基于模糊被动性的固定时间自适应模糊跟踪控制方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A fuzzy passivity approach to fixed-time adaptive fuzzy tracking control

　　摘要：现有的自适应模糊固定时间跟踪控制方法虽能确保闭环系统快速收敛，但在跟踪误差的L2范数方面的瞬态性能却不尽如人意。本文提出了一种模糊被动性方法来克服这一限制。从技术层面来看，我们定义了固定时间被动性的概念，并提出了一种模糊固定时间被动性控制方法来解决自适应模糊固定时间跟踪控制问题。该方法基于一种新的递归设计理念，即在每一步设计中构建新的误差系统与开关存储函数。对于每个误差系统，通过选择合适的信号作为被动误差系统的输入和输出，设计动态反馈控制以实现该系统的固定时间被动性。在最终设计步骤中，依据误差系统的固定时间被动性来确保系统的固定时间稳定性。研究表明，跟踪误差能在固定时间内渐近收敛到预定区间内，同时其L2范数瞬态性能也能得到保障。文中通过两个实例验证了所提出的方法与结果。

引言：有限时间控制相较于无限时间控制具有诸多优势，它不仅能确保控制任务在短时间内完成，还能对闭环系统的瞬态响应进行量化分析。有限时间稳定性指的是系统在有限时间内收敛到李雅普诺夫稳定平衡状态，这一概念最初由[1]提出，随后在[2]中针对自治系统进行了进一步研究。[3]则将[2]中的研究成果扩展到了非自治系统。基于[2]、[3]中提出的有限时间稳定性条件，已有大量研究致力于解决有限时间控制问题。在[4]中，通过状态反馈控制与动态输出反馈控制两种方法解决了非线性系统的有限时间控制问题。 [5]中提出了加入功率积分器技术以及一类积分李雅普诺夫函数的方法，用于设计非利普希茨连续镇定器，从而实现非线性系统的有限时间控制。 [6]引入了有限时间被动性概念，并提出了一种被动性方法来解决有限时间姿态控制问题。对于具有参数非线性的系统，[7]提出了基于反步法的自适应有限时间控制方法。而对于具有非参数非线性性的系统，[8]提出了有限时间实际稳定性判据，该方法将模糊逼近工具与自适应有限时间控制设计相结合，简单实用，已被广泛应用于多项有限时间控制研究中（如[9]、[10]、[11]、[12]、[13]）。尽管[8]取得了进展，但当系统状态接近原点时仍可能存在奇异性问题。为解决这一问题，[14]将指令滤波器与有限时间控制设计结合，以消除奇异性。固定时间稳定性是全局有限时间稳定性的延伸概念，由[15]首次提出，其收敛时间不受系统初始条件的影响。对于具有参数非线性的多输入多输出系统，[16]提出了一种自适应方法来解决固定时间控制问题。而对于具有非参数非线性性的系统，[17]提出了一种通用的自适应模糊实际固定时间控制方法。为解决[17]中的奇异性问题，[18]至[21]分别针对机器人系统、开关系统以及多智能体系统提出了固定时间模糊无奇异性控制设计。目前大多数针对非线性系统的自适应有限/固定时间控制设计（如[7]、[22]、[23]、[24]）虽能确保闭环系统具备良好的瞬态响应，但其控制设计与分析较为复杂，且要求非线性函数满足一定的增长条件。近年来提出的模糊自适应有限/固定时间控制方法（如[8]、[16]、[17]、[25]、[26]、[27]）则消除了上述限制，提供了一种简便的方法并给出了实现固定时间实际稳定性的稳定性分析。然而，在这些模糊方法中，自适应固定时间控制器中会设计一些分数阶函数，这可能导致奇异性问题。虽然已有一些有前景的解决方案（如[14]、[28]、[29]）试图避免奇异性问题，但这些方案通常依赖于动态面控制或指令滤波器技术，这类方法会引入滤波后的误差，从而降低系统的稳态性能。此外，包括上述方法在内的大多数自适应模糊固定时间控制方法都无法确保令人满意的L2范数瞬态性能，而实际上，要实现固定时间实际稳定性就需要做出这样的权衡。鉴于此，目前尚未有研究能够在不施加增长条件、不引入奇异性问题、也不引入滤波误差的情况下，确保系统同时具备良好的瞬态性能与稳态性能，这促使我们探索新的方法。本文提出了一种被动性方法来解决固定时间自适应模糊跟踪控制问题，其主要贡献如下：第一，提出了固定时间被动性的概念以及基于被动性的固定时间稳定性实现路径。我们为不确定的非线性系统定义了固定时间被动性概念（定义4）。据我们所知，这是首批从固定时间被动性属性而非直接基于李雅普诺夫不等式来建立固定时间稳定性的研究之一。这种输入-输出视角使得第3.2节能够进行瞬态性能分析。第二，提出了一种将适配过程与固定时间证明分离的双功能设计方法。自适应固定时间控制面临的主要难题在于，非保守不等式V˙(x,??)≤?aVp(x,??)?bVq(x,??)要求估计误差??在固定时间内消失，这一要求难以实现。为解决这一问题，我们设计了两种功能各异的函数：一种是用于确保闭环系统有界性的李雅普诺夫函数V(x,??)及其对应的更新规则；另一种是状态存储函数V*(x)，它能实现固定时间被动性、固定时间稳定性以及L2范数约束，这样即便系统的非线性特性无法用线性方式表达，也能得到形式简洁的无残差不等式V˙*(x)≤?a(V*)p(x)?b(V*)q(x)。第三，实现了固定时间收敛性与L2范数瞬态性能的同步保障。在上述基础上，通过递归设计，仅需一个在线更新的参数，就能确保跟踪误差在固定时间内收敛到预定区间[?λ1,λ1]内，同时还能得到跟踪误差的明确L2范数约束。现有的自适应模糊有限/固定时间方法（如[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[25]、[26]、[30]）很难同时实现这两点，它们往往只能给出保守的实际结果，还可能存在奇异性问题。为明确研究范围及基准方法的选取，表1和表2总结了现有文献中研究的系统类型以及各类代表性方法所能提供的保障。本文的研究对象属于类别(S3)的系统，对于这类系统，传统的固定时间控制方法[2]、[3]、[4]以及自适应固定时间控制方法[7]、[22]、[31]均无法直接应用，而自适应模糊固定时间控制方法[8]、[9]、[10]、[14]、[18]、[21]虽然可以应用，但也只能得到带有残差c的保守实际结果，且可能存在奇异性问题。本文的其余结构如下：第2节介绍预备知识与问题建模，第3节阐述主要研究成果，第4节给出仿真示例，第5节为结论部分。

章节片段：预备知识
考虑一个非线性系统：x˙=g(x)，x∈Ω?Rn，其中g: Ω → Rn是连续函数，且g(0)=0。设Ψ(t, x)为从t=0时x∈Ω出发的方程(1)的解。

定义1 [32]：如果对于任意初始状态x0∈Ω，都存在0 ≤ Tx < ∞，使得当t ≥ Tx时恒有Ψ(t,x0)=0，则方程(1)的平衡状态是有限时间稳定的。函数Tx(x0)=inf{Tx≥0:Ψ(t,x0)=0?t≥Tx}被称为方程(1)的设定时间函数。

定义2 [32]：如果一个系统的平衡状态既是有限时间稳定的，而且对所有x0∈Ω都有T(x0)<+∞，则称其为固定时间稳定的。集合Ω被称为……

自适应模糊固定时间被动性控制
本节提出了一种模糊固定时间被动性控制方法，并通过n步设计流程对其进行了详细阐述。在每一步中，我们首先设计一个误差系统Lk（k=1,…,n），确定误差输入Yk和调节输出γk。接着为系统Lk设计一个虚拟控制器αk，同时使用FLS θkTPk(χk)来处理控制设计中涉及的未知项。之后选择存储函数Vk，并证明从Yk到γk的映射具有被动性。在第n步中，完成整个系统的设计。

示例说明
本节通过两个实例来验证所提出的理论成果。

结论
在本文中，我们首先定义了固定时间被动性的概念，并提出了一种基于被动性的方法来解决自适应模糊固定时间控制问题。该被动性方法基于一种创新的递归设计理念，每一步设计都会构建新的误差系统与开关存储函数。对于每个误差系统，我们以参数估计误差作为输入，进而设计动态反馈控制，从而实现该误差系统的固定时间被动性。

作者贡献声明
Kaixin Lu：撰写——审稿与编辑，撰写——初稿，软件开发，方法论，研究实施，概念构思。Shuaishuai Han：撰写——审稿与编辑，概念构思。Haoyong Yu：监督指导，概念构思。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究工作的已知财务利益或个人关系。

Kaixin Lu | Shuaishuai Han | Haoyong Yu
同济大学控制科学与工程系，中国上海