一种用于空间分数阶扩散方程中未知源与初始数据同时重建的小波正则化方法

《Journal of Computational and Applied Mathematics》：A wavelet regularization method for simultaneous reconstruction of the unknown source and initial data in a space-fractional diffusion equation

　　摘要：本文研究与Riesz-Feller空间分数阶扩散方程相关的同时反问题，即如何从多组过定的测量数据中恢复源项和初始值。鉴于该反问题本身具有病态特性，本文提出了一种基于小波的正则化方法来降低其不稳定性。通过先验参数选择策略，我们得到了精确解与其正则化近似值之间的显式误差估计。数值模拟结果表明了所提方法的有效性。

引言：空间分数阶扩散方程是通过用空间分数阶导数替代经典扩散方程中的二阶空间导数而得到的。这类方程常用于模拟异常扩散现象，包括亚扩散和非高斯扩散[1]。由于分数阶算子的巨大应用潜力，学术界对它们的研究兴趣日益增加[1]、[2]、[3]。当已知源项和初始浓度时，可以通过求解适定的正向问题来得到方程的解[4]、[5]。然而，在实际应用中，往往需要利用在特定时间t=T处的测量数据来重建更早时间0?
片段摘录：

(1.1)式解的结构与性质：根据线性抛物线方程的叠加原理，满足(1.1)式的解可以分解为u(x,t)=u1(x,t)+u2(x,t)，其中u1(x, t)解决逆向源问题{?u1(x,t)?t?xdμαu1(x,t)=f(x),x∈r,t∈(0,t),u1(x,0)=0,x∈r,u1(x,t0)=g0(x)?u2(x,t0):?h0(x)x∈r,limx→∞u1(x,t)=0}，而u2(x, t)解决逆向时间问题{?u2(x,t)?t?xdμαu2(x,t)=0,x∈r,t∈(0,t),u2(x,0)=?(x),x∈r,u2(x,t1)=g1(x)?u1(x,t1):?h1(x)x∈r,limx→∞u2(x,t)=0}。

傅里叶变换技术在源项正则化与误差估计中的应用：在本节中，我们研究逆向源问题(2.1)，并通过基于小波的方法构建正则化解fjδ。令f^jδ(ξ):=ψαμ(ξ)1?e?ψαμ(ξ)t0[(1?e?ψαμ(ξ)t0)(pjg1δ^(ξ)?e?ψαμ(ξ)(t1?t0)pjg0δ^(ξ))1?e?ψαμ(ξ)(t1?t0)]。由于小波投影算子pj的傅里叶变换具有紧支集，从(3.1)式可以看出，对于高频部分（ξ足够大时），f^jδ(ξ)=0。因此，ψαμ(ξ)的高频振荡部分被去除，从而确保了……

初始分布的正则化与误差估计：下面对逆向初始值问题(2.2)进行分析。根据k1的定义，我们可以立即得出k1?^=e?ψαμ(ξ)t1?^，k1*ψ^=e?ψαμ(ξ)￣t1ψ^。引入一个新的算子k?1=k1/e，它满足∥k?1*k?1∥≤e?1。设h?1=h1/e，通过直接计算可知，确定初始函数的问题等价于k?1?=h?1。然后我们通过其傅里叶变换定义一个函数h1,jδ，即ash^1,jδ:=e?ψαμ(t1?t0)[(1?e?ψαμt1)pjg0δ(ξ)^?(1?e?ψαμt0)pjg1δ(ξ)^]1?e?ψαμ(ξ)(t1?t0)。当δ=0时，记为h1,jδ。

数值模拟：在本节中，我们评估所提出的小波正则化技术的性能。正则化解是使用离散快速傅里叶变换和逆离散快速傅里叶变换计算得出的。我们利用matlab的rand(?·?)函数生成含噪声的数据，即g0δ=g0(1+?·rand(size(g0)))，g1δ=g0(1+?·rand(size(g1)))。rand(?·?)函数用于生成均匀分布的伪随机数组，而rand(size(g))则用于生成与g具有相同维度的随机数组。

结论：本文开发了一种基于小波正则化方法，用于处理无界时空域中的空间分数阶同时反问题。该问题本质上属于病态问题。通过数值实验以及相应的图表，验证了理论成果。在定理3.1中，参数j是根据先验规则选取的，这意味着必须已知∥f∥hs+∥?∥hs的界限估计值以及噪声水平δ，才能确定j的值。 meyer和stphane mallat在20世纪80年代中后期系统建立[28]、[29]，自20世纪90年代中后期以来已被广泛应用于正则化理论领域[30]、[31]、[32]、[33]。本文的结构如下：第2节介绍一些初步结果。第3节和第4节运用小波正则化方法解决(1.1)式的联合反问题。第5节通过数值实验验证所提方法。第6节对本文进行总结。 片段摘录： (1.1)式解的结构与性质：根据线性抛物线方程的叠加原理，满足(1.1)式的解可以分解为u(x,t)=u1(x,t)+u2(x,t)，其中u1(x, t)解决逆向源问题{?u1(x,t)?t?xdμαu1(x,t)=f(x),x∈R,t∈(0,T),u1(x,0)=0,x∈R,u1(x,T0)=g0(x)?u2(x,T0):?h0(x)x∈R,limx→∞u1(x,t)=0}，而u2(x, t)解决逆向时间问题{?u2(x,t)?t?xdμαu2(x,t)=0,x∈R,t∈(0,T),u2(x,0)=?(x),x∈R,u2(x,T1)=g1(x)?u1(x,T1):?h1(x)x∈R,limx→∞u2(x,t)=0}。 傅里叶变换技术在源项正则化与误差估计中的应用：在本节中，我们研究逆向源问题(2.1)，并通过基于小波的方法构建正则化解fjδ。令f^jδ(ξ):=ψαμ(ξ)1?e?ψαμ(ξ)T0[(1?e?ψαμ(ξ)T0)(PJg1δ^(ξ)?e?ψαμ(ξ)(T1?T0)PJg0δ^(ξ))1?e?ψαμ(ξ)(T1?T0)]。由于小波投影算子PJ的傅里叶变换具有紧支集，从(3.1)式可以看出，对于高频部分（ξ足够大时），f^Jδ(ξ)=0。因此，ψαμ(ξ)的高频振荡部分被去除，从而确保了…… 初始分布的正则化与误差估计：下面对逆向初始值问题(2.2)进行分析。根据k1的定义，我们可以立即得出k1?^=e?ψαμ(ξ)T1?^，K1*ψ^=e?ψαμ(ξ)￣T1ψ^。引入一个新的算子K?1=K1/e，它满足∥K?1*K?1∥≤e?1。设h?1=h1/e，通过直接计算可知，确定初始函数的问题等价于K?1?=h?1。然后我们通过其傅里叶变换定义一个函数h1,Jδ，即ash^1,Jδ:=e?ψαμ(T1?T0)[(1?e?ψαμT1)PJg0δ(ξ)^?(1?e?ψαμT0)PJg1δ(ξ)^]1?e?ψαμ(ξ)(T1?T0)。当δ=0时，记为h1,Jδ。 数值模拟：在本节中，我们评估所提出的小波正则化技术的性能。正则化解是使用离散快速傅里叶变换和逆离散快速傅里叶变换计算得出的。我们利用matlab的rand(?·?)函数生成含噪声的数据，即g0δ=g0(1+?·rand(size(g0)))，g1δ=g0(1+?·rand(size(g1)))。rand(?·?)函数用于生成均匀分布的伪随机数组，而rand(size(g))则用于生成与g具有相同维度的随机数组。>
片段摘录：

(1.1)式解的结构与性质：根据线性抛物线方程的叠加原理，满足(1.1)式的解可以分解为u(x,t)=u1(x,t)+u2(x,t)，其中u1(x, t)解决逆向源问题{?u1(x,t)?t?xdμαu1(x,t)=f(x),x∈r,t∈(0,t),u1(x,0)=0,x∈r,u1(x,t0)=g0(x)?u2(x,t0):?h0(x)x∈r,limx→∞u1(x,t)=0}，而u2(x, t)解决逆向时间问题{?u2(x,t)?t?xdμαu2(x,t)=0,x∈r,t∈(0,t),u2(x,0)=?(x),x∈r,u2(x,t1)=g1(x)?u1(x,t1):?h1(x)x∈r,limx→∞u2(x,t)=0}。

傅里叶变换技术在源项正则化与误差估计中的应用：在本节中，我们研究逆向源问题(2.1)，并通过基于小波的方法构建正则化解fjδ。令f^jδ(ξ):=ψαμ(ξ)1?e?ψαμ(ξ)t0[(1?e?ψαμ(ξ)t0)(pjg1δ^(ξ)?e?ψαμ(ξ)(t1?t0)pjg0δ^(ξ))1?e?ψαμ(ξ)(t1?t0)]。由于小波投影算子pj的傅里叶变换具有紧支集，从(3.1)式可以看出，对于高频部分（ξ足够大时），f^jδ(ξ)=0。因此，ψαμ(ξ)的高频振荡部分被去除，从而确保了……

初始分布的正则化与误差估计：下面对逆向初始值问题(2.2)进行分析。根据k1的定义，我们可以立即得出k1?^=e?ψαμ(ξ)t1?^，k1*ψ^=e?ψαμ(ξ)￣t1ψ^。引入一个新的算子k?1=k1/e，它满足∥k?1*k?1∥≤e?1。设h?1=h1/e，通过直接计算可知，确定初始函数的问题等价于k?1?=h?1。然后我们通过其傅里叶变换定义一个函数h1,jδ，即ash^1,jδ:=e?ψαμ(t1?t0)[(1?e?ψαμt1)pjg0δ(ξ)^?(1?e?ψαμt0)pjg1δ(ξ)^]1?e?ψαμ(ξ)(t1?t0)。当δ=0时，记为h1,jδ。

数值模拟：在本节中，我们评估所提出的小波正则化技术的性能。正则化解是使用离散快速傅里叶变换和逆离散快速傅里叶变换计算得出的。我们利用matlab的rand(?·?)函数生成含噪声的数据，即g0δ=g0(1+?·rand(size(g0)))，g1δ=g0(1+?·rand(size(g1)))。rand(?·?)函数用于生成均匀分布的伪随机数组，而rand(size(g))则用于生成与g具有相同维度的随机数组。

结论：本文开发了一种基于小波正则化方法，用于处理无界时空域中的空间分数阶同时反问题。该问题本质上属于病态问题。通过数值实验以及相应的图表，验证了理论成果。在定理3.1中，参数j是根据先验规则选取的，这意味着必须已知∥f∥hs+∥?∥hs的界限估计值以及噪声水平δ，才能确定j的值。>