《Cryogenics》：Closed-form solution for mutual inductance: a fast analytical calculation method based on the biot-savart law for superconducting electrodynamic suspension trains
编辑推荐：
•本研究聚焦于超导电动悬浮列车。•基于毕奥-萨伐尔定律，推导出了互感量的闭式解。•该方法显著提升了实时仿真的计算效率。•解决了在线仿真中互感量计算的瓶颈问题。引言近年来，由于超导电动悬浮列车在悬浮和导向方面具有自稳定性、较大的悬浮间隙以及较高的升阻比，其在高速及超高速轨道交通领域
- •
本研究聚焦于超导电动悬浮列车。
- •
基于毕奥-萨伐尔定律，推导出了互感量的闭式解。
- •
该方法显著提升了实时仿真的计算效率。
- •
解决了在线仿真中互感量计算的瓶颈问题。
引言
近年来，由于超导电动悬浮列车在悬浮和导向方面具有自稳定性、较大的悬浮间隙以及较高的升阻比，其在高速及超高速轨道交通领域受到了越来越多的关注[1]。已有研究证明了该列车在600公里/小时速度下的可行性[2]，而日本的L0型超导电动悬浮列车更创造了603公里/小时的轨道交通速度纪录[3]。
如图1[4]所示，超导电动悬浮列车的悬浮与导向是通过安装在转向架上的移动式超导线圈与铺设在轨道上的悬浮/导向线圈之间的电磁耦合来实现的。为了实现对这类列车的实时仿真、控制、分析及优化，构建一个精确且高效的模型至关重要。由于车载超导线圈与悬浮/导向线圈之间的互感量是描述二者电磁耦合的关键参数[5]，其计算效率也就成为了整个超导电动悬浮列车模型计算效率的主要瓶颈（详细内容见第4.2节）。
目前用于计算超导电动悬浮列车中超导线圈与悬浮/导向线圈之间互感量的方法——以下简称为超导-悬浮/导向互感量——可主要分为三类[1]、[5]、[6]：（i）有限元法；（ii）基于诺伊曼公式的线积分法；（iii）空间傅里叶法。
[7]、[8]、[9]采用有限元法来计算超导-悬浮/导向互感量，并进一步建立了超导电动悬浮列车的动力学模型。他们实现了对该互感量以及列车动力学的高精度计算与仿真。[5]、[10]、[11]则对线圈进行数值离散化，再通过线积分并运用诺伊曼公式计算离散单元间的互感量，最终得到总的超导-悬浮/导向互感量，从而在保证精度的同时提升了计算效率。[6]、[12]、[13]同样对线圈进行离散化，然后应用空间傅里叶法分析超导线圈的空间磁场分布。他们通过求解磁势和磁通密度的傅里叶表达式，对悬浮/导向线圈上的磁通密度进行积分，再将结果除以超导线圈中的电流，从而得到了高精度且高效的计算结果。
尽管上述三种方法精度很高，但由于以下两个原因，它们仍无法满足超导电动悬浮列车的实时仿真与控制需求：
- i.
这三种方法都存在计算效率方面的限制，无法为实时仿真与控制提供即时的超导-悬浮/导向互感量计算结果。有限元法由于需要处理网格划分和求解器运算，计算负荷较大，速度相对较慢。而基于诺伊曼公式和空间傅里叶技术的方法则本质上需要反复计算多个数值积分，且不存在该互感量的闭式表达式。此外，提高线圈的离散化精度会导致计算时间呈快速非线性增长。
- ii.
超导-悬浮/导向互感量主要取决于列车的瞬时运动状态。原则上，对于每种可能的运动状态，都可以预先计算出对应的互感量并存储起来。但在实际运行中，列车的运动不可避免地会受到轨道不平顺等干扰因素的影响，因此无法提前穷尽所有可能的瞬时状态。换言之，为在线仿真与控制所需要的所有状态预先计算并存储互感量值是不现实的。
鉴于现有方法的局限性，受[14]、[15]研究的启发——他们曾运用毕奥-萨伐尔定律计算超导直线同步电机和无线电力传输中线圈间的互感量——本文提出了一种基于毕奥-萨伐尔定律的快速解析方法，能够为超导-悬浮/导向互感量给出闭式解。本研究的一个重要贡献在于证明了基于毕奥-萨伐尔定律可以严格推导出该互感量的闭式解，同时还提供了完整的解析推导过程，据我们所知，此前的研究并未有过相关报道。该方法大幅降低了计算复杂度，使得无需牺牲过多精度即可实现超导-悬浮/导向互感量的在线计算，因此可应用于超导电动悬浮列车的实时仿真与控制中。
需要指出的是，虽然[14]、[15]使用了毕奥-萨伐尔定律来计算线圈间的互感量，但这些研究并未涉及超导电动悬浮列车中的超导-悬浮/导向互感量，而且他们得到的解析公式仍然包含多个积分，无法推导出闭式解。
本文的结构如下：第2节介绍了超导电动悬浮列车的具体结构与工作原理，以及文中使用的定义和符号。第3节提出了基于毕奥-萨伐尔定律的快速解析方法来计算超导-悬浮/导向互感量，并推导出了相应的闭式表达式。此外，还将该方法的计算效率与空间傅里叶法的效率进行了比较——空间傅里叶法已经过与有限元法的对比验证，被普遍认为是现有方法中计算效率最高的[1]、[6]。第4节展示了该解析方法的仿真结果，并将其与空间傅里叶法和有限元法得到的结果进行了对比。同时，还通过对该方法在超导电动悬浮列车实时动态仿真中的应用，进一步凸显了其优势。最后，第5节给出了结论。
章节要点
超导电动悬浮列车的基本概念与系统描述
本文采用了我们之前研究[16]中提到的超导电动悬浮列车结构，该结构与[4]中的类似。如图1、图2所示，这种列车由一个转向架组成，转向架的左右两侧各装有四个超导线圈，还有一个车体，以及连接二者的一套二级悬挂系统，整个装置被约束在U形轨道上移动。车载超导线圈与推进线圈共同构成线性电机，从而提供
互感量的解析计算方法
本节提出了一种基于毕奥-萨伐尔定律的快速解析方法，用于计算超导线圈与悬浮/导向线圈之间的超导-悬浮/导向互感量，并给出了相应的闭式表达式。
具体而言，该解析方法首先根据毕奥-萨伐尔定律计算超导线圈处的磁场，也就是空间中任意一点的磁通密度。然后，根据计算得到的磁通密度，进一步求出穿过悬浮/导向线圈的磁通量。
实验部分
在本节中，通过仿真实验对所提出的超导-悬浮/导向互感量计算方法进行了评估，并与现有方法进行了比较。
针对第1节中提到的现有方法的两个局限性，本节的实验被分为两部分，用以证明所提方法的有效性：
- (i)
为了验证所提模型的准确性，需使用第3节中提出的解析方法计算出的互感量结果来进行检验。
结论
本文提出了一种基于毕奥-萨伐尔定律的快速解析方法，用于计算超导电动悬浮列车中的超导-悬浮/导向互感量。该方法推导出了该互感量的闭式解，相比现有方法大幅提升了计算效率，从而使得超导电动悬浮列车的实时动态仿真成为可能。
本研究的一个重要贡献在于证明了超导-悬浮/导向互感量的闭式解是可以严格推导出来的
作者贡献说明
刘林峰：文章撰写——审阅与编辑、文章撰写——初稿、结果验证、方法论、形式化分析、概念构思。赵一杰：文章撰写——审阅与编辑、结果验证、研究调查、形式化分析。董伟：文章撰写——审阅与编辑、结果验证、项目管理、方法论。叶浩：文章撰写——审阅与编辑、研究指导、资源协调、资金筹集。
利益冲突声明
作者声明，他们不存在任何可能影响本文研究结果的已知利益冲突或个人关系。
Linfeng Liu|Yijie Zhao|Wei Dong|Hao Ye
