《Mathematical and Computational Applications》：Adaptive Fuzzy Control Without Feasibility Conditions for Fractional-Order Nonlinear State-Constrained Systems: A Bounded Virtual Controller Design Method
编辑推荐：
本文研究了分数阶非线性系统（FONSs）在非对称状态约束下的自适应模糊跟踪控制，无需对中间虚拟控制器施加单独的可行性条件。利用模糊逻辑系统逼近未知非线性函数。通过利用双曲正切函数的有界性，开发了一种坐标变换和非对称分数阶障碍Lyapunov函数（AFBLF）来
本文研究了分数阶非线性系统（FONSs）在非对称状态约束下的自适应模糊跟踪控制，无需对中间虚拟控制器施加单独的可行性条件。利用模糊逻辑系统逼近未知非线性函数。通过利用双曲正切函数的有界性，开发了一种坐标变换和非对称分数阶障碍Lyapunov函数（AFBLF）来构造有界虚拟控制信号。在反步框架内，设计了一种自适应模糊控制器。分数阶Lyapunov分析建立了所有闭环信号的半全局一致最终有界性，并保持了规定的非对称约束。对比和基准仿真表明约束满足、适中的控制努力以及抑制高频抖振类振荡。
分数阶非线性系统（Fractional-Order Nonlinear Systems, FONSs）因其固有的记忆效应和遗传特性，能够更精确地表征具有非局部依赖性和长程记忆特征的复杂非刚性动力学行为，已广泛应用于分数阶电路、粘弹性材料、锂离子电池等新兴研究领域。然而，由于分数阶微积分不满足整数阶牛顿-莱布尼茨公式或链式法则，相关理论研究进展长期相对缓慢。为克服这一理论瓶颈，研究人员相继提出了分数阶非线性系统的间接和直接Lyapunov稳定性证明方案，为后续分数阶控制器设计奠定了基础。
随着现代工程系统复杂性增加，对运行可靠性和安全性的要求日益严格。在实际物理系统中，由于机械结构特性、材料物理极限及工艺安全规范，系统在运行过程中不可避免地面临各种强制性边界约束。任何状态的瞬时违反都可能引发链式反应，从控制性能轻度恶化到严重不稳定甚至灾难性后果。因此，FONSs的状态约束控制问题已成为高度关注的研究课题。现有工作中，部分研究人员将对数型障碍Lyapunov函数（Barrier Lyapunov Functions, BLFs）与分数阶Lyapunov稳定性理论相结合，将所有状态限制在预设范围内；另一些则采用正切型BLFs实现相同目标。然而，上述方法均依赖于对称障碍Lyapunov函数，难以适应实际系统中常见的非对称约束场景。由于机械结构或工艺限制，系统状态在正负方向常呈现不同边界要求，例如电机控制中正负电流限值通常不相等。相比之下，非对称障碍Lyapunov函数提供了更灵活的解决方案，但相关研究仍相对稀少，这激发了研究人员的兴趣。
另一方面，基于传统反步技术的障碍Lyapunov函数控制框架存在固有缺陷：它要求每一步设计的虚拟控制律严格满足特定的可行性条件。这些条件不仅要求系统初始状态严格位于规定约束区域内，还要求整个设计过程中的中间虚拟控制器保持特定界限内。然而，虚拟控制器通常结构复杂且依赖于众多时变系统变量，在工程实践中难以保证所有虚拟控制器始终满足可行性条件。现有关于FONSs状态约束控制的研究普遍受限于可行性条件的前提。此外，由于分数阶微积分算子具有非局部性且不遵循整数阶牛顿-莱布尼茨公式或链式法则，整数阶系统中用于消除可行性条件的误差变换机制在分数阶背景下失效。因此，如何消除可行性条件并实现FONSs的状态约束控制仍是一个值得系统探索的挑战性问题。
为填补这一空白，研究人员基于非对称分数阶障碍Lyapunov函数（Asymmetric Fractional Barrier Lyapunov Function, AFBLF）提出了一种受约束分数阶非线性系统的模糊自适应跟踪控制方案。核心贡献包括：(1) 为FONSs建立了一种新型自适应模糊状态约束控制框架，通过构造专门的AFBLF设计方法，有效处理非对称状态约束问题，克服了现有文献中依赖对数型BLF或对称正切型BLF的局限性；(2) 利用双曲正切函数的内在有界性质，提出了一种新型坐标变换以构造有界虚拟控制信号，与现有方法不同，所构造的虚拟控制信号通过结构设计自动满足预定义界限，消除了传统反步框架中存在的强制性可行性条件。
论文主体部分系统阐述了研究内容。首先，在问题描述与预备知识部分，给出了受状态约束的严格反馈FONSs的数学形式，以及非对称时不变约束边界。定义了参考轨迹假设（假设参考轨迹及其分数阶导数有界）和外部扰动有界假设。介绍了模糊逻辑系统逼近未知非线性函数的基本原理，并引用了多个分数阶不等式引理，包括Caputo分数阶导数二次型不等式、双曲正切函数边界性质等。
在自适应模糊控制器设计与稳定性分析部分，研究人员构建了AFBLF，定义了变换误差和非对称误差边界，证明了AFBLF的连续可微性、严格凸性和障碍性质。提出了一种有界虚拟控制器命题，通过双曲正切映射将原始虚拟控制信号转换为自动保持在下一状态容许区间内的有界信号，从而消除了单独的可行性条件。在反步框架下，依次设计了每一步的虚拟控制器、自适应律和实际控制律。通过分数阶Lyapunov分析，建立了闭环信号的半全局一致最终有界性（Semi-Global Uniform Ultimate Boundedness, SGUUB）、状态约束保持以及跟踪误差的最终界估计。主要结论由定理2给出，证明所有闭环信号SGUUB，每个状态满足约束，且跟踪误差收敛到可调邻域内。
仿真研究部分通过两个算例验证了方法有效性。数值例子中，考虑一个二阶FONS，设置非对称状态约束，采用五个高斯隶属度函数。结果显示输出跟踪正弦参考轨迹，跟踪误差保持在零的小邻域内；第一状态和第二状态均严格位于非对称界限内；自适应估计有界；控制输入在初始校正脉冲后平滑。与传统非对称对数型BLF控制器对比表明，在相同应力条件下，对数型BLF基线虽取得更小均方根误差，但原始虚拟控制器超出所需区间，产生高频抖振类振荡，控制能量更高，并出现轻微状态约束违反。所提出方法由于光滑有界映射，有效抑制了抖振行为。第二个算例为分数阶Duffing系统，进一步验证了跟踪性能、正约束裕度、有界虚拟信号和适中的控制能量。
讨论部分指出，所提出构造适用于固定、非对称全状态约束，但未涉及输入饱和、执行器故障、时延、测量噪声、未知或时变分数阶以及时变状态边界。局部扇形常数基于半全局设计中的紧集选取，获得全局结果仍是开放问题。仿真中在障碍奇点附近使用了数值正则化，未进行硬件实验。未来扩展方向包括时变非对称约束、输出反馈、投影或归一化机制、输入饱和与执行器故障、事件触发实现以及实验验证。
结论部分总结：本文开发了一种针对非对称状态约束分数阶非线性系统的自适应模糊控制器，结合了AFBLF与双曲正切有界虚拟控制器。正式命题表明，映射后的虚拟信号自动保持在下一状态容许区间内，消除了传统BLF反步中所需的单独虚拟控制可行性检查。理论分析证明了AFBLF的可微性、严格凸性和障碍性质，递归Lyapunov论证建立了显式Mittag-Leffler界、所有闭环信号的SGUUB、有界自适应估计、每个非对称状态约束的保持以及显式最终跟踪误差界。对比应力测试表明，对数型BLF基线虽能获得更低跟踪误差，但在所选应力设置下失去原始虚拟控制可行性，导致控制能量大幅增加、高频抖振类振荡以及轻微状态约束违反；所提出控制器通过光滑有界映射保持虚拟信号可行，有效抑制了振荡行为。分数阶Duffing算例进一步验证了在紧非对称限值下的精确跟踪、正约束裕度、有界虚拟信号和适中的控制能量。未来工作将处理时变约束、输出反馈、输入非理想性和实验验证。
