基于广义性质贡献张量的梯度弹性有效场方法

《International Journal of Engineering Science》：Effective field methods for gradient elasticity through generalized property contribution tensors

　　•开发了将本构贡献张量与梯度弹性相结合的有效场方法。•应变梯度弹性和应力梯度弹性仅存在符号差异。•为硬币形夹杂物推导出了精确的解析式Eshelby张量。•针对各向异性梯度Eshelby张量开发了数值方法。•非局部FFT求解器用于验证球形、圆柱形和扁球形物体的有效场方法。

引言
在材料科学和工程领域，多尺度均匀化方法对于获取异质材料的整体热学、电磁学和弹性特性越来越重要（Kachanov & Sevostianov, 2018）。均匀化方法架起了材料微观行为与其宏观特性之间的桥梁，能够准确预测材料在不同条件下的行为。在解析均匀化方法中，通常以单一不均匀性（如纤维、裂纹、空洞、颗粒等）的解作为均匀化方法的基础。这些方法可用于包含多种不均匀性的材料，既可以一步完成（单步均匀化），也可以分多步进行（多步均匀化），并且依赖于微观结构参数。这些参数对于准确描述异质材料至关重要。对于由均匀基体与不均匀性组成的材料，微观结构参数应能描述这些不均匀性的分布情况，包括其形状、取向和体积分数。因此，确定此类微观结构参数并非易事。

在经典弹性理论框架下，人们已经利用这类微观结构描述符广泛发展了均匀化模型。在此背景下，本构贡献张量被认定为有效弹性预测的合适表示方式。这些张量通过纳入不均匀性的形状、取向和体积分数，来捕捉各个不均匀性的影响，从而以简洁高效的方式描述微观结构。因此，它们成为连接微观结构特征与宏观响应之间的自然桥梁。

尽管取得了成功，但基于经典弹性的均匀化模型本质上无法捕捉尺寸效应，而当微观结构的特征尺寸接近较小尺度时，尺寸效应会变得十分显著（Fleck et al., 1994）。这一限制源于经典弹性理论中缺乏内在的材料长度尺度，导致预测得到的有效特性与不均匀性的大小无关。为克服这一缺陷，人们引入了改进的连续介质理论，包括应变梯度弹性（Mindlin & Eshel, 1968）、微极弹性（Eringen, 1966）和非局部弹性（Eringen & Edelen, 1972）。这些广义理论的共同特点是引入了内部长度尺度参数，从而能够对尺寸依赖性行为进行建模。

以梯度弹性为例，通过在应变梯度（Ma & Gao, 2014）和应力梯度（Tran et al., 2018）弹性框架内重新构建均匀化方法，将尺寸效应纳入考虑。在这些理论中，内部长度尺度参数会根据各组成成分的大小，改变其对整体复合响应的贡献，进而根据具体的公式和材料体系产生强化或弱化效果。最近，Polyzos等人（2023）对本构贡献张量进行了扩展，通过引入长度尺度参数来纳入应变梯度弹性现象。他们通过在该框架内重新构建非相互作用法、Mori–Tanaka法和Maxwell有效场方法，实现了对尺寸效应的捕捉。然而，这种公式仅适用于应变梯度弹性，其与应力梯度弹性的关系尚未得到研究。此外，他们的解析预测仅与经典弹性均匀化方案以及基于经典弹性的有限元模型进行了比较。由于尺寸效应本质上与内部长度尺度的存在密切相关，这类经典数值模型无法捕捉尺寸效应。因此，需要借助专门的非局部求解器进行进一步验证。

为解决这些局限性，本研究将本构贡献张量的应用范围扩展到应变梯度和应力梯度弹性的更广泛框架中。首先，本文提出了一个热力学上一致的本构贡献张量扩展形式（第2节），使得简化后的应力梯度弹性可以与应变梯度弹性一起被纳入考虑。这是通过利用广义Eshelby张量的解来实现的（附录A）。虽然文献中已有关于球形和圆柱形夹杂物的广义Eshelby张量的解析解（Ma & Gao, 2014），但此前尚未有针对硬币形夹杂物的相关研究；因此，本文推导出了其精确的解析解。为了验证这些解析公式，并能够计算一般椭球形几何形状的梯度Eshelby张量（超出特殊情形的情况），本文还开发了一种数值积分方法（附录B）。通过证明在简化假设下，应变梯度和应力梯度公式仅存在单个梯度扰动张量符号的差异（第2.3节），本文将本构贡献张量框架扩展到了应力梯度弹性领域（第3节）。为验证解析有效场方法的预测结果，本文引入了一种非局部谱快速傅里叶变换求解器（第4节）。该求解器作用于通过随机集体重排方法生成的含有椭球形不均匀性的体素化代表性体积元素上（第4.1节），从而能够实现应变梯度和应力梯度弹性下应力和应变的全场解析。随后，在第5节中，将基于本构贡献张量的有效场方法的结果与文献中的解以及非局部FFT求解器的结果进行了比较。

章节节选
使用本构贡献张量处理单一不均匀性问题
在本节中，首先借鉴Polyzos等人（2023）的研究思路，为经典弹性（第2.1节）和应变梯度弹性（第2.2节）推导出本构贡献张量。然后，在第2.3节中将其扩展到应力梯度弹性框架中。

广义弹性中的有效场方法
在广义弹性理论中，定义了用于表示刚度贡献的张量N?(p)（采用相应的S?应变或S?应力），进而可以针对三种最常用的有效场方法——非相互作用近似法、Mori–Tanaka法和Maxwell法——构建有效的宏观刚度C?(eff)表达式。这种统一公式的优点在于，有效场方法方程的经典结构保持不变，只有作为基础的本构贡献张量需要做出相应调整。

数值建模
本节介绍了用于与有效场方法进行比较的两阶段数值处理流程。具体而言，第4.1节“通过随机集体重排方法生成不含重叠椭球的代表性体积元素”和第4.2节“复杂结构的连续空间离散化”描述了生成含有椭球形不均匀性的代表性体积元素的方法（以及它们的特例：球形、圆柱形和硬币形不均匀性）。这些代表性体积元素随后会被用于非局部谱方法中。

案例研究及结果
本节展示了所研究的案例，直接将解析有效场方法预测的宏观特性与非局部FFT求解器得到的精确结果进行对比。这些模型在不同的几何形状以及不同的弹性相位对比度条件下都经过了测试。

结论
要准确预测先进异质材料的有效弹性特性，就需要具备能够解析复杂微观结构行为的多尺度均匀化框架。虽然经典连续介质力学能够考虑相位对比度和体积分数，但它本质上是与尺度无关的。因此，经典方法无法捕捉那些在不均匀性尺寸接近特定值时会对结构行为产生主导影响的尺寸效应，即强化效应和弱化效应。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究工作的已知财务利益或个人关系。

致谢
衷心感谢FWO研究基金会-弗兰德斯地区的财政支持（文件编号1239026N）。

E. Polyzos