分数阶微积分视域下双变量函数建模GDP增长率的方法：基于G8国家与Türkiye的证据

《Mathematics》：A Fractional Calculus Approach to Two-Variable Function Modeling of GDP Growth Rates: Evidence from G8 Countries and Türkiye

　　

本研究提出一种基于双变量分数阶微积分的建模框架，用于分析1998至2022年间G8国家与Türkiye的关键宏观经济指标对国内生产总值（GDP）增长率的影响。所考察的经济变量包括出口、进口、通货膨胀、外国直接投资与失业率，数据源自世界银行（World Bank）。研究人员采用Caputo型分数阶导数结合最小二乘法构建以GDP增长率为因变量的双变量经济模型，系统检验多种经济因子组合及其建模表现，并以平均绝对百分比误差（MAPE）评估模型精度。结果显示，出口—通胀组合对日本的建模误差最低，而通胀—失业组合对俄罗斯的误差最高。总体而言，基于分数阶微积分的双变量模型为刻画经济增长分析中的非线性与记忆依赖动态提供了有效且灵活的框架。

研究背景与立项依据

经典整数阶微分方程在经济学建模中难以描述具有记忆性与非局部特征的经济过程，而分数阶微积分（Fractional Calculus, FC）通过实数或复数阶微分积分算子，能更自然地刻画自然与社会现象中的历史依赖与非线性累积效应。已有研究将FC用于中国、葡萄牙、G20等经济体的GDP增长及电信投资建模，但针对G8国家与Türkiye、以双变量函数形式系统比较多种宏观因子组合的工作仍较缺乏。为此，研究人员开展本研究，旨在借助Caputo型分数阶导数与最小二乘优化，构建双变量分数阶函数模型，量化1998至2022年出口、进口、通胀、外国直接投资（FDI）、失业率对GDP增长率的解释力，并评估其拟合优度。

样本与技术方法

研究人员使用世界银行公布的1998至2022年（俄罗斯因2022年通胀缺失取1998至2021年，共24年；其余国家25年）面板数据，涉及G8（美、加、英、法、德、意、日、俄）与Türkiye的年度宏观指标。核心方法包括：①选取Caputo型分数阶导数定义双变量函数模型，因其兼容Laplace变换与经典初值条件；②对两自变量引入分数阶α、β∈(0,1]，通过级数截断数M=7离散化解析解；③以网格搜索（步长0.01）遍历α、β，对每个组合用最小二乘法估计系数并使MAPE最小；④以MATLAB R2025b实现，用MAPE作为唯一精度判据。

研究结果

1. 2.
   Materials and Methods
   研究人员给出双变量连续有界函数的级数展开，推广经典一阶偏导至Caputo分数阶偏导，利用Laplace变换求解解析形式，截断为M=7的有限项表达式；将未知系数与α、β的寻优转化为最小二乘问题，用矩阵形式ATB=ATC求解。俄罗斯K=24，其余K=25。
2. 3.
   Results
   Modeling Results
   在十种双变量组合中，各国最优与最差组合差异明显：加拿大、美国、俄罗斯、Türkiye最优均为进口—出口（MAPE最低），法国与日本最优为出口—通胀，英国与意大利最优为出口—FDI，德国最优为进口—通胀；最差组合多含失业率，如加拿大失业率—FDI、美国与意大利与Türkiye与俄罗斯的通胀—失业等。整体MAPE处于较低水平，证明分数阶双变量结构具备高拟合力。估计所得α、β普遍异于1，表明变量关系偏离纯整数阶描述。
3. 4.
   Conclusions
   研究人员指出，双变量分数阶框架以低误差复现九国GDP增长轨迹，贸易类变量（进出口、FDI）主导解释力，失业类组合表现较弱；α、β不作为经济记忆的直接度量，而是增强函数柔性的结构参数。该框架为后续经济预测与政策分析提供可扩展基础。

讨论与结论翻译

讨论部分强调，分数阶模型并非断言“经济记忆时长”的计量，而是以非整数阶提升函数对复杂非线性互作的包容度；贸易与价格稳定组合在德、日、法表现优，与开放经济增长理论一致。结论部分原文要义为：本研究提出的新颖双变量分数阶框架，拓展经典整数阶形式，以灵活数学结构表征宏观变量间复杂非线性；实证显示贸易相关变量建模最优，进口—出口组合在美、加、俄、土最优，出口—通胀在日、法最优，含失业组合误差偏高；α、β异于1说明整数阶不足以描述宏观关系，分数阶提供累积与滞后互作的表达空间；结果契合既有增长理论，且国别结构影响主导因子选择，可为政策制定提供参照；整体框架灵活有效，适于预测与多维宏观建模。论文发表于《Mathematics》。