《Mathematical and Computational Applications》：Accurate Treatment of Solution and Flux Discontinuities in 2D Time-Dependent Interface Problems via Meshless Method
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界面问题在复合材料热传导、多孔介质中流体流动以及跨非均匀域的扩散-反应过程等应用中频繁出现。本研究提出了一种将径向基函数（RBF）与有限差分法（FDM）相结合，以求解二维线性和非线性抛物型界面问题的数值方法。在该方法中，空间导数采用多二次（MQ）RBF进行近似
界面问题在复合材料热传导、多孔介质中流体流动以及跨非均匀域的扩散-反应过程等应用中频繁出现。本研究提出了一种将径向基函数（RBF）与有限差分法（FDM）相结合，以求解二维线性和非线性抛物型界面问题的数值方法。在该方法中，空间导数采用多二次（MQ）RBF进行近似，而时间导数则通过FDM进行离散。该方法被应用于线性和非线性问题。在线性情况下采用高斯消元法求解由此产生的代数方程，而在非线性情况下则采用拟牛顿线性化技术（QNLT）来处理非线性项。通过执行多项数值实验评估了该方法的有效性。将结果与Haar小波配置法（HWCM）进行了对比，展示了该方法在精度、计算效率和实现简易性方面的提升。
在众多科学与工程领域，物理现象往往发生在被划分为多个具有不同物理或数学属性区域的计算域内，这就不可避免地产生了界面问题。处理这些界面问题对于精确模拟诸如复合材料热传导、多孔介质流体流动及晶体形成等过程至关重要。传统的网格生成方法在处理复杂几何形状或解及其梯度存在不连续性的界面时面临巨大挑战，计算成本高昂且难以精确捕捉界面处的动态变化。近年来，无网格方法因其不依赖预定义网格或单元、仅依赖散乱或均匀分布的节点来生成代数方程系统而备受关注。特别是基于径向基函数（RBF）的配置技术，在处理复杂几何和界面问题上展现出巨大潜力。然而，开发适用于通用界面问题的鲁棒且精确的无网格技术的研究仍然相对有限，尤其是在精确处理解与通量不连续性方面。为了解决这一问题，研究人员开展了一项新的研究，旨在为抛物型偏微分方程（PDE）界面问题开发一种精确且可靠的无网格数值求解框架。该研究提出了一种将无网格配置方法（MCM）与有限差分法（FDM）相结合的混合数值方法，利用多二次（MQ）RBF处理空间导数，并利用FDM处理时间导数。对于非线性问题，引入了拟牛顿线性化技术（QNLT）来避免直接求解非线性系统的复杂过程。研究得出的结论表明，该方法不仅具有极高的数值精度和计算效率，而且实现简单，在处理单界面问题时表现出良好的稳定性和鲁棒性。该研究通过对比严格的计算实验验证了MCM与QNLT结合的有效性，凸显了其在降低计算节点依赖性并提高精度的优势，为解决更广泛领域的界面问题奠定了基础。该论文发表于《Mathematical and Computational Applications》。
在技术方法上，研究人员采用了基于径向基函数（RBF）的无网格配置方法（MCM）对计算域进行空间离散化，其中具体选用了多二次（MQ）径向基函数作为基函数。时间维度的离散化则采用了有限差分法（FDM）中的一阶前向差分格式。为了处理线性情况下生成的代数方程组，采用了高斯消元法。针对非线性模型中的非线性项，引入了拟牛顿线性化技术（QNLT）进行系统线性化转换。研究中所有的数值计算均基于标准双精度算法在MATLAB环境中执行。
2. Radial Basis Functions（径向基函数）
研究人员着重介绍了多二次（MQ）RBF作为开发界面问题无网格数值解法的基础。MQ函数的取值取决于给定点与中心点之间的欧几里得距离以及影响基函数形状的形状参数。研究指出，虽然MCM在配置点适中的情况下计算精度较高，但随着节点数量增加，可能会出现数值病态现象。然而，研究发现这种病态性主要源于有限精度运算而非方法本身的固有缺陷，通过仔细选择形状参数和节点分布可以确保生成的矩阵保持良态，进而获得稳定精确的数值解。
3. Construction of the Numerical Method（数值方法的构建）
在该部分中，研究人员详细阐述了所提出数值方法的构建过程。计算域被界面划分为两个子域，配点在计算域内均匀分布以确保稳定性。时间导数通过前向差分进行近似，而空间导数则利用各子域内的MQ RBF进行展开。为了确保界面条件的准确实施，研究人员特别将节点精确放置在界面上，并推导了表示函数及其通量在界面处连续性的方程。随后，针对线性与非线性情况分别进行了系统的离散化和代数方程组的构建。对于非线性情况，采用QNLT对非线性项进行线性化处理，将复杂的非线性系统转化为由先前已知解评估非线性系数的线性系统，并设定了严格的收敛误差限，通过迭代求解直至满足收敛标准。
4. Stability Analysis（稳定性分析）
在稳定性分析部分，研究人员通过检查所得代数系统的条件数来评估MCM的稳定性。研究发现，随着配点数量N的增加，线性与非线性基准问题的最小特征值幅度并未发生显著增长，这证实了所提出的空间离散化框架在数值上是稳定的。对于时间积分，由于采用了前向欧拉方法，其属于条件稳定格式。研究人员通过在所有数值实验中严格选择满足稳定性限制的时间步长，确保了全离散格式的稳定性，且进一步减小时间步长不会对计算解产生显著改变，证明系统在稳定区域内运行。
5. Numerical Experiments（数值实验）
为了验证方法的有效性，研究人员设计了五个包含界面条件的线性和非线性试验问题，并将结果与Haar小波配置法（HWCM）进行了对比分析。通过计算最大绝对误差（MAE）和均方根误差（RMSE）来量化数值精度。在Test Problem 1至Test Problem 3的线性问题中，研究人员使用了常数和变系数进行测试。结论表明，随着网格点（GPs）数量的增加，MCM的精度显著提升，能够达到极小的误差量级，且数值解与精确解在图形上高度吻合。在Test Problem 4与Test Problem 5的非线性问题中，研究人员结合QNLT处理了非线性项并采用常数系数进行求解。结果显示，MCM在处理非线性问题时同样展现出极高的可靠性和精度，甚至在某些配置下达到了优异的误差表现。所有实验均验证了MCM在处理抛物型界面问题（PIP）时相较HWCM具有明显的精度优势和更低的节点需求。
6. Conclusions（结论）
在总结中，研究人员指出本文成功提出了一种用于求解界面问题（PIPs）的新方法，将FDM与基于MQ RBF的MCM有效集成。通过对线性和非线性模型及常系数与变系数情况的大量测试，验证了该方法在精度和计算效率上的优秀表现。尽管增加节点数量会增加计算成本，且在处理极端复杂几何界面时可能需要特殊处理，但形状参数的合理选取保障了系统的良态性。与HWCM的对比结果明确指出，该方法在实现高精度的同时大幅减少了节点需求。稳定性分析进一步证实了在满足时间步长限制的前提下，显式时间离散处理的合理性。研究人员表示，未来的工作方向将致力于把该混合方法扩展至三维多界面问题，并探索该方法在分数阶界面问题以及不规则几何界面问题中的应用。
