、 、 、 。

证明：选择以下李亚普诺夫-克拉索夫斯基函数：将引理5应用于计算 的分数阶导数，并结合定义2中的有界粗糙度假设，我们可以得出将(10)中的 替换为 后的结果。

示例：我们以 作为时间尺度，将二维分数阶四元数值神经网络视为驱动系统，其中， 、 、 、 、 、 。响应系统则由下式给出：在数值仿真中， 和 是系统(1)和(3)的初始值。

备注3：为了凸显所提控制策略的必要性，我们首先考察在没有任何控制作用的情况下，即 时的系统(1)和(3)的行为。在相同的初始条件和参数设置下，这两个系统的状态轨迹为

结论：本文针对具有混合时变延迟和分布延迟特性的分数阶四元数值神经网络在统一时间尺度上的投影同步问题进行了研究。通过设计一种无需系统分解的新型四元数域控制器，并构建合适的李亚普诺夫-克拉索夫斯基函数，我们得到了一个以单个四元数值线性矩阵不等式形式表示的充分同步准则。所提出的这种直接方法

CRediT作者贡献声明：李荣康：撰写——初稿、研究、正式分析。宋千坤：资金获取、概念构思。刘玉荣：概念构思。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。

致谢：本研究得到了中国国家自然科学基金项目62576054以及重庆市研究生联合培养基地建设项目JDLHPYJD2021016的支持。李荣康出生于2002年，2024年获得中国重庆师范大学数学专业学士学位，目前在中国重庆交通大学攻读系统科学专业硕士学位，她的研究兴趣包括神经网络的同步理论。

李荣康|宋千坤|刘玉荣
中国重庆400074，重庆交通大学数学系