eDDPM-polycube：一种用于六面体网格和体样条构造的扩展扩散方法

《Computer Aided Geometric Design》：eDDPM-polycube: An extended diffusion-based method for hexahedral mesh and volumetric spline construction

　　

摘要

多面体结构（polycube structure）为全六面体（all-hex）网格生成和等几何分析（isogeometric analysis, IGA）中的分析适用体样条构造提供了参数域。近期的基于学习的多面体生成流程提高了自动化程度，但在处理复杂CAD几何体时仍存在若干挑战。这些挑战包括基元几何体多样性有限、网格配置受限，以及随着基元集合和网格尺寸的增大，推理过程中基于亏格（genus）引导的上下文搜索成本不断增加。本文提出了扩展DDPM-Polycube（Extended DDPM-Polycube, eDDPM-Polycube），一种扩展的基于扩散的多面体构造方法，以解决上述局限性。首先，研究人员将基元集合从两种基元几何体扩展为三种，引入盲孔立方体（blind-hole cube）基元，从而改善对不改变全局亏格的局部孔洞特征的表征能力。其次，研究人员将网格配置从先前的设置扩展为更大的三维网格配置，从而提高了表征能力并减少了复杂几何体的映射畸变。第三，研究人员开发了一种亏格引导的上下文生成策略，并配合分层验证流程，在用户引导和自动化两种模式下均能实现稳健的上下文生成。一旦生成有效的多面体结构，该结构即可用于参数映射、全六面体控制网格生成和体样条构造。实验结果表明，所提出的方法在考虑的基元-网格框架内改善了表征能力、泛化性以及基于扩散的多面体生成的自动化程度，并支持面向复杂几何体IGA应用的六面体网格生成和体样条构造。

eDDPM-Polycube：扩展扩散方法驱动的六面体网格与体样条构造

**一、研究背景与动机**

等几何分析（isogeometric analysis, IGA）旨在通过统一计算机辅助设计（computer-aided design, CAD）与有限元分析（finite element analysis, FEA）中使用的样条基函数，实现几何表示与数值分析的一体化。然而，从表面模型构造分析适用的体样条（volumetric spline）仍是重大挑战。大多数工业CAD模型采用边界表示（boundary representation, B-Rep），将B-Rep曲面转换为高质量的全六面体（all-hex）控制网格及体样条在复杂几何体上仍存在困难。

研究人员此前与工业伙伴合作开发的CAD-to-IGA流程，采用质心Voronoi剖分（centroidal Voronoi tessellation, CVT）半自动构造多面体结构，并通过参数映射和八叉树细分生成全六面体控制网格，再转换为截断层次样条（truncated hierarchical spline, TH-spline）用于IGA。但该流程存在关键缺陷：对于具有复杂表面特征的B-Rep模型，基于CVT的表面分割并不总能对应有效的多面体结构，通常需要修正程序以满足几何和拓扑约束。

研究人员的第一个基于学习的尝试DL-Polycube采用模板映射策略，通过预测多面体结构类别并引导表面分割，提高了自动化程度。然而，该模板方法严重依赖训练覆盖范围和模板库的丰富程度，当拓扑结构或底层多面体结构超出训练分布时，预测精度可能下降。

研究人员的第二个尝试DDPM-Polycube采用基于变形的学习策略，通过去噪扩散过程建模从输入几何体到对应多面体结构的变形。尽管DDPM-Polycube在最多亏格2的模型上验证了有效性，但仍存在三个重要局限：第一，基元集合受限，仅包含亏格0的立方体和亏格1的通孔立方体（through-hole cube, THC），无法有效表征不改变全局亏格的局部孔洞特征如盲孔特征；第二，网格配置受限，主要在一维网格配置上验证，不足以应对许多工程几何体，强行将复杂几何体压缩到两个单元中会导致较大的映射畸变和拉伸的六面体单元；第三，推理过程中上下文生成效率低下，在扩展的基元-网格配置下，直接遍历候选上下文在计算上变得低效。

**二、研究内容与核心贡献**

针对上述局限性，研究人员提出了扩展DDPM-Polycube（eDDPM-Polycube）方法，做出三项核心贡献：第一，引入盲孔立方体（blind-hole cube, BHC）基元，将基元集合从两种扩展为三种，有效表征不改变全局亏格的局部孔洞特征；第二，从一维网格配置扩展到三维网格配置，包含12个单元，提高了表征能力并减少了映射畸变；第三，开发了亏格引导的上下文生成算法，支持用户引导和自动化两种模式，并采用两阶段分层验证模块筛选无效候选。

该论文发表在《Computer Aided Geometric Design》。

**三、关键技术方法**

研究采用基于去噪扩散概率模型（denoising diffusion probabilistic model, DDPM）的变形学习方法。输入几何体被解释为具有累积小尺度变形的拓扑一致多面体结构，逆向扩散过程逐步去除这些变形以恢复目标多面体结构。基元集合包含10个轴向对齐类别（立方体1种、THC 3种轴向变体、BHC 6种方向变体），在网格上装配。上下文编码采用132维单元级独热（one-hot）向量。几何表示将点云转换为三通道张量，通过固定块状布局保持单元对应关系。自动化模式采用临时四面体化、子区域划分、局部亏格计算、局部上下文推理和分层验证（包括网格占用一致性检查GOCC和模板竞争验证TCV）来构建全局上下文。实验在配备双Intel Xeon Platinum 8458P CPU、256 GB内存和NVIDIA L20 GPU的工作站上进行。

**四、主要研究结果**

**4.1 扩展基元和网格上的训练性能**

研究在扩展基元集合和三维网格配置下训练eDDPM模型，采用500个时间步、批量大小128、500个训练轮次，初始学习率配合线性衰减策略，Adam优化器，训练约35小时。训练损失整体平稳下降，最终100轮仍平滑递减，表明模型稳定收敛。

**4.2 用户引导上下文和部分约束下的推理**

用户可提供完整132维单元级独热上下文向量或部分约束（各基元数量与空间分布）。亏格一致性检查能检测拓扑不匹配并阻止扩散过程。用户指定体积分割比例时，生成的多面体结构与输入几何体一致。用户引导模式在指导通过检查时通常比全自动模式更高效，因为减少了逆向扩散尝试和候选验证步骤。

**4.3 自动化上下文生成下的推理**

全自动模式对输入形状进行临时四面体化并划分为子区域，对每个子区域提取边界表面、计算亏格、限制局部候选基元类别，运行局部逆向扩散生成候选几何体，经GOCC和TCV验证后聚合为全局132维上下文。该方法避免了直接遍历全局候选空间，同时生成有效的拓扑一致多面体结构。

**4.4 分层验证的有效性**

GOCC通过检查各单元点数量和空间范围是否与上下文中编码的占用标签匹配，作为快速粗过滤器。TCV通过惩罚倒角距离（penalty Chamfer distance, PCD）要求目标模板是最近邻竞争者，确认基元类别和轴向方向变体。在Triple-Hole Vertical Ring Bracket模型上的阶段分析表明，理论全局上下文空间为11¹²种可能分配，经指定单元激活和亏格约束后缩减至189个候选，局部验证后减至36个，全局GOCC通过率27.78%，全局TCV通过率60%，最终获得6个验证通过的上下文。

**4.5 不同亏格几何体的性能**

逆向扩散过程可视化显示，模型从输入几何体出发逐步去除变形并恢复拓扑一致的多面体表示。亏格0模型包含简单立方体状物体和含不改变全局亏格的孔洞特征模型，BHC基元能显式表征盲孔区域。亏格1模型生成包含至少一个THC单元的多面体，孔洞轴方向与特征主导方向一致。亏格2及以上模型需捕获多个独立通孔特征并组装多个占用单元。除Faceted Pot模型外，所有测试模型的上下文配置均不在训练数据集中，表明方法能为新的基元-网格组合生成有效多面体结构。

**4.6 消融研究**

在Spline Link模型上的消融实验表明，当盲孔特征未分配BHC基元标签时，生成的多面体无法保留预期的局部盲孔特征，平均倒角距离为0.2785，最大偏差为0.9126；分配BHC+Z标签后，平均倒角距离降至0.0292，最大偏差降至0.0842，表明BHC基元为建模样式不改变全局亏格的局部孔洞特征提供了重要先验。推理效率分析显示，简单组（1-3个占用单元）平均851个全局上下文候选，推理时间126.9秒，验证通过率23%；中改组（4-6个单元）平均1676个候选，901.4秒，8.4%通过率；复杂组（7个以上单元）平均509,812个候选，1015.7秒，0.031%通过率。

**4.7 全六面体控制网格生成和体样条构造**

生成的多面体结构作为参数域，通过参数映射和自适应八叉树细分生成全六面体控制网格，采用网格质量改进技术包括pillowing、平滑和基于Jacobian的优化。基于优化后的控制网格，使用TH-spline3D构造分析适用体样条，在规则区域保持C²连续性，在奇异点周围保持C⁰连续性。十个代表性模型的缩放Jacobian直方图显示大多数六面体单元集中在高品质范围，最小缩放Jacobian值在0.02至0.66之间。

**4.8 与现有方法的比较**

相比传统基于多面体的网格生成流程（如HexGen、HexDom），eDDPM提高了自动化程度。相比DL-Polycube模板分类方法，扩散方法通过去噪过程建模变形，减少了对固定模板库的依赖。相比DDPM-Polycube，eDDPM扩展了基元集合、网格配置、上下文编码和推理策略。相比PolycubeNet直接生成点云的方法，eDDPM强调可解释的基元装配和显式拓扑验证。

**五、讨论与结论**

研究提出的eDDPM方法在三个方面扩展了DDPM-Polycube流程：引入BHC基元表征局部盲孔特征；采用三维网格配置提高表征能力；开发亏格引导上下文生成策略配合分层验证模块。实验证明该方法能生成拓扑和标签一致的多面体结构，可直接作为参数域用于全六面体控制网格生成，支持后续TH-spline3D构造和Bézier提取用于IGA。

当前方法仍存在若干局限：固定网格配置和有限基元集合可能不足以应对高度复杂的工业几何体；自动化上下文生成依赖临时四面体化和体积分割策略的质量；分层验证模块在生成后使用而非作为逆向扩散过程中的显式约束；扩散推理仍比直接预测方法计算开销更大。未来研究方向包括扩展自适应或层次化网格、丰富基元类别、将验证信息融入逆向扩散过程、以及扩展到六面体主导或混合网格生成等领域。