一种基于物理原理的框架，用于解决功能梯度材料中的三维非线性瞬态热传导问题

《International Journal of Heat and Mass Transfer》：A physics-informed framework for solving three-dimensional nonlinear transient heat conduction problems in functionally graded materials

　　摘要：本研究提出了一种基于时空径向基函数的光照知神经网络框架，该框架将光照知神经网络与径向基函数配置方法相结合，用于解决功能梯度材料中的非线性瞬态热传导问题。与传统四维时空坐标不同，该框架采用极坐标系中的二维角度坐标作为全连接神经网络的输入，从而降低了输入维度。同时，通过结合径向基函数公式、自动微分和反向传播技术，基于物理信息——包括控制方程、初始条件和边界条件——构建了损失函数。此外，所提出的方法首次运用光照知神经网络框架自动优化时空径向基函数配置方法中源点的空间分布及其对应的形状参数，以提高算法性能。数值结果表明，与传统的径向基函数配置方法和光照知神经网络相比，所提方法的精度更高。在解决复杂几何形状下的非线性瞬态热传导问题时，该光照知神经网络框架也表现出良好的性能，可作为此类问题的有效求解工具。

引言：功能梯度材料是一种具有巨大应用潜力的先进工程材料。这类材料在特定空间方向上，其成分、微观结构以及相应性能呈现连续的梯度变化，因此用它们制造的部件能够同时具备多种优异性能[1]、[2]、[3]、[4]、[5]。此外，它们还能有效解决复合材料中常见的热膨胀不匹配和界面分层等问题。正因如此，功能梯度材料已被广泛应用于航空航天、生物医学、电子工程和机械工程等领域，尤其是在为极端环境制造特殊部件方面[6]、[7]。随着功能梯度材料在这些领域的应用日益广泛，对其热传导行为的分析也受到了更多关注[8]、[9]、[10]、[11]、[12]。然而，在极端工作条件下，进行此类分析尤为困难，因为要获得可靠的计算结果，往往需要考虑材料参数的非线性特性[13]、[14]、[15]。目前，尚未建立起通用的理论框架来解决与功能梯度材料相关的非线性热传导问题。而且，对于相应的非线性偏微分方程，通常也不存在解析解，因此数值模拟成为此类分析的主要手段。尽管传统数值方法在解决功能梯度材料中的瞬态热传导问题时已取得了一定成果，但它们也存在局限性。例如，以有限元法为代表的基于网格的数值方法经过多年发展，已在解决特定工程问题方面展现出独特优势[16]、[17]、[18]、[19]、[20]。但在用于解决功能梯度材料中的此类非线性瞬态热传导问题时，这些方法往往需要复杂的网格生成和多次数值迭代，大大增加了求解的复杂性。为避免网格生成带来的难题，包括广义差分法、基本解法和无单元伽辽金法在内的一系列无网格算法已被成功应用于非线性问题，显示出在分析功能梯度材料的瞬态热传导方面的巨大潜力[21]、[22]、[23]。近十年来，由于具有无网格特性且能嵌入物理约束，光照知神经网络已成为一种用于求解时间相关偏微分方程的强大计算框架[24]、[25]、[26]、[27]、[28]。光照知神经网络还是一种高度灵活的深度学习框架，可与传统数值算法无缝集成，用于解决复杂问题[29]、[30]、[31]、[32]、[33]。不过，在解决高维问题时，光照知神经网络中所需的配置点数量会随着维度增加而呈指数级增长，从而导致计算成本大幅上升[24]、[34]、[35]。时空径向基函数配置方法则是另一种用于解决瞬态问题的有前景的方法[36]、[37]、[38]、[39]。由于其无网格特性，它非常适用于复杂几何形状的问题。同样，一些学者也在拓扑优化领域应用了径向基函数，通过径向基函数的线性组合来参数化描述结构几何形态的等值面函数[40]、[41]，这体现了这一数学工具广泛的跨领域适用性。然而，在径向基函数配置方法中，源点的形状参数和空间位置仍主要依靠经验来确定，而这些参数会显著影响该方法的数值精度。最近，有一种新的光照知神经网络框架被提出，用于解决各向异性材料中的二维热传导问题，且表现十分出色[42]。在此基础上，本文将该框架扩展到功能梯度材料中的三维瞬态非线性热传导问题，这类问题相较于二维线性稳态问题存在两个根本性的挑战。首先，对于非线性问题，热导率会随温度变化，这使得配置系统的系数矩阵成为未知温度场的函数，无法像传统方法那样直接求解Aα=B。此外，时空耦合还会导致出现四维解空间，而标准的光照知神经网络需要越来越多的训练点才能处理这种空间。为应对上述两个挑战，本文首先利用神经网络通过梯度下降法驱动参数更新，替代了传统方法中每次迭代都需构建雅可比矩阵并求解线性系统的方式，从而避免了反复求解线性系统所带来的计算开销。另外，为应对时空耦合带来的维度压力，本文引入了时空径向基函数，这样无需逐步进行时间离散化即可统一处理瞬态问题，进而消除了时间离散化过程中固有的累积误差。同时，本文采用角度坐标作为神经网络的输入，将输入维度从四维降低到了二维。在构建损失函数时，考虑到各个残差项的量级可能存在数个数量级的差异，本文根据每个项的初始大小为其分配一个系数，以此确保在训练初期各项的贡献较为均衡，防止某个项主导优化过程，进而提高解决方案的精度和收敛稳定性。本文采用的方法有效性将通过多个数值算例进行验证，并将其性能与有限元法、光照知神经网络以及其他代表性方法的性能进行比较。本文的其余结构如下：第2节建立了功能梯度材料中非线性瞬态热传导问题的数学模型；第3节详细介绍了基于时空径向基函数的光照知神经网络框架，重点阐述了径向基函数配置方法中关键参数的优化机制；第4节通过大量数值算例，对比了所提方法与有限元法、光照知神经网络以及其他传统方法的性能，从而验证了其有效性及计算优势；最后，第5节总结了本文的主要研究成果，并指出了未来研究的方向。

问题陈述：具有热源且热导率随温度变化的函数梯度材料中三维非线性瞬态热传导问题的控制方程如下：ρC?T(x,τ)?τ=??xi(D(x,T)?T(x,τ)?xj)+Q(x,τ)，其中x∈Ω，τ∈[τ0,τf]。在上述方程中，Ω表示空间域，ρ为质量密度，C为比热容，D(x,T)表示热导率，在非线性问题中热导率会随温度变化。x=(x1,x2,x3)表示各点的空间坐标，T(x,τ)表示温度场。

时空径向基函数配置方法：径向基函数配置方法是一种成熟且极具前景的无网格数值技术。它的核心原理是利用仅取决于离散点之间欧几里得距离的径向基函数，来插值并近似计算计算域内的未知场变量。对于瞬态热传导问题的数值求解，未知温度场T(x,τ)可表示为径向基函数的线性组合，其表达式如下：T(x,τ)=∑n=1NSαn?(rn)。

数值结果与讨论：在本节中，我们选取了一个几何结构简单的功能梯度材料瞬态热传导问题的数值算例，以及两个几何结构复杂的此类问题的算例。为体现所提出的时空光照知神经网络框架的优越性，我们将该方法得到的数值结果与有限元法、传统径向基函数配置方法以及光照知神经网络的计算结果进行了比较。有限元法是一种经典的数值方法……

结论：本文提出了一种基于时空径向基函数的光照知神经网络框架，用于解决功能梯度材料中的三维瞬态非线性热传导问题。该框架通过神经网络优化径向基函数公式中源点的空间分布及其形状参数，从而实现更灵活地选择源点坐标和形状参数。这解决了传统径向基函数配置方法依赖经验选择参数的问题。

作者贡献说明：颜谷负责方法论设计、资金获取以及概念构思；邱林负责监督工作、资源协调、方法论研究及资金获取；王嘉宇负责文章审阅与编辑、初稿撰写、结果可视化、方法论研究及概念构思；纪琳负责文章审阅与编辑、项目管理及概念构思；赵胜东负责文章审阅与编辑、监督工作以及形式化分析；王发杰负责结果验证、软件使用、资源协调、方法论研究及资金获取。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究工作的已知财务利益或个人关系。

致谢：本文的研究工作得到了中国国家自然科学基金（项目编号为12302263、12272239、12422207、12472203和12572225）、中国山东省提升工程科技青年人才计划（项目编号SDAST2025QTA060）、山东省自然科学基金（项目编号ZR2023QA013、ZR2023YQ005和ZR2022YQ06）以及江苏省青蓝工程（项目编号2025）的支持。

王嘉宇|邱林|王发杰|赵胜东|纪琳|颜谷
中国青岛市266071，青岛大学机电工程学院，智能电动汽车动力系统国家工程研究中心