用于安全通信的不确定离散时间分数阶四元数值神经网络的事件触发型滞后拟投影同步

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Event-triggered lag quasi-projective synchronization of uncertain discrete-time fractional-order quaternion-valued neural networks for secure communication

　　摘要：本文采用直接法研究具有时变延迟和不确定参数的离散时间分数阶四元数值神经网络中的滞后拟投影同步问题。该方法无需对网络进行分解，能够保留神经网络的固有结构，并简化理论分析。首先，基于四元数理论和nabla k-拉普拉斯变换，在nabla分数阶框架下建立了两个新的不等式，这是对以往研究的显著扩展。接着，设计了静态事件触发控制与动态事件触发控制以实现LQPS目标，并利用所建立的不等式推导出确保DFOQVNNs实现LQPS的充分条件。最后通过数值示例验证了理论结果的准确性。此外，还展示了该事件触发控制技术在图像安全通信中的应用及其有效性。

引言：实值神经网络和复值神经网络在信息加密、医学诊断、流体力学等诸多领域展现出重要作用[1]、[2]。鉴于其广泛应用，学者们更关注其动态行为，如稳定性与状态估计[3]、[4]。然而，这类网络在处理卫星控制、天气预报、夜视等实际场景中的多维问题时存在局限[5]、[6]。为更有效地解决这些多维问题，学者们将包含一个实部三个虚部的四元数引入神经网络，构建出四元数值神经网络。由于四元数乘法不具有交换性，通常通过分解法和直接法来研究QVNNs[7]、[8]、[9]、[10]，而直接法能够整体处理QVNNs，无需将其拆分为实值或复值神经网络，从而简化理论分析并保留网络的固有连接结构。分数阶微积分打破了传统微积分中阶数仅为整数的限制，允许阶数为实数。相关研究表明，与常规整数阶模型相比，分数阶模型能更准确描述现实世界系统[11]。此外，由于神经网络中的突触具有长期记忆等分数阶特性，将分数阶微积分引入QVNNs构建分数阶四元数值神经网络具有重要的实用价值。目前，FOQVNNs已应用于数据安全、云数据处理等领域[12]。目前多数研究集中在连续时间FOQVNNs上[8]、[12]、[13]、[14]、[15]，但实际应用中往往涉及离散时间信号，且计算机模拟需要离散步骤进行处理。虽然对连续时间FOQVNNs进行数值离散化可能会引入误差，但离散时间神经网络则不存在此类问题。因此，从理论与实践角度而言，研究DFOQVNNs的动态特性至关重要。遗憾的是，关于DFOQVNNs动态特性的研究仍处于初步阶段[16]、[17]、[18]、[19]、[20]。陈等人实现了分数阶离散时间神经网络的完全同步[16]，而在[18]中则研究了DFOQVNNs的拟同步问题。同步是网络动力学中的关键问题，因其可在疾病预防、自主导航等领域发挥重要作用。研究人员提出了多种同步方式，包括投影同步[17]、拟同步[18]以及拟投影同步[18]、[19]、[21]。其中，拟投影同步适用于因干扰而无法实现完全同步的现实系统，同时还能通过缩放因子实现快速系统通信。在[19]中，张等人通过非线性反馈控制研究了离散时间分数阶神经网络的拟投影同步问题；基于此，[22]又通过线性反馈控制研究了DFOQVNNs的拟投影同步问题。[19]指出，在拟投影同步研究中，ρ范数具有明显优势，而q范数在DFOQVNNs中的应用仍较为缺乏。为填补这一空白，本文推导出了引理5以研究DFOQVNNs的LQPS问题。此外，[18]、[21]中的核心引理由于参数限制过多而显得过于保守，这一研究缺口促使我们推导出引理6。系统间存在信号传输延迟是不可避免的，例如在通信系统中，接收器在t时刻接收到的信号实际上是发射器在t??时刻发出的信号。目前，学者们主要关注延迟同步问题[23]、[24]、[25]，何等人研究了DFOQVNNs的延迟投影同步问题[23]，但少数关于拟投影同步的研究考虑了时间延迟的影响。Vipin等人研究了耦合动力系统的LQPS问题[25]，这一不足也促使我们研究在时间延迟存在情况下如何通过拟投影同步优化DFOQVNNs的性能。学者们设计了多种控制策略来实现同步目标，如线性控制、非线性控制[16]、[17]、[18]、[19]、[22]，尽管这些控制器在理论上可行，但由于控制器数据量过大可能导致信息过载，难以在实际系统中实现。幸运的是，事件触发控制可通过依据特定触发条件而非持续更新控制器来降低计算负荷，近年来这类控制方法越来越受到重视[26]、[27]、[28]、[29]、[30]。在[26]中，荣等人通过事件触发控制研究了离散时间神经网络的拟同步问题，基于此[28]又通过量化事件触发控制研究了该问题。在[29]中，作者提出了一种自适应事件触发方案，旨在实现非线性系统的均匀有界性。在[27]中，Nguyen等人考虑了分数阶模型的事件触发有限时间耗散控制。因此，为节省控制资源，有必要将事件触发控制应用于DFOQVNNs以实现LQPS。据我们所知，目前尚无关于通过事件触发控制实现DFOQVNNs LQPS的研究。基于以上分析，自然会产生以下问题：（1）如何设计事件触发控制方案以实现DFOQVNNs的LQPS？（2）能否对该控制方案进行优化以进一步减轻计算负担？（3）应采用何种方法研究DFOQVNNs的LQPS？本文主要围绕DFOQVNNs的LQPS问题展开研究，其主要贡献如下：• 本文采用直接法进行理论分析，无需进行任何分解，相较于[7]、[9]、[10]，该方法能简化理论结果并保留网络的固有连接结构。• 本文构建的Lyapunov函数不同于传统的1-范数和2-范数，它是基于更为通用的q-范数，比以往的研究结果[18]、[19]、[21]、[22]更具适用性。• 本文推导出了两个不等式（引理5-6），它们对于实现DFOQVNNs的LQPS目标至关重要。与[22]、[31]相比，引理5的探索更为深入，它将数值范围从[31]中的实数扩展到四元数，同时还将[22]中的条件q=1扩展为q＞1。而[18]、[21]中的核心引理实际上是引理6的特例，因此相比前述文献，这些引理具有更强的适用性和实用性。• 基于新引理和事件触发控制策略，本文推导出了确保DFOQVNNs实现LQPS的充分条件，同时还设计了动态事件触发控制以进一步降低计算负荷。此外，还在图像安全通信领域展示了该事件触发控制技术在DFOQVNNs中的应用。

符号说明：R、H、Hm分别表示实数集、四元数集以及m维四元数值向量集合，其中m为正整数。c?表示c=cR+cIi+cJj+cKk∈H的共轭，|c|表示c的1-范数，‖ψ(t)‖定义为∥ψ(t)‖=(∑i=1m|ψ?(t)|q)1/q。M={1,2,...,m}，(kN)t0={t0,t0+k,t0+2k,...}，其中t0∈R且k＞0。

章节节选：

初步知识

定义1 [32]：假设k＞0且θ≠?1,?2,?3,...，则θ阶k上升函数表示为tkθˉ=kθΓ(tk+θ)Γ(tk)，t∈(kN)k，当k＜0时tkθˉ=0。

定义2 [32]：θ阶nabla分数阶k单项式K?(t, 0)表示为K?(t,0)=tkθˉΓ(1+θ)，t∈(kN)k，且K?(0,0)=0。

定义3 [32]：假设h(t):(kN)0→R且?＞0，则?阶k求和表示为0?k??h(t)=k∑j=1tkK??1(t,jk?k)h(jk)，t∈(kN)k，其中K??1(t,jk?k)=k??1Γ(t?jk+kk+?)Γ(?)Γ(t?jk+kk)，且0?k??h(0)=0。

定义4 [32]：假设h(t):(kN)0→R且?∈(0, 1)，则?阶nabla Caputo差分表示为0?k?h(t)=0?k?(1??)?kh(t)。

模型描述：我们考虑一种具有不确定参数和时变延迟的DFOQVNNs作为驱动系统，其模型表示为0?k?ζ?(t)=?δ?ζ?(t)+∑?=1m(r??+?r??(t))f?(ζ?(t))+∑?=1m(d??+?d??(t))g?(ζ?(t?π(t)))+θ?，其中?∈(0, 1)，t∈(kN)k，?∈M，ζ?(t)∈H表示第?个神经元的状态，δ?＞0为自反馈权重，π(t)∈(kN)0是具有上界π0∈(kN)k的有界时变项，r??∈H和d??∈H分别表示在时间t和t?π(t)时第?个神经元与第?个神经元之间的连接权重，△r??(t)∈H。

主要结果：在本节中，我们基于直接法研究了在SETC和DETC条件下DFOQVNNs的LQPS准则。

定理1：在假设1-2成立的前提下，若存在常数θ＞1，使得η=η1?θη2∈(λ,λ+k??)，其中η1=min?∈M??>0，η2=max?∈Mα?>0，φˉ=max?∈Mφ?，{??=?(q?1)|1??|Y??∑?=1m(q?1)B?(|d??|+|d¨??|)?∑?=1mK?(|r??|+|r¨??|)?∑?=1m(q?1)K?(|r??|+|r¨??|)?∑?=1m(q?1)(1+|?|)[S?(|r??|+|r¨??|)+(|d??|+|d¨??|)W?]+φ?+qδ?，φ2=∑?=1m(|1??|Y?+∑?=1m...

数值仿真：在本小节中，我们通过MATLAB中的数值仿真来验证所提理论的可靠性与有效性。对于任意c=cR+cIi+cJj+cKk∈H，可用(cRcIcJcK)表示c，而cRsin(t)+cIsin(t)i+cJsin(t)j+cKsin(t)k则可用[cRcIcJcK]表示。

示例1：设定?=0.77，m=3，κ=0.1，τ=0.1，此时DFOQVNNs可表示为{0?k0.77ζ?(t)=?δ?ζ?(t)+∑?=13(r??+?r??(t))f?(ζ?(t))+∑?=13(d??+?d??(t))g?(ζ?(t?π(t)))+θ?，0?k0.77ξ?(t)=?δ?ξ?(t)+∑?=13(r??+?r??(t))f?(ξ?(t))+∑?=13(d??+?d??(t))g?(ξ?(t?π(t)))+θ?+F?(t)，其中?=1。

结论：本文主要研究了DFOQVNNs的LQPS问题，严格证明了两个新的引理，这些引理大大拓展了原有研究成果。基于这些新引理，本文推导出了若干确保DFOQVNNs实现LQPS的充分条件。此外，所采用的研究方法能够简化理论结果并保留网络的固有连接结构，而这些控制策略则有助于节省更多的通信资源。值得注意的是，神经网络之间的耦合关系也值得进一步探讨。

CRediT作者贡献说明：魏薇薇：写作——审阅与编辑、方法论；王振杰：写作——初稿撰写、形式分析；张海：研究调查、概念构思；陈定远：结果验证、监督指导；曹金德：可视化处理、资金筹集。

利益冲突声明：作者声明不存在可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

魏薇薇 | 王振杰 | 张海 | 陈定远 | 曹金德
中国安庆市安庆师范大学数学物理学院，邮编246133