一种用于数字孪生应用中基于导数信息的高斯过程替代模型的流式稀疏乔列斯基方法

《Journal of Computational Physics》：A Streaming Sparse Cholesky Method for Derivative-Informed Gaussian Process Surrogates Within Digital Twin Applications

　　摘要
数字孪生技术旨在模拟特定物理资产的行为，其模型可以是高精度的基于物理的模型，也可以是替代模型。相较于多物理场模型，高精度替代模型更受青睐，因为它们能够实时预测物理孪生的未来状态。为使数字孪生模型与特定的物理孪生保持同步，需利用该物理孪生在运行中的数据对模型进行更新。本文结合并拓展了多项现有的替代模型相关技术，旨在展示一种端到端的数字孪生解决方案，用于预测飞机结构（即物理资产）的性能。为此，我们扩展了高斯过程模型，引入导数数据以提高精度，并通过动态更新机制实时纳入物理孪生数据。不过，引入导数数据会带来协方差矩阵维度大幅增加的问题。我们通过改进的动态稀疏乔列斯基线性系统求解器解决了这一难题。数值实验表明，引入导数数据的稀疏乔列斯基高斯过程方法在动态数据补充后能生成更精准的模型。最后，我们在数字孪生框架内展示了该算法在模拟航空航天器疲劳裂纹扩展中的应用，从而通过这套集成系统体现了数字孪生技术在实际应用中的整合方式。

引言
“数字孪生”这一术语的提出通常归功于2000年代初的美国空军和NASA，其目的是创建一个动态、高精度的数字框架，用于监测、模拟和预测特定的物理组件或系统[1][2]。最初，提出数字孪生概念是为了提升航空航天器在服役期间的结构可靠性评估水平。此后，这一概念被扩展到制造业、自动化领域、能源与公用事业、医疗保健等领域，因为在这些领域中，物理组件或系统在其生命周期内受益于持续更新的评估或优化[3]。无论应用于何种领域，数字孪生模型的核心目标都是提高预测精度并降低不确定性。实现这一目标的方法是在物理资产投入使用前及使用过程中，将其可测量的特性纳入模型中，而非采用仅基于名义参数或纯随机建模的方法。

为使数字孪生模型与对应的物理实体保持同步，该框架通常会采用替代建模方法[4]。因此，数字孪生模型面临的一个核心挑战在于如何在模型精度与计算效率之间取得平衡：全尺寸的基于物理的仿真虽然本身也可视为替代模型，但我们尽量不放弃其中的任何细节，但这类仿真往往难以满足实时建模的要求；而降阶模型则可能失去关键的精确度。一旦确定了在精度与效率之间达到合适平衡的数字孪生建模方法，就可以利用制造时的物理实体特性[5]、设计阶段使用的材料参数，或是先前同类物理实体的性能数据来构建初始数字孪生模型。尽管捕捉已知（可测量）和未知（名义或随机）的个体特性是启动数字孪生建模过程的关键步骤，但这仅相当于图1中黑色部分所示的初始阶段。

与研究生物学双胞胎不同——即便具有相同的遗传物质，其表现也未必完全一致——数字孪生模型必须考虑制造过程中的差异、外部干扰、运行环境以及物理实体在其生命周期中所面临的其他各种变化因素。为此，数字孪生模型及其状态需要定期更新，以反映物理实体在运行中的实际使用情况及其演变趋势。这种同步演化是通过修改数字孪生模型的结构以及根据新数据重新校准模型参数来实现的，如图1中红色部分所示。在此过程中，有一个隐含假设，即数字孪生模型与物理实体不仅会共同演化，而且数字孪生模型还需能够模拟出物理实体随时间变化的平滑趋势。因此，数字孪生模型不仅要具备响应能力，还要具备平滑的适应能力。最后，数字孪生模型与物理实体之间还需要建立双向通信机制：数字孪生模型获取物理实体的使用状况与状态信息，这些信息又可用于为物理实体生成更准确的预测结果，同时作为决策制定的依据（例如维护或更换决策），如图1中绿色部分所示。所有这些要求与目标的整合，既决定了数字孪生技术的潜力，也界定了其研究前沿。

由于数字孪生的概念较为抽象，任何定量评估都需要具体的应用场景。在此，我们选择最初的应用领域——飞机结构寿命预测[1]。该应用的目标是运用数字孪生技术制定基于状态的健康维护计划，而非目前那种完全依赖飞行小时数、而不考虑具体使用状况或结构状态的保守型定期维护方法，比如基于安全寿命或损伤容限的维护策略[6][7]。在这一应用领域中，构建可靠的数字孪生模型对于提升可靠性、安全性及成本效益具有重要意义：准确的数字孪生模型可以减少不必要的维护次数，从而降低系统停机时间及相关成本。自Tuegel等人[1]提出最初的研究以来，该领域的研究已经发展到包括仿真演示、替代建模以及不确定性量化等内容。Liao等人[8]研究了从确定性的单架飞机跟踪方法向概率性、逐次飞行的方法的转变，他们采用了贝叶斯更新技术和概率疲劳裂纹扩展模型，证明数字孪生技术能够减少维护计划的保守性，提升疲劳寿命预测的准确性，并实现针对不同飞机的风险导向型决策制定。Millwater等人[9]则提出了数字孪生框架中的风险评估概率方法，详细介绍了估算故障概率、剩余使用寿命及检查间隔的计算策略，强调了实时数据整合与替代建模的重要性。由于航空航天材料中的疲劳裂纹问题本质上属于多尺度问题，许多研究人员采用了多尺度数字孪生建模策略。例如，Whelan和McDowell[10]对Ti-6Al-4V材料的微观结构敏感型疲劳行为进行了建模。他们的研究重点在于通过统计体积元素和疲劳指标参数来量化模型形式与参数所带来的认知不确定性，以此评估材料的疲劳抗力。Yeratapally等人以及Leser等人则开展了两项关于铝合金7075-T651材料疲劳寿命预测的数字孪生可行性研究。在第一项研究中，Yeratapally等人[11]开发了一种数字孪生方法，该方法结合了微观小裂纹建模——通过基于统计体积元素的晶体塑性有限元分析——与宏观裂纹建模——通过线性弹性断裂力学方法，并通过蒙特卡洛法及马尔可夫链蒙特卡洛法对模型进行校准。在第二项研究中，Leser等人[12]引入了数字图像相关技术及贝叶斯推断等原位诊断方法，以便在裂纹变得可观测时对数字孪生模型进行迭代校准，从而显著降低预测结果的不确定性。在这一应用领域中，以往的研究大多集中在利用贝叶斯方法根据运行过程中的新观测数据更新数字孪生模型参数，而针对数字孪生模型结构本身的改进研究则仍需进一步探索。

我们的贡献在于构建了一个可作为数字孪生演示系统的工程化平台，该平台整合并拓展了基于导数信息的替代建模技术、动态更新机制以及改进后的稀疏线性代数求解技术。我们对基于导数信息的高斯过程模型感兴趣，部分原因在于近期在有限元法仿真场的原位自动微分技术方面取得了进展[13][14][15]。这些带有相应导数信息的有限元场可直接或间接作为物理孪生产品的代表[16][17]。当这些场及导数信息可用时——无论是通过机载传感器直接获取位移、速度和加速度数据，还是借助上述仿真技术——我们就利用基于导数信息的高斯过程模型，该模型通过改进的动态稀疏乔列斯基线性系统求解器构建，从而在保持高预测精度的同时，以较低的计算成本实现新数据的动态整合。我们的工作从三个关键方向对高斯过程替代模型进行了拓展。首先，我们将导数信息纳入高斯过程模型的公式中，甚至包含四阶导数信息，从而使替代模型能够更有效地捕捉局部敏感性，尤其在高维或多物理场场景下提升预测精度。其次，我们采用稀疏乔列斯基分解方法来处理包含导数信息的协方差结构，从而在模型复杂度上升的情况下仍保持计算的可行性。此前的研究[18][19][20][21]已提出将导数信息纳入稀疏乔列斯基分解的相关思路，但我们的贡献在于构建了一个可作为数字孪生演示系统的工程化平台，将多种技术理念有效整合到数字孪生系统中，这为数字孪生研究领域带来了重要进展。这一扩展使得替代模型能够在处理大规模数据集时依然保持因引入导数信息而带来的精度优势。最后，我们为数字孪生应用场景开发了一种专门的动态更新算法，用于处理依次到来的新传感器数据与运行测量数据。该算法能够确保高斯过程替代模型无需从头开始重新训练即可实现高效实时更新，从而使数字孪生模型能够与其对应的物理实体同步发展。总体而言，这些贡献为在数字孪生应用中部署基于导数信息的自适应高斯过程替代模型提供了理论基础与高效的实现方案，尤其适用于对精度和可扩展性都有较高要求的航空航天及机械系统领域。

本文的结构如下：第2节我们对高斯过程建模进行了数学描述，并说明了如何通过引入导数信息来更新模型。我们还强调了当用于建模足够平滑的函数时，基于导数信息的高斯过程模型所具备的更高精度优势。第3节总结了此前已发表的一种具有明确数学性质的稀疏乔列斯基算法，该算法可用于求解高斯过程方程组[18]，同时介绍了我们对该算法的改进，以便处理包含导数信息的高斯过程模型。鉴于我们希望在数字孪生场景中使用基于导数信息的高斯过程模型，第4节我们提出了适用于动态（流式）场景的稀疏乔列斯基算法扩展版本。我们展示了该算法的几种不同变体，并分析了哪种变体最适合用于数字孪生问题。第5节我们将各项研究成果结合起来，展示了如何利用基于导数信息的高斯过程模型以及我们开发的动态稀疏乔列斯基算法来解决实际的数字孪生应用问题。第6节则总结了我们的工作，并针对所设计的数字孪生系统解决方案提出了具有实用价值的见解。

片段摘录
**用于数字孪生应用的高斯过程替代建模**
我们首先介绍了将要使用的高斯过程建模的基本构成要素，并概述了那些为我们的研究提供指导的著名理论成果。具体而言，第2.1节我们对核方法进行了综述。第2.2节则从数学角度介绍了高斯过程在替代建模中的应用。第2.3节探讨了含有噪声数据的广义高斯过程建模情况，同时介绍了我们对其的扩展方法，即同时利用函数值信息……

**用于基于导数信息的高斯过程的稀疏乔列斯基算法**
在第2节中，我们介绍了传统的高斯过程建模方法以及我们通过引入导数信息所进行的改进。如前所述，只要被逼近的函数足够平滑，引入导数信息就能提升高斯过程模型的预测精度。然而，基于导数信息的高斯过程模型也存在一定的代价：导数项的加入会导致协方差矩阵的规模显著增大，同时其条件数也会随之上升……

**用于数字孪生应用的动态稀疏乔列斯基高斯过程模型**
在数字孪生系统中，像高斯过程这样的替代模型被用来预测物理系统在某一状态下的目标属性。这类替代模型通常先利用代表物理系统的初始数据集进行训练，之后便作为数字孪生模型投入实际应用。根据引理3.0.1，随着维度p和导数阶数d的增加，基于导数信息的观测数据量也会呈组合式增长，这就使得协方差矩阵的规模不断增大。这一现象凸显出需要……

**应用于数字孪生系统**
为展示我们新开发的、包含基于导数信息优化后的稀疏乔列斯基结构的动态更新算法的实际应用效果，我们将其应用于一个真实的数字孪生框架中，用于预测飞机结构中的疲劳裂纹扩展情况。此前有研究[15]表明，高阶导数是用于在固体力学中的弹性问题上训练科学机器学习模型的有效手段。受[15]研究的启发，我们在数字孪生框架中应用了带有高阶导数的广义多项式来模拟疲劳裂纹的增长。

**总结与结论**
在本研究中，我们构建了一个端到端的数字孪生框架，用于模拟航空航天器中的疲劳裂纹扩展过程。我们的贡献在于设计了一个可作为数字孪生演示系统的工程化方案，该方案结合并拓展了基于导数的替代建模方法、动态更新技术以及改进的稀疏线性代数求解技术。我们还提出了一种动态更新的稀疏Cholesky算法，以便利用来自物理模型的更新数据及其对应的导数。本研究的结果为……

**引用信息**
图表3C的引用缺失。

**RediT作者贡献说明**
Shridhar Vashishtha：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，验证，方法论，形式分析，数据整理，概念设计。
Krishna Prasath Logakannan：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，验证，软件开发，方法论，形式分析，数据整理。
Jacob Hochhalter：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，验证，监督，资源协调，方法论，资金获取，概念设计。
Shandian Zhe：写作——审阅与编辑。

**利益冲突声明**
作者们声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。
Shridhar Vashishtha | Krishna Prasath Logakannan | Jacob Hochhalter | Shandian Zhe | Robert M. Kirby