一种基于结构与分裂近似预处理方法的空间-时间分数阶对流-扩散方程求解算法

《Journal of Computational and Applied Mathematics》：A structure and splitting approximation based preconditioning method for solving space-time fractional advection-diffusion equations

　　摘要：本文致力于快速数值求解时空分数阶对流-扩散方程的初边值问题。通过使用前向差分公式和Grünwald公式对方程进行离散化，得到一个结构化的线性系统。为加速GMRES方法求解该系统的收敛速度，本文构建并应用了一种近似逆预处理器。所提出的预处理方法首先基于系数矩阵的分块近似，然后逐行近似求逆，同时用τ矩阵近似相关的托普利茨矩阵。从理论上分析了预处理矩阵的谱分布，结果表明其特征值集中在1附近。与其他预处理方法的数值对比显示，所提出的预处理器具有更高的计算效率。

引言：本文研究带有初边值问题的时空分数阶对流-扩散方程（STFDE）的数值解。该方程为{?αu(x,t)?tα=?d+(x,t)Da,xβu(x,t)?d?(x,t)Dx,bβu(x,t)+e+(x,t)Da,xγu(x,t)+e?(x,t)Dx,bγu(x,t)+f(x,t)u(x,0)=?(x),a≤x≤b,u(a,t)=u(b,t)=0,01有|ai,j|≤c(1+|i?j|)s，且存在常数c?>?0，则称A属于Ls类。属于Ls类的矩阵具有

数值实验：本节通过数值实验验证所提出的预处理方法的效率。实验在一台配备2.10GHz AMD Ryzen 5 4600U处理器、16.00GB内存及Windows 10操作系统的个人电脑上进行，所用软件为MATLAB（版本R2022a）。实验中，将所提出的预处理器PA与预处理后的GMRES方法结合使用来求解线性系统。作为对比，还使用了不经过预处理的GMRES方法来求解同一线性系统。

结论性意见：本文研究了针对时空分数阶对流-扩散方程数值解所得结构化线性方程的预处理问题。该系统的系数矩阵主要由对角矩阵和托普利茨矩阵的乘积构成。为提升计算效率，本文通过矩阵分块以及逐行近似求系数矩阵的逆，并结合该矩阵的结构，构建了一种近似逆预处理器。

王超杰|康帅娟|张轩
北京工商大学数学与统计学院，中国北京100048